Wird auf einen Körper eine Scherkraft ausgeübt, die zu seiner seitlichen Verformung führt, so wird der elastische Koeffizient als Schersteifigkeitsmodul bezeichnet. Der Schersteifigkeitsmodul ist also ein Maß für die Steifigkeit eines Körpers. Außerdem ist er das Verhältnis von Scherspannung zu Scherdehnung in einem Körper. In diesem Thema werden wir die Schermodulformel mit einigen Beispielen besprechen.
Konzept des Schermoduls
Der Schermodul wird verwendet, um zu erklären, wie ein Material Querverformungen widersteht. Dies ist jedoch nur für kleine Verformungen sinnvoll, nach denen sie wieder in den ursprünglichen Zustand zurückkehren können. Das liegt daran, dass große Scherkräfte zu bleibenden Verformungen führen, d.h. der Körper ist nicht mehr elastisch.
Der Wert von G für Stahl ist \(7,9\mal 10^10\) und für Sperrholz ist \(6,2\mal 10^8\). Stahl ist also viel steifer als Sperrholz, etwa 127-mal mehr!
Quelle:de.wikipedia.org
Die Formel für den Schermodul
Er wird angegeben als: \(G=\frac{Fl}{A\Delta x}\)
Wobei,
| G | Scherungsmodul |
| l | Anfangslänge |
| (\Delta\) | Änderung der Länge |
| A | Fläche |
| F | Kraft |
Die Einheit von G ist Pascal i.d. h. Pa. Der Schermodul steht in Beziehung zu anderen Elastizitätsmodulen des Materials. Diese Beziehung ist wie folgt gegeben:
(E= 2G ( 1+\mu )\)
Und
(E = 3K ( 1 – 2 \mu )\)
Wobei,
| E | Youngscher Modul |
| G | Schermodul |
| K | Blockmodul |
| Poisson’s Verhältnis |
Ableitung der Schermodulformel
1] Schubspannung
Die innere Rückstellkraft bewirkt, dass der elastische Körper wieder seine ursprüngliche Form annimmt. Diese Rückstellkraft, die pro Flächeneinheit auf einen verformten Körper wirkt, wird als Spannung bezeichnet. Wenn die Kräfte, die auf die Fläche einwirken, parallel zu dieser verlaufen und somit die Spannung, die auf die Fläche einwirkt, ebenfalls eine Tangente bildet. Hier wird die Spannung als Scher- oder Tangentialspannung bezeichnet. Diese Spannung wird in Newton pro Quadratmeter ausgedrückt.
Scherspannung = Kraft / Fläche
Sigma =FA\)
| F | Angewandte Kraft |
| \(\sigma\) | Angewandte Kraft |
| A | Fläche der aufgebrachten Kraft |
2] Scherdehnung
Die Dehnung ist das Maß für die Verformung, die ein Körper in Richtung der aufgebrachten Kraft erfährt. Außerdem wird sie durch die Ausgangsmaße des Körpers geteilt. Man kann sie ausdrücken als:
(\varepsilon =tan \theta = \Delta xl\)
(\varepsilon =tan \theta = \Delta xl\) , ist die durch die aufgebrachte Spannung verursachte Dehnung
| \Varepsilon“ | Schubspannung |
| l | Original Länge |
| Delta xl\) | Längenänderung des Materials |
Beachten Sie, dass die Größe Dehnung keine Dimension hat, da sie eine relative Änderung der Form des Körpers angibt. Daher können wir den Schermodul als:
(Schermodul G= F l A \Delta x\)
Gelöste Beispiele für die Schermodulformel
Q.1: Die Dicke einer Metallplatte beträgt 0,3 Zoll. Wir bohren ein Loch mit dem Radius von 0,6 Zoll in die Platte. Wenn die Scherfestigkeit \(FA=4 \times10^4\) lb square inch ist, bestimmen Sie die Kraft, die wir benötigen, um das Loch zu bohren.
Lösung: Die Scherspannung wird über die Oberfläche der zylindrischen Form ausgeübt.
Daher ist die Fläche der zylindrischen Oberfläche,
(= 2 \pi r h = 2 \mal 3,14 \mal 0,06 \mal 0,30\)
= 0.11304 Quadratzoll
Gegeben, \(FA=4 \times10^4\) lb Quadratzoll
Daher benötigt man zum Bohren des Lochs die Kraft \(= 4 \times10^4 \times 0,11304\)
Kraft = 4521,6 lb