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In der realen Welt folgen Schwingungen selten der echten SHM. Reibung irgendeiner Art dämpft normalerweise die Bewegung, so dass sie abklingt oder mehr Kraft benötigt, um fortzufahren. In diesem Abschnitt werden wir einige Beispiele für gedämpfte harmonische Bewegungen untersuchen und sehen, wie man die Bewegungsgleichungen modifizieren kann, um diesen allgemeineren Fall zu beschreiben.

Eine Gitarrensaite hört einige Sekunden nach dem Anzupfen auf zu schwingen. Um auf einer Spielplatzschaukel weiterzuschwingen, muss man weiter schieben ((Abbildung)). Obwohl wir die Reibung und andere nicht konservative Kräfte oft klein oder vernachlässigbar machen können, ist eine völlig ungedämpfte Bewegung selten. Tatsächlich wollen wir vielleicht sogar Schwingungen dämpfen, wie bei Stoßdämpfern im Auto.

Abbildung 15.24 Um dämpfenden Kräften entgegenzuwirken, müssen Sie eine Schaukel weiter anschieben. (credit: Bob Mical)

(Abbildung) zeigt eine Masse m, die an einer Feder mit einer Kraftkonstante k befestigt ist. Die Masse wird auf eine Position {A}_{0} , die Anfangsamplitude, angehoben und dann losgelassen. Die Masse schwingt in einer Flüssigkeit mit Viskosität um die Gleichgewichtslage, wobei die Amplitude bei jeder Schwingung abnimmt. Für ein System mit einer geringen Dämpfung sind die Periode und die Frequenz konstant und entsprechen nahezu der SHM, aber die Amplitude nimmt wie gezeigt allmählich ab. Dies geschieht, weil die nicht-konservative Dämpfungskraft dem System Energie entzieht, normalerweise in Form von thermischer Energie.

Bei einer Masse an einer Feder, die in einer viskosen Flüssigkeit schwingt, bleibt die Periode konstant, aber die Amplituden der Schwingungen nehmen aufgrund der durch die Flüssigkeit verursachten Dämpfung ab.

Betrachten Sie die auf die Masse wirkenden Kräfte. Beachten Sie, dass der einzige Beitrag der Masse darin besteht, die Gleichgewichtslage zu verändern, wie bereits weiter oben im Kapitel beschrieben. Daher ist die Nettokraft gleich der Kraft der Feder und der Dämpfungskraft ({F}_{D}) . Wenn der Betrag der Geschwindigkeit klein ist, d.h. die Masse schwingt langsam, ist die Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit und wirkt gegen die Bewegungsrichtung ({F}_{D}=\text{-}bv) . Die Nettokraft auf die Masse ist daher

Schreibt man dies als Differentialgleichung in x, so erhält man

Um die Lösung dieser Gleichung zu bestimmen, betrachtet man den in (Abbildung) gezeigten Verlauf von Position gegen Zeit. Die Kurve ähnelt einer Kosinuskurve, die in der Einhüllenden einer Exponentialfunktion {A}_{0}{e}^{\text{-}\alpha t} schwingt, wobei \alpha =\frac{b}{2m} . Die Lösung ist

Es bleibt als Übung zu beweisen, dass dies tatsächlich die Lösung ist. Um zu beweisen, dass es die richtige Lösung ist, nimmt man die erste und zweite Ableitung nach der Zeit und setzt sie in (Abbildung) ein. Es wird festgestellt, dass (Abbildung) die Lösung ist, wenn

Erinnern Sie sich, dass die Winkelfrequenz einer Masse, die einer SHM unterliegt, gleich der Quadratwurzel aus der Kraftkonstante geteilt durch die Masse ist. Dies wird oft als die Eigenwinkelfrequenz bezeichnet, die wie folgt dargestellt wird

Die Kreisfrequenz für eine gedämpfte harmonische Bewegung wird

Abbildung 15.26 Position über der Zeit für die Masse, die auf einer Feder in einer viskosen Flüssigkeit schwingt. Beachten Sie, dass die Kurve eine Kosinusfunktion innerhalb einer Exponentialhüllkurve zu sein scheint.

Erinnern Sie sich, dass wir zu Beginn dieser Beschreibung der gedämpften harmonischen Bewegung festgestellt haben, dass die Dämpfung klein sein muss. Zwei Fragen drängen sich auf. Warum muss die Dämpfung klein sein? Und wie klein ist klein? Wenn Sie die Dämpfung in einem System allmählich erhöhen, beginnen sich Periode und Frequenz zu verändern, weil die Dämpfung der Hin- und Herbewegung entgegenwirkt und sie somit verlangsamt. (Die Nettokraft ist in beiden Richtungen kleiner.) Bei sehr großer Dämpfung schwingt das System gar nicht mehr – es bewegt sich langsam in Richtung Gleichgewicht. Die Kreisfrequenz ist gleich

Wenn b zunimmt, wird \frac{k}{m}-{(\frac{b}{2m})}^{2} kleiner und erreicht schließlich Null, wenn b=\sqrt{4mk} . Wenn b größer wird, wird \frac{k}{m}-{(\frac{b}{2m})}^{2} eine negative Zahl und \sqrt{\frac{k}{m}-{(\frac{b}{2m})}^{2}} ist eine komplexe Zahl.

(Abbildung) zeigt die Auslenkung eines harmonischen Oszillators für verschiedene Dämpfungsbeträge. Wenn die Dämpfungskonstante klein ist, b<\sqrt{4mk} , schwingt das System, während die Amplitude der Bewegung exponentiell abfällt. Dieses System wird als unterdämpft bezeichnet, wie in Kurve (a). Viele Systeme sind unterdämpft und schwingen, während die Amplitude exponentiell abnimmt, wie z. B. die Masse, die an einer Feder schwingt. Die Dämpfung kann recht klein sein, aber irgendwann kommt die Masse zur Ruhe. Wenn die Dämpfungskonstante b=\sqrt{4mk} ist, wird das System als kritisch gedämpft bezeichnet, wie in Kurve (b). Ein Beispiel für ein kritisch gedämpftes System sind die Stoßdämpfer in einem Auto. Es ist von Vorteil, wenn die Schwingungen so schnell wie möglich abklingen. Hier schwingt das System nicht, sondern nähert sich asymptotisch so schnell wie möglich dem Gleichgewichtszustand an. Kurve (c) in (Abbildung) stellt ein überdämpftes System dar, bei dem b>\sqrt{4mk}. Ein überdämpftes System nähert sich dem Gleichgewicht über einen längeren Zeitraum an.

Abbildung 15.27 Die Position über der Zeit für drei Systeme, bestehend aus einer Masse und einer Feder in einer viskosen Flüssigkeit. (a) Wenn die Dämpfung klein ist (b<\sqrt{4mk}), oszilliert die Masse, wobei sie langsam an Amplitude verliert, da die Energie durch die nicht-konservative(n) Kraft(en) dissipiert wird. Der Grenzfall ist (b), wenn die Dämpfung (b=\sqrt{4mk}) ist. (c) Wenn die Dämpfung sehr groß ist (b>\sqrt{4mk}) , schwingt die Masse bei einer Verschiebung nicht, sondern versucht, in die Gleichgewichtslage zurückzukehren.

Eine kritische Dämpfung ist oft erwünscht, da ein solches System schnell ins Gleichgewicht zurückkehrt und auch im Gleichgewicht bleibt. Außerdem bringt eine konstante Kraft, die auf ein kritisch gedämpftes System ausgeübt wird, das System in kürzester Zeit in eine neue Gleichgewichtslage, ohne dass es überschwingt oder um die neue Lage schwingt.

Glossar

Kritisch gedämpfter Zustand, bei dem die Dämpfung eines Oszillators bewirkt, dass er so schnell wie möglich wieder in seine Gleichgewichtslage zurückkehrt, ohne um diese Lage hin und her zu schwingen natürliche Winkelfrequenz Winkelfrequenz eines in SHM schwingenden Systems überdämpfter Zustand, in dem die Dämpfung eines Oszillators bewirkt, dass er ins Gleichgewicht zurückkehrt, ohne zu schwingen; Oszillator bewegt sich langsamer in Richtung Gleichgewicht als im kritisch gedämpften System unterdämpfter Zustand, in dem die Dämpfung eines Oszillators bewirkt, dass die Amplitude der Schwingungen eines gedämpften harmonischen Oszillators mit der Zeit abnimmt und sich schließlich Null nähert