Ziel eines Stimulus-Response-Modells ist es, eine mathematische Funktion aufzustellen, die die Beziehung f zwischen dem Stimulus x und dem Erwartungswert (oder einem anderen Maß der Lage) der Reaktion Y beschreibt:
E ( Y ) = f ( x ) {\displaystyle E(Y)=f(x)}
Eine übliche Vereinfachung, die für solche Funktionen angenommen wird, ist linear, daher erwarten wir eine Beziehung wie
E ( Y ) = α + β x. {\displaystyle E(Y)=\alpha +\beta x.}
Die statistische Theorie für lineare Modelle ist seit mehr als fünfzig Jahren gut entwickelt, und es wurde eine Standardform der Analyse entwickelt, die lineare Regression.
Geschränkte AntwortfunktionenBearbeiten
Da viele Arten von Antworten inhärente physikalische Grenzen haben (z. B. minimale maximale Muskelkontraktion), ist es oft anwendbar, eine beschränkte Funktion (wie die logistische Funktion) zu verwenden, um die Antwort zu modellieren. Ebenso kann eine lineare Antwortfunktion unrealistisch sein, da sie willkürlich große Antworten implizieren würde. Bei binären abhängigen Variablen wird die statistische Analyse mit Regressionsmethoden wie dem Probit-Modell oder Logit-Modell oder anderen Methoden wie der Spearman-Karber-Methode durchgeführt. Empirische Modelle, die auf nichtlinearer Regression basieren, werden in der Regel der Verwendung einer Transformation der Daten vorgezogen, die die Reiz-Wirkungs-Beziehung linearisiert.
Ein Beispiel für ein Logit-Modell für die Wahrscheinlichkeit einer Reaktion auf den realen Input (Stimulus) x {\displaystyle x}
, ( x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
) ist p ( x ) = 1 1 + e – ( β 0 + β 1 x ) {\displaystyle p(x)={\frac {1}{1+e^{-(\beta _{0}+\beta _{1}x)}}}}
wobei β 0 , β 1 {\displaystyle \beta _{0},\beta _{1}}
sind die Parameter der Funktion.
Umgekehrt hätte ein Probit-Modell die Form
p ( x ) = Φ ( β 0 + β 1 x ) {\displaystyle p(x)=\Phi (\beta _{0}+\beta _{1}x)}
wobei Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)}
ist die kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung.
Hill-GleichungBearbeiten
In der Biochemie und Pharmakologie bezieht sich die Hill-Gleichung auf zwei eng miteinander verbundene Gleichungen, von denen eine die Reaktion (die physiologische Leistung des Systems, z. B. Muskelkontraktion) auf ein Medikament oder Toxin als Funktion der Konzentration des Medikaments beschreibt. Die Hill-Gleichung ist wichtig für die Konstruktion von Dosis-Wirkungs-Kurven. Die Hill-Gleichung ist die folgende Formel, wobei E {\displaystyle E}
die Größe der Reaktion ist, {\displaystyle E}}
ist die Wirkstoffkonzentration (oder äquivalent dazu die Stimulusintensität), E C 50 {\displaystyle \mathrm {EC} _{50}}
ist die Wirkstoffkonzentration, die eine halbmaximale Reaktion hervorruft und n {\displaystyle n}
ist der Hill-Koeffizient. E E m a x = 1 1 + ( E C 50 ) n {\displaystyle {\frac {E}{E_{\mathrm {max} }}}={\frac {1}{1+\left({\frac {\mathrm {EC} _{50}}{}}}right)^{n}}}}
