Contrainte-déformation
Objectifs d’apprentissage
Après avoir terminé ce chapitre, vous devriez être en mesure de :
- Définir les contraintes et déformations normales et de cisaillement et discuter de la relation entre la contrainte de conception, la contrainte de rendement et la contrainte ultime
- Concevoir des éléments sous tension, compression et cisaillement
- Déterminer la déformation des membres sous tension et compression
La tension ou la compression dans un élément génère des contraintes normales ; elles sont dites « normales » parce que la section transversale qui résiste à la charge est perpendiculaire (normale) à la direction des forces appliquées. Les contraintes de traction et de compression se calculent avec :
Si un élément a une section transversale variable, l’aire qui doit être utilisée dans les calculs est l’aire minimale de la section transversale ; cela vous donnera la contrainte maximale dans l’élément, qui régira finalement la conception.
Les contraintes de cisaillement
En cisaillement, la zone de la section transversale qui résiste à la charge est parallèle à la direction des forces appliquées. En plus de cela, lorsque vous estimez la surface de cisaillement, vous devez tenir compte du nombre de sections transversales qui contribuent à la résistance globale de l’assemblage.
Par exemple, si vous considérez que l’axe d’une charnière de porte est soumis à une charge de cisaillement, vous devez compter combien de sections transversales résistent à la charge.
La formule pour calculer la contrainte de cisaillement est la même :
Dans une opération de poinçonnage, la zone qui résiste au cisaillement a la forme d’un cylindre pour un trou rond (pensez à un emporte-pièce). Par conséquent, l’aire en cisaillement sera trouvée en multipliant la circonférence de la forme par l’épaisseur de la plaque.
Note :
En regardant les figures du manuel, vous observerez que deux forces sont indiquées. Cela ne signifie pas que la force que vous utilisez dans la formule est (2 × Force P), mais indique simplement que l’une est la force d’action et la seconde la réaction.
Déformation normale
Un élément en tension ou en compression se déforme élastiquement de manière proportionnelle avec, entre autres paramètres, la longueur initiale. La déformation, également appelée déformation unitaire, est un paramètre non dimensionnel exprimé sous la forme suivante :
Si vous choisissez d’utiliser une valeur négative pour la déformation en compression (réduction de la longueur), vous devez également exprimer la contrainte de compression équivalente sous la forme d’une valeur négative.
La courbe contrainte-déformation est générée à partir de l’essai de traction. Sur la région élastique du graphique, la déformation est directement proportionnelle à la charge. En divisant la charge par la surface de la section (constante) et la déformation par la longueur initiale (constante), on obtient une représentation graphique de la déformation en fonction de la contrainte. Le rapport constant entre la contrainte et la déformation est le module de Young ou module d’élasticité, une propriété de chaque matériau.
La combinaison des deux relations ci-dessus pour la déformation et le module d’élasticité conduit à une formule unifiée pour la déformation élastique en tension ou en compression.
Cette relation est applicable aux éléments de section uniforme, de matériau homogène, soumis à des charges de traction ou de compression qui se traduisent par des contraintes inférieures à la limite proportionnelle (ligne droite de la courbe σ-ε).
Ces sujets ont été abordés en 1ère année de Résistance des matériaux et sont présentés ici à titre de bref rappel.
Les membrures soumises à une contrainte excessive peuvent céder par rupture, lorsque la contrainte réelle de travail est supérieure à la contrainte ultime, ou en raison d’une déformation excessive qui les rend inopérantes. Prenons l’exemple d’une conduite de condensat lourde qui s’affaisse au-delà d’une limite acceptable et, bien qu’elle ne se brise pas, les raccords à bride à l’extrémité des conduites développeront des fuites en raison du mouvement angulaire.
La contrainte de conception, σd, est le niveau maximal de contrainte réelle/de travail qui est considéré comme acceptable du point de vue de la sécurité. La contrainte de conception est déterminée par :
- Les propriétés du matériau, la résistance ultime à la traction ou la limite élastique, selon que la rupture doit être évitée ou que la déformation doit être limitée
- Le facteur de sécurité (ou facteur de conception) N, rapport entre la résistance maximale et la charge prévue.
Le facteur de sécurité est choisi par le concepteur sur la base de son expérience, de son jugement ET des directives/règles des codes et normes pertinents, en fonction de plusieurs critères tels que le risque de blessures, l’exactitude des données de conception, la probabilité, les normes industrielles et, enfin et surtout, le coût. Les normes relatives aux facteurs de sécurité ont été établies par des ingénieurs structurels, sur la base d’estimations rigoureuses et avec l’appui d’années d’expérience. Les normes évoluent en permanence, reflétant des philosophies de conception nouvelles et améliorées. Exemple:
- publiées par l’ANSI / AISC , comme la spécification pour les bâtiments en acier structurel
Lorsque les étudiants résolvent des problèmes, ils peuvent rencontrer différents scénarios. Si les concepts théoriques sont les mêmes, les chemins vers les réponses finales peuvent être différents, comme l’exige chaque approche.
- Estimer si une conception/construction est sûre ou non
- Donné : l’ampleur et la distribution des charges, les propriétés des matériaux, la forme et les dimensions des éléments
- Trouver : la contrainte réelle et la comparer à la contrainte de conception ; alternativement, trouver le facteur de sécurité et décider s’il est acceptable en fonction des normes applicables
- Choisir un matériau approprié
- Donné : l’ampleur et la distribution des charges, la forme et les dimensions de l’élément
- Trouver : quel type ou grade de matériau fournira une résistance (limite d’élasticité ou ultime) supérieure à celle requise, tout en tenant compte du facteur de sécurité sélectionné ou spécifié
- Donné : l’ampleur et la distribution des charges, les propriétés du matériau
- Trouver : la forme et les dimensions de l’élément de sorte que la surface réelle de la section transversale soit supérieure au minimum requis.
- Donné : type de charge et distribution, propriétés du matériau, forme et dimensions de l’élément
- Trouver : l’amplitude maximale de la charge qui conduit à une contrainte acceptable
Détermination de la forme et des dimensions de la section transversale de l’élément
Evaluation de la charge maximale admissible sur un composant
Il existe des cas où un membre soumis à des contraintes normales est constitué de deux (ou plusieurs) matériaux. L’un des objectifs de tels problèmes est de trouver la contrainte dans chaque composant.
Par exemple, vous pouvez avoir une courte colonne constituée d’un tuyau en acier rempli de béton, comme sur la figure. Étant donné la charge totale, les propriétés des matériaux et les dimensions géométriques, nous devons trouver la contrainte individuelle dans chaque composant.
Tous les deux, le tuyau en acier et le noyau en béton travaillent ensemble pour supporter la charge donc nous devons trouver des relations supplémentaires qui combinent les deux problèmes en un seul . Typiquement, nous recherchons :
- une relation qui décrit la distribution des forces entre les deux matériaux
- une relation qui corrèle les déformations de chaque matériau
Pour ce problème particulier, nous pouvons dire que :
Equation 1 : Charge totale P = charge supportée par l’acier P acier + charge supportée par le béton P béton
donc P = Contrainte acier × Surface acier + Contrainte béton × Surface béton
Equation 2 : Les déformations des deux matériaux sont les mêmes
donc Déformation acier = Déformation béton
Considérant que le module élastique = Contrainte / Déformation, l’équation (2) donne une relation entre la contrainte et l’élasticité des deux matériaux
Substituer cette dernière relation dans l’équation (1) et résoudre la Contrainte béton conduit à la relation suivante
En outre, on peut trouver la Contrainte acier.
Notez que selon le problème, les deux relations d’origine peuvent être différentes donc une dérivation complète étape par étape peut être nécessaire à chaque fois.
Réponses raisonnables
Lorsque vous résolvez des problèmes de contrainte normale – déformation, en particulier dans le système SI, vous devez être capable de juger si vos réponses sont raisonnables ou non.
Exemple : Une barre en acier au carbone A 36 de 1 m de long et de 20 mm de diamètre (propriétés des matériaux dans l’annexe B, tableau B2) suspend une charge de 6 tonnes. Évaluez la contrainte et la déformation dans la barre.
Notez que généralement les charges sont en kN, les surfaces de section en 10-3 m2 et les contraintes résultantes en MPa.
De plus, les modules élastiques étant en GPa, la déformation (non dimensionnelle) sera de l’ordre de 10-3. Cette barre s’étirera de 0,9 mm sous la charge donnée.
Problèmes assignés
Pour résoudre ces questions, vous devez utiliser les annexes du manuel. Elles constituent des références précieuses pour les propriétés des matériaux, les dimensions géométriques, etc.
Problème 1 : Une conduite de condensat de 152 mm de diamètre nominal faite d’un tuyau en acier au carbone de calibre 40 est soutenue par des suspensions à tiges filetées espacées de 2,5 m centre à centre. Les supports sont en acier au carbone, ont une longueur de 50 cm et un diamètre de base de 12 mm. Calculez la contrainte et la déformation dans les supports. Utilisez E=200 GPa pour le matériau des cintres.
Problème 2 : Une fixation à chape avec un axe de 1/2 pouce est utilisée dans une machine de levage d’atelier. Si la goupille est en acier A36, déterminez la charge maximale de sécurité, en utilisant un facteur de sécurité de 2,5 basé sur la limite d’élasticité.
Problème 3 : Une chaudière est supportée par plusieurs colonnes courtes comme indiqué sur la figure, fabriquées en fonte grise de classe 35. Chaque colonne supporte une charge de 50 tonnes. Le coefficient de sécurité requis pour cette construction est de 3. Les colonnes sont-elles sûres ?
Utiliser les dimensions suivantes : A = 30 mm, B = 80 mm, C = 50 mm, D = 140 mm
Problème 4 : Un élément de tension dans une ferme de toit est soumis à une charge de 25 kips. La construction nécessite l’utilisation d’un angle L2x2x1/4, avec une section transversale de 0,944 in2. Pour les structures de type bâtiment, l’American Institute of Steel Construction recommande d’utiliser une contrainte de calcul de 0,60×Sy. En utilisant le tableau B2 de l’annexe B, spécifiez un matériau d’acier approprié.
Problème 5 : Un vérin hydraulique à tirants comme dans la figure est fabriqué à partir d’un tuyau en acier inoxydable Schedule 40 de 6 pouces, de 15 pouces de long. Les six tirants sont des tiges filetées 1/2-13 UNC avec un diamètre de racine de 0,4822 pouce et un pas de filetage de 13 TPI. Lors de l’assemblage du cylindre, une force de serrage équivalente à un tour complet d’écrou à partir de la position de serrage à la main est nécessaire.
.