Variationen des Tobit-Modells können erzeugt werden, indem verändert wird, wo und wann die Zensierung stattfindet. Amemiya (1985, S. 384) klassifiziert diese Variationen in fünf Kategorien (Tobit-Typ I – Tobit-Typ V), wobei Tobit-Typ I für das erste oben beschriebene Modell steht. Schnedler (2005) liefert eine allgemeine Formel, um konsistente Likelihood-Schätzer für diese und andere Variationen des Tobit-Modells zu erhalten.
Typ IEdit
Das Tobit-Modell ist ein Spezialfall eines zensierten Regressionsmodells, weil die latente Variable y i ∗ {\displaystyle y_{i}^{*}}
nicht immer beobachtet werden kann, während die unabhängige Variable x i {\displaystyle x_{i}}
beobachtbar ist. Eine gängige Variante des Tobit-Modells ist die Zensierung bei einem Wert y L {\displaystyle y_{L}}
verschieden von Null: y i = { y i ∗ wenn y i ∗ > y L , y L wenn y i ∗ ≤ y L . {\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}>y_{L},\y_{L}&{\text{if }y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}
Ein weiteres Beispiel ist die Zensierung von Werten über y U {\displaystyle y_{U}}
. y i = { y i ∗ if y i ∗ < y U , y U if y i ∗ ≥ y U . {\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{i}^{*}<y_{U},\y_{U}&{\text{if }y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}
Ein anderes Modell ergibt sich, wenn y i {\displaystyle y_{i}}
gleichzeitig von oben und unten zensiert wird. y i = { y i ∗ wenn y L < y i ∗ < y U , y L wenn y i ∗ ≤ y L , y U wenn y i ∗ ≥ y U . {\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U},\y_{L}&{\text{if }}y_{i}^{*}\leq y_{L},\y_{U}&{\text{if }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}
Der Rest der Modelle wird als von unten bei 0 begrenzt dargestellt, obwohl dies wie bei Typ I verallgemeinert werden kann.
Typ IIBearbeiten
Typ II-Tobitmodelle führen eine zweite latente Variable ein.
y 2 i = { y 2 i ∗ wenn y 1 i ∗ > 0 , 0 wenn y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
Beim Typ I-Tobit absorbiert die latente Variable sowohl den Prozess der Teilnahme als auch das interessierende Ergebnis. Typ II-Tobit erlaubt es, dass der Prozess der Teilnahme (Auswahl) und das interessierende Ergebnis unabhängig sind, bedingt durch beobachtbare Daten.
Das Heckman-Auswahlmodell fällt in den Typ II-Tobit, der manchmal nach James Heckman Heckit genannt wird.
Typ IIIEdit
Typ III führt eine zweite beobachtete abhängige Variable ein.
y 1 i = { y 1 i ∗ wenn y 1 i ∗ > 0 , 0 wenn y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
y 2 i = { y 2 i ∗ wenn y 1 i ∗ > 0 , 0 wenn y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
Das Heckman-Modell fällt in diesen Typ.
Typ IVEdit
Typ IV führt eine dritte beobachtete abhängige Variable und eine dritte latente Variable ein.
y 1 i = { y 1 i ∗ wenn y 1 i ∗ > 0 , 0 wenn y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
y 2 i = { y 2 i ∗ wenn y 1 i ∗ > 0 , 0 wenn y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
y 3 i = { y 3 i ∗ wenn y 1 i ∗ > 0 , 0 wenn y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
Typ VEdit
Ähnlich wie bei Typ II, ist bei Typ V nur das Vorzeichen von y 1 i ∗ {\displaystyle y_{1i}^{*}}
beachtet wird. y 2 i = { y 2 i ∗ wenn y 1 i ∗ > 0 , 0 wenn y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
y 3 i = { y 3 i ∗ wenn y 1 i ∗ ≤ 0 , 0 wenn y 1 i ∗ > 0. {\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\\0&{\text{if }y_{1i}^{*}>0.\end{cases}}}
