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Construction moderne, moteur à différences n°. 2, 2005Principe des moteurs à différences
Les moteurs à différences sont appelés ainsi en raison du principe mathématique sur lequel ils reposent, à savoir la méthode des différences finies. En général, le calcul de la valeur d’un polynôme peut nécessiter tout ou partie de l’addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division.
Un avantage de la méthode des différences finies est qu’elle élimine le besoin de multiplication et de division, et permet de calculer les valeurs d’un polynôme en utilisant uniquement une simple addition. L’addition de deux nombres à l’aide de roues dentées est plus facile à mettre en œuvre que la multiplication ou la division et la méthode simplifie donc un mécanisme autrement complexe.
Si les premières valeurs d’un polynôme sont connues, le reste peut être calculé en utilisant une simple addition répétée. La méthode est illustrée dans le schéma ci-dessus pour la fonction F(x) = x2 + 4. Les valeurs de x sont indiquées dans la première colonne, avec un incrément de 1 à chaque fois (x = 1, 2, 3, 4 …). Les valeurs de la fonction x2 + 4 sont indiquées dans la deuxième colonne avec les quatre premières valeurs calculées par le calcul mental ou à la main (5, 8, 13, 20).
L’étape suivante consiste à calculer la première et la deuxième différence. Les premières différences figurent dans la troisième colonne et sont calculées en soustrayant les valeurs successives de la colonne précédente comme le montrent les flèches pleines qui coulent de gauche à droite (8-5=3, 13-8=5 etc.). Les secondes différences sont calculées en soustrayant les paires de premières différences et celles-ci sont indiquées dans la dernière colonne.
Avec ces valeurs initiales calculées, le reste des valeurs de la fonction peut être calculé en inversant le processus. Les valeurs que nous souhaitons calculer sont indiquées sous la ligne pointillée supérieure. Pour ce polynôme, la deuxième différence est une constante (2). Pour calculer la valeur de la fonction pour x=5, la différence constante (2) est ajoutée à la première différence (7) pour obtenir la première différence suivante (9) (flèche rouge), qui peut ensuite être ajoutée à la dernière valeur de la fonction (flèche bleue) pour donner F(5) = 29. C’est le résultat souhaité, obtenu sans effectuer de multiplication.
Le processus peut ensuite être répété pour donner la première différence suivante (11) qui peut être ajoutée à la dernière valeur de la fonction pour obtenir F(6) = 40, etc. En utilisant cette méthode, n’importe quel polynôme du second degré peut être calculé de cette façon et, plus généralement, n’importe quel polynôme du nième degré peut être calculé, en utilisant uniquement l’addition, en commençant par la nième différence.
Le moteur de différence n° 2 de Babbage possède des » registres » pour contenir un nombre de chacune des colonnes du tableau (par exemple 20, 7, 2). Il ajoute la deuxième différence à la première, puis ajoute ce résultat à la valeur de la fonction pour calculer l’entrée suivante dans le tableau. Il y avait suffisamment de » registres » pour sept différences, ce qui lui permettait de calculer des valeurs à 31 chiffres pour des polynômes dont les termes allaient jusqu’à x7.
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