Die effektive Masse der Feder in einem Feder-Masse-System ist bei Verwendung einer idealen Feder mit gleichmäßiger linearer Dichte 1/3 der Masse der Feder und unabhängig von der Richtung des Feder-Masse-Systems (i.Massesystem bei Verwendung einer idealen Feder mit gleichmäßiger Liniendichte beträgt 1/3 der Masse der Feder und ist unabhängig von der Richtung des Feder-Masse-Systems (d. h.e., horizontale, vertikale und schräge Systeme haben alle die gleiche effektive Masse). Das liegt daran, dass die äußere Beschleunigung keinen Einfluss auf die Periode der Bewegung um den Gleichgewichtspunkt hat.
Die effektive Masse der Feder kann durch Ermittlung ihrer kinetischen Energie bestimmt werden. Dazu muss man die kinetische Energie aller Massenelemente addieren und benötigt das folgende Integral, wobei u {\displaystyle u}
die Geschwindigkeit des Massenelements ist: T = ∫ m 1 2 u 2 d m {\displaystyle T=\int _{m}{\tfrac {1}{2}}u^{2}\,dm}
Da die Feder gleichmäßig ist, ist d m = ( d y L ) m {\displaystyle dm=\left({\frac {dy}{L}}\right)m}
, wobei L {\displaystyle L}
die Länge der Feder ist. Daraus folgt T = ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {\displaystyle T=\int _{0}^{L}{\tfrac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {dy}{L}}\right)m\!}
= 1 2 m L ∫ 0 L u 2 d y {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L}}\int _{0}^{L}u^{2}\,dy}
Die Geschwindigkeit jedes Massenelements der Feder ist direkt proportional zur Länge von der Position, an der es befestigt ist (wenn es nahe am Block ist, dann mehr Geschwindigkeit und wenn es nahe an der Decke ist, dann weniger Geschwindigkeit), d. h.d. h. u = v y L {\displaystyle u={\frac {vy}{L}}}
, woraus folgt: T = 1 2 m L ∫ 0 L ( v y L ) 2 d y {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L}}\int _{0}^{L}\left({\frac {vy}{L}}\right)^{2}\,dy}
= 1 2 m L 3 v 2 ∫ 0 L y 2 d y {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L^{3}}}v^{2}\int _{0}^{L}y^{2}\,dy}
= 1 2 m L 3 v 2 0 L {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L^{3}}}v^{2}\left_{0}^{L}}
= 1 2 m 3 v 2 {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}}
Im Vergleich zur erwarteten ursprünglichen Formel für kinetische Energie 1 2 m v 2 , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2},}
ist die effektive Masse der Feder in diesem Fall m/3. Unter Verwendung dieses Ergebnisses kann die Gesamtenergie des Systems in Form der Verschiebung x {\displaystyle x}
aus der ungedehnten Position der Feder geschrieben werden (wobei konstante Potentialterme ignoriert und die Aufwärtsrichtung als positiv angenommen wird): T {\displaystyle T}
(Gesamtenergie des Systems) = 1 2 ( m 3 ) v 2 + 1 2 M v 2 + 1 2 k x 2 – 1 2 m g x – M g x {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}({\frac {m}{3}})\ v^{2}+{\tfrac {1}{2}}Mv^{2}+{\tfrac {1}{2}}kx^{2}-{\tfrac {1}{2}}mgx-Mgx}
Beachten Sie, dass g {\displaystyle g}
hier die Beschleunigung der Schwerkraft entlang der Feder ist. Durch Differentiation der Gleichung nach der Zeit ergibt sich die Bewegungsgleichung: ( – m 3 – M ) a = k x – 1 2 m g – M g {\displaystyle \left({\frac {-m}{3}}-M\right)\ a=kx-{\tfrac {1}{2}}mg-Mg}
Der Gleichgewichtspunkt x e q {\displaystyle x_{\mathrm {eq} }}
kann gefunden werden, indem man die Beschleunigung gleich Null setzt: x e q = 1 k ( 1 2 m g + M g ) {\displaystyle x_{\mathrm {eq} }={\frac {1}{k}}\left({\tfrac {1}{2}}mg+Mg\right)}
Definiert man x ¯ = x – x e q {\displaystyle x_{\mathrm {eq}}=x-x_{\mathrm {eq} }}
, wird die Bewegungsgleichung: ( m 3 + M ) x ¯ = – k x ¯ {\displaystyle \left({\frac {m}{3}}+M\right){\bar {x}}=-k{\bar {x}}}
Dies ist die Gleichung für einen einfachen harmonischen Oszillator mit Periode:
τ = 2 π ( M + m / 3 k ) 1 / 2 {\displaystyle \tau =2\pi \left({\frac {M+m/3}{k}}\right)^{1/2}}
