La masse effective du ressort dans un système ressort-masse lorsqu’on utilise un ressort idéal de densité linéaire uniforme est de 1/3 de la masse du ressort et est indépendante de la direction du système ressort-masse (c’est-à-dire de la direction du système ressort-masse).masse lorsqu’on utilise un ressort idéal de densité linéaire uniforme est égale à 1/3 de la masse du ressort et est indépendante de la direction du système ressort-masse (i.e., les systèmes horizontal, vertical et oblique ont tous la même masse effective). Cela est dû au fait que l’accélération externe n’affecte pas la période de mouvement autour du point d’équilibre.
La masse effective du ressort peut être déterminée en trouvant son énergie cinétique. Cela nécessite d’ajouter l’énergie cinétique de tous les éléments de masse, et nécessite l’intégrale suivante, où u {\displaystyle u}
est la vitesse de l’élément de masse : T = ∫ m 1 2 u 2 d m {\displaystyle T=\int _{m}{\tfrac {1}{2}}u^{2}\,dm}
Puisque le ressort est uniforme, d m = ( d y L ) m {\displaystyle dm=\left({\frac {dy}{L}}\right)m}
, où L {\displaystyle L}
est la longueur du ressort. Par conséquent, T = ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {\displaystyle T=\int _{0}^{L}{\tfrac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {dy}{L}}\right)m\!}
= 1 2 m L ∫ 0 L u 2 d y {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L}}\int _{0}^{L}u^{2}\\,dy}
La vitesse de chaque élément de masse du ressort est directement proportionnelle à la longueur depuis la position où il est attaché (si près du bloc alors plus de vitesse et si près du plafond alors moins de vitesse), i.e. u = v y L {\displaystyle u={\frac {vy}{L}}}
, d’où il résulte : T = 1 2 m L ∫ 0 L ( v y L ) 2 d y {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L}}\int _{0}^{L}\left({\frac {vy}{L}\right)^{2}\,dy}
= 1 2 m L 3 v 2 ∫ 0 L y 2 d y {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L^{3}}v^{2}\int _{0}^{L}y^{2}\,dy}
= 1 2 m L 3 v 2 0 L {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L^{3}}v^{2}\left_{0}^{L}}
= 1 2 m 3 v 2 {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}}
Comparé à la formule d’énergie cinétique originale attendue 1 2 m v 2 , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2},}
la masse effective du ressort dans ce cas est m/3. En utilisant ce résultat, l’énergie totale du système peut être écrite en termes de déplacement x {\displaystyle x}
de la position non tendue du ressort (en ignorant les termes de potentiel constant et en prenant la direction vers le haut comme positive) : T {\displaystyle T}
(Énergie totale du système) = 1 2 ( m 3 ) v 2 + 1 2 M v 2 + 1 2 k x 2 – 1 2 m g x – M g x {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}({\frac {m}{3}})\ v^{2}+{\tfrac {1}{2}}Mv^{2}+{\tfrac {1}{2}}kx^{2}-{\tfrac {1}{2}mgx-Mgx}
Notez que g {\displaystyle g}
ici est l’accélération de la gravité le long du ressort. Par différenciation de l’équation par rapport au temps, l’équation du mouvement est : ( – m 3 – M ) a = k x – 1 2 m g – M g {\displaystyle \left({\frac {-m}{3}}-M\right)\ a=kx-{\tfrac {1}{2}}mg-Mg}
Le point d’équilibre x e q {\displaystyle x_{\mathrm {eq}} }}
peut être trouvé en laissant l’accélération être nulle : x e q = 1 k ( 1 2 m g + M g ) {\displaystyle x_{\mathrm {eq} }={\frac {1}{k}}\left({\tfrac {1}{2}}mg+Mg\right)}
Définir x ¯ = x – x e q {\displaystyle {\bar {x}}=x-x_{\mathrm {eq}} }}
, l’équation du mouvement devient : ( m 3 + M ) x ¯ = – k x ¯ {\displaystyle \left({\frac {m}{3}}+M\right){\bar {x}}=-k{\bar {x}}
C’est l’équation d’un oscillateur harmonique simple avec période :
τ = 2 π ( M + m / 3 k ) 1 / 2 {\displaystyle \tau =2\pi \left({\frac {M+m/3}{k}}\right)^{1/2}}
