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Spannung-Dehnung

Zug oder Druck in einem Bauteil erzeugen Normalspannungen; sie werden „normal“ genannt, weil der Querschnitt, der der Belastung widersteht, senkrecht (normal) zur Richtung der einwirkenden Kräfte steht. Sowohl Zug- als auch Druckspannungen werden berechnet mit:

Wenn ein Bauteil einen variablen Querschnitt hat, muss die Fläche, die in den Berechnungen verwendet werden muss, die minimale Querschnittsfläche sein; dies gibt Ihnen die maximale Spannung im Bauteil, die letztendlich die Konstruktion bestimmt.

Bei der Scherung ist die Querschnittsfläche, die der Belastung widersteht, parallel zur Richtung der aufgebrachten Kräfte. Außerdem muss bei der Abschätzung der Scherfläche berücksichtigt werden, wie viele Querschnitte zur Gesamtfestigkeit der Baugruppe beitragen.

Betrachten Sie zum Beispiel den Bolzen eines Türscharniers als schubbelastet, müssen Sie zählen, wie viele Querschnitte der Belastung widerstehen.

Die Formel zur Berechnung der Scherspannung ist dieselbe:

Bei einer Stanzung hat die Fläche, die der Scherung widersteht, die Form eines Zylinders für ein rundes Loch (denken Sie an einen Ausstecher). Daher ergibt sich die Fläche, die der Scherung widersteht, aus der Multiplikation des Umfangs der Form mit der Dicke der Platte.

Ein Bauteil, das auf Zug oder Druck beansprucht wird, verformt sich elastisch proportional zu, neben anderen Parametern, der ursprünglichen Länge. Die Dehnung, auch Einheitsverformung genannt, ist ein dimensionsloser Parameter, der wie folgt ausgedrückt wird:

Wenn Sie einen negativen Wert für die Druckdehnung (Verringerung der Länge) wählen, müssen Sie auch die äquivalente Druckspannung als negativen Wert ausdrücken.

Die Spannungs-Dehnungs-Kurve wird aus dem Zugversuch erzeugt. Im elastischen Bereich der Kurve ist die Verformung direkt proportional zur Belastung. Dividiert man die Belastung durch die Querschnittsfläche (konstant) und die Verformung durch die ursprüngliche Länge (konstant), so erhält man eine grafische Darstellung von Dehnung vs. Spannung. Das konstante Verhältnis von Spannung und Dehnung ist der E-Modul oder Elastizitätsmodul, eine Eigenschaft jedes Materials.

Die Kombination der beiden obigen Beziehungen für Dehnung und Elastizitätsmodul führt zu einer einheitlichen Formel für die elastische Verformung auf Zug oder Druck.

Diese Beziehung gilt für Stäbe mit gleichmäßigem Querschnitt, homogenem Material, die auf Zug oder Druck belastet werden und bei denen sich Spannungen unterhalb der Proportionalitätsgrenze (Gerade in der σ-ε-Kurve) ergeben.

Diese Themen wurden im 1. Jahr Festigkeitslehre behandelt und werden hier als kurze Wiederholung vorgestellt.

Mitglieder, die einer übermäßigen Spannung ausgesetzt sind, können durch Bruch versagen, wenn die tatsächliche Arbeitsspannung größer als die Bruchspannung ist, oder aufgrund einer übermäßigen Verformung, die sie unbrauchbar macht. Betrachten Sie eine schwere Kondensatleitung, die über eine akzeptable Grenze hinaus durchhängt, und während sie nicht bricht, werden die Flanschverbindungen am Ende der Leitungen aufgrund der Winkelbewegung undicht.

Die Bemessungsspannung, σd, ist das maximale Niveau der Ist-/Arbeitsspannung, das aus sicherheitstechnischer Sicht als akzeptabel angesehen wird. Die Auslegungsspannung wird bestimmt durch:

• Materialeigenschaften, Zugfestigkeit oder Streckgrenze, je nachdem, ob Bruch vermieden oder Verformung begrenzt werden muss
• Sicherheitsfaktor (oder Auslegungsfaktor) N, Verhältnis von maximaler Festigkeit zur vorgesehenen Belastung.

Der Sicherheitsfaktor wird vom Konstrukteur auf der Grundlage von Erfahrung, Urteilsvermögen UND Richtlinien/Regeln aus relevanten Codes und Normen gewählt, basierend auf mehreren Kriterien wie Verletzungsrisiko, Genauigkeit der Konstruktionsdaten, Wahrscheinlichkeit, Industriestandards und nicht zuletzt Kosten. Die Normen für die Sicherheitsfaktoren wurden von Bauingenieuren auf der Grundlage strenger Schätzungen und langjähriger Erfahrung festgelegt. Die Normen werden ständig weiterentwickelt und spiegeln neue und verbesserte Konstruktionsphilosophien wider. Beispiel:

• Veröffentlicht von ANSI / AISC , wie z.B. Specification for Structural Steel Buildings

Bei der Lösung von Problemen können die Studenten auf verschiedene Szenarien stoßen. Während die theoretischen Konzepte die gleichen sind, können die Wege zu den endgültigen Antworten unterschiedlich sein, wie es die jeweilige Herangehensweise erfordert.

1. Schätzen, ob ein Entwurf/eine Konstruktion sicher ist oder nicht
   1. Gegeben sind: Größe und Verteilung der Lasten, Materialeigenschaften, Bauteilform und -abmessungen
   2. Finden: tatsächliche Spannung und Vergleich mit der Bemessungsspannung; alternativ: Sicherheitsfaktor ermitteln und entscheiden, ob er auf der Grundlage geltender Normen akzeptabel ist
2. Auswahl eines geeigneten Materials
   1. Gegeben: Größe und Verteilung der Lasten, Form und Abmessungen des Bauteils
   2. Ermitteln: Welche Materialart oder -sorte bietet eine Festigkeit (Streckgrenze oder Bruchfestigkeit), die größer als die geforderte ist, unter Berücksichtigung des gewählten oder vorgegebenen Sicherheitsfaktors
3. Bestimmen der Form und Abmessungen des Stabquerschnitts
   1. Gegeben: Lastgröße und -verteilung, Materialeigenschaften
   2. Finden: die Form und Abmessungen des Stabs, so dass die tatsächliche Querschnittsfläche größer als die geforderte Mindestfläche ist.
4. Abschätzung der maximal zulässigen Belastung eines Bauteils
   1. Gegeben: Belastungsart und -verteilung, Materialeigenschaften, Form und Abmessungen des Bauteils
   2. Finden: Maximale Belastungsgröße, die zu einer zulässigen Spannung führt

Es gibt Fälle, in denen ein normal beanspruchtes Bauteil aus zwei (oder mehr) Materialien besteht. Ein Ziel solcher Probleme ist es, die Spannung in jeder Komponente zu finden.

Zum Beispiel kann man eine kurze Säule haben, die aus einem mit Beton gefüllten Stahlrohr besteht, wie in der Abbildung dargestellt. Angesichts der Gesamtlast, der Materialeigenschaften und der geometrischen Abmessungen müssen wir die individuelle Spannung in jeder Komponente finden.

Beide, das Stahlrohr und der Betonkern, arbeiten zusammen, um die Last zu tragen, daher müssen wir zusätzliche Beziehungen finden, die die beiden Probleme zu einem verbinden. Typischerweise suchen wir nach:

• einer Beziehung, die die Kraftverteilung zwischen den beiden Materialien beschreibt
• einer Beziehung, die die Verformungen der beiden Materialien korreliert

Für dieses spezielle Problem können wir sagen, dass:

Gleichung 1: Gesamtbelastung P = Belastung durch Stahl P Stahl + Belastung durch Beton P Beton

Daher ist P = Spannung Stahl × Fläche Stahl + Spannung Beton × Fläche Beton

Gleichung 2: Die Verformungen beider Materialien sind gleich

Daher Dehnung Stahl = Dehnung Beton

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass Elastizitätsmodul = Spannung / Dehnung, ergibt Gleichung (2) eine Beziehung zwischen der Spannung und der Elastizität beider Materialien

Setzt man diese letzte Beziehung in Gleichung (1) ein und löst für Spannung Beton, so ergibt sich folgende Beziehung

Daraus lässt sich Spannung Stahl ermitteln.

Beachten Sie, dass je nach Problemstellung die beiden ursprünglichen Relationen unterschiedlich sein können, so dass jedes Mal eine vollständige schrittweise Ableitung erforderlich sein kann.

Beispiel: An einem 1 m langen Stab aus Kohlenstoffstahl A 36 mit einem Durchmesser von 20 mm (Materialeigenschaften in Anhang B, Tabelle B2) hängt eine Last von 6 t. Berechnen Sie die Spannung und die Dehnung im Stab.

Beachten Sie, dass Lasten typischerweise in kN, Querschnittsflächen in 10-3 m2 und resultierende Spannungen in MPa angegeben werden.

Da die Elastizitätsmodule in GPa angegeben werden, liegt auch die Dehnung (dimensionslos) im Bereich von 10-3. Dieser Stab wird sich unter der gegebenen Last um 0,9 mm dehnen.

Problem 1: Eine Kondensatleitung mit einer Nennweite von 152 mm aus Kohlenstoffstahlrohr nach Plan 40 wird von Gewindestangenaufhängungen im Abstand von 2,5 m getragen. Die Aufhängungen sind aus Kohlenstoffstahl, 50 cm lang und haben einen Fußdurchmesser von 12 mm. Berechnen Sie die Spannung und die Dehnung in den Hängern. Verwenden Sie E=200 GPa für das Material der Hänger.

Problem 2: Ein Gabelkopf mit einem 1/2-Zoll-Stift wird in einer Werkstatthebevorrichtung verwendet. Wenn der Bolzen aus A36-Stahl besteht, bestimmen Sie die maximale sichere Last unter Verwendung eines Sicherheitsfaktors von 2,5 auf der Grundlage der Streckgrenze.

Problem 3: Ein Kessel wird auf mehreren kurzen Säulen, wie in der Abbildung dargestellt, aus Grauguss der Klasse 35 getragen. Jede Säule trägt eine Last von 50 t. Der geforderte Sicherheitsfaktor für diese Konstruktion ist 3. Sind die Säulen sicher?

Nutzen Sie die folgenden Maße: A = 30 mm, B = 80 mm, C = 50 mm, D = 140 mm

Problem 4: Ein Zugstab in einem Dachstuhl wird mit 25 kips belastet. Die Konstruktion erfordert die Verwendung eines Winkels L2x2x1/4 mit einem Querschnitt von 0,944 in2. Für gebäudeähnliche Konstruktionen empfiehlt das American Institute of Steel Construction eine Bemessungsspannung von 0,60×Sy zu verwenden. Bestimmen Sie unter Verwendung von Anhang B Tabelle B2 einen geeigneten Stahlwerkstoff.

Problem 5: Ein Zugstangen-Hydraulikzylinder wie in der Abbildung wird aus einem 6 Zoll Schedule 40 Edelstahlrohr, 15 Zoll lang, hergestellt. Die sechs Zugstangen sind Gewindestangen 1/2-13 UNC mit einem Fußdurchmesser von 0,4822 Zoll und einer Gewindesteigung von 13 TPI. Beim Zusammenbau des Zylinders ist eine Klemmkraft erforderlich, die einer vollen Mutterumdrehung aus der handfesten Position entspricht.