Lesson: Triangles & Trusses

Lesson Background and Concepts for Teachers

(Der folgende Text ist auf die PowerPoint-Präsentation Strength of Shapes Presentation abgestimmt. Stellen Sie sicher, dass die Schüler Papier und Bleistift zur Hand haben, um ihre Ideen zu skizzieren, während sie der Präsentation folgen.)

(Folie 1) Heute werden wir ein grundlegendes bautechnisches Konzept erforschen: die Festigkeit von Formen.

(Folie 2) Wenn wir uns Brücken genau ansehen, können wir sehen, wie Bauingenieure verschiedene Formen verwenden, um die Gesamtkonstruktion zu erstellen. Wir können Dreiecke und Quadrate sehen. Wir können sogar Parabeln sehen.

(Folie 3) Bauingenieure verwenden die gleichen Arten von Formen in Gebäuden. Viele Gebäuderahmen sind einfach sich wiederholende Quadrate, wie im Bild oben links gezeigt. Das Bild unten links zeigt, wie ein Quadrat durch Hinzufügen einer diagonalen Querstrebe in diesem Gerüst verstärkt wird, wodurch das Quadrat in zwei Dreiecke zerlegt wird. Das Bild rechts zeigt einen geodätischen Dome in der Antarktis im Bau. Die Struktur von geodätischen Kuppeln ähnelt der Struktur von Fußbällen und kann als eine Gruppe von Fünfecken und Sechsecken betrachtet werden. Aber wenn wir jede dieser Formen aufschlüsseln, können wir sehen, dass sie grundsätzlich aus Dreiecken zusammengesetzt sind.

(Folie 4) Selbst wenn wir den Bereich des Bauwesens oder der Architektur verlassen, können wir sehen, wie Ingenieure sich auf die bekannte Stärke von Formen verlassen. Ein Motorradrahmen verwendet viele Dreiecke, um die Räder und Sitze zu stützen. Maschinenbauingenieure konstruieren Kräne, die Dreiecke und Vierecke in ihren Rahmen verwenden. Selbst Satelliten verwenden diese bekannten und grundlegenden regelmäßigen Geometrien.

(Folie 5) Skizzieren Sie auf Ihrem Papier jedes dieser regelmäßigen Vielecke: Quadrat, Raute und Dreieck. Was passiert mit einer Form, wenn man sie gerade nach unten drückt, so dass die ganze Form zusammengedrückt wird? Zeichnen Sie mit einem anderen Stift oder einer gestrichelten Linie, wie die Form aussehen würde, wenn Sie auf sie drücken. Gehen Sie davon aus, dass die Seiten der Form starr sind und sich nicht in der Länge verändern oder verbiegen.

(Folie 6) Schauen Sie sich das an! Wenn Sie oben auf das Quadrat drücken, ist es kein Quadrat mehr, sondern nimmt die Form eines Rhombus an, der eine Art Parallelogramm ist. Dies wird „Racking“ genannt. Wenn wir auf der Oberseite der Raute nach unten drücken, fällt sie in sich zusammen. Aber was ist mit dem Dreieck? Das Dreieck behält seine Form bei!

(Folie 7) Der Grund, warum das Quadrat und die Raute zusammenfallen, ist, dass sich der Winkel zwischen den Strukturelementen ändern kann, ohne dass sich die Länge der Elemente ändert oder verbiegt. Erinnern Sie sich noch an die Geometrie, als wir darüber sprachen, wie Polygone definiert sind? In diesem Fall erfordern beide Vierecke einfach, dass die Summe der Innenwinkel gleich 360 Grad ist, aber jeder Winkel kann sich ändern.

(Folie 8) Dreiecke sind in diesem Sinne einzigartig. Der Winkel zwischen zwei Seiten des Dreiecks richtet sich nach der Länge der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks. Kennen Sie das aus der Geometrie? Der Winkel „a“ ist fest, basierend auf der relativen Länge der Seite „A“. Genauso wie der Winkel „b“ fest ist, basierend auf der relativen Länge von „B“ und „c“ basierend auf „C“. Deshalb kann ein Dreieck nicht kollabieren!

(Folie 9) Wie wir gezeigt haben, können auch andere regelmäßige Polygone verformt werden, ohne die Länge der Seiten zu verändern. Ein Quadrat verliert seine Form, wenn seine rechten Winkel zusammenfallen, und ein Fünfeck und ein Sechseck können verformt werden. Aber die Formen bleiben „geschlossen“, weil die Summe der Innenwinkel konstant gehalten wird. Für eine Form mit „n“ Seiten ist die Summe der Innenwinkel gleich 180*(n-2). Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt also 180 Grad, oder 180*(3-2) Grad. Die Summe der Winkel eines Quadrats beträgt 360 Grad, also 180*(4-2) Grad. Was können wir also mit den anderen Formen, den Quadraten, Fünfecken und Sechsecken, tun, damit sie nicht zusammenfallen? Zeichnen Sie diese Formen auf Ihr Papier und ergänzen Sie, was notwendig wäre.

(Folie 10) Haben Sie die Formen in Dreiecke zerlegt? Da wir wissen, dass ein Dreieck nicht kollabieren kann, und wir wissen, dass diese regelmäßigen Vielecke immer auf Dreiecke reduziert werden können (so berechnen wir die Summe der Innenwinkel, erinnerst du dich?), hält das Zerlegen unserer Vielecke in Dreiecke sie vom Kollabieren ab!

(Folie 11) Das gleiche Konzept gilt in drei Dimensionen. Wie gezeigt, kann ein Würfel durch „Einstülpen“ zusammenfallen, genau wie das Quadrat, das wir in zwei Dimensionen zusammenfallen sahen. Was würden wir also tun, um eine starke 3D-Struktur herzustellen?

(Folie 12) Wir machen 3D-Dreiecke! Genauer gesagt, wir können rechteckige oder dreieckige Pyramiden bauen! Das ist der Grund, warum Bauingenieure auf Dreiecke angewiesen sind, sowohl in 2D als auch in 3D, um starke Strukturen zu bauen! Eine 3D-Struktur, die aus einzelnen strukturellen Dreiecken wie diesem besteht, wird „Fachwerk“ genannt und wird im gesamten Ingenieurwesen für eine starke, leichte Struktur verwendet!

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