Abstrait
Dans cet article, la condition d’existence de l’amortissement critique dans les systèmes à 1 DOF avec amortissement fractionnaire est présentée, et la relation entre le coefficient d’amortissement critique et l’ordre de la dérivée fractionnaire est dérivée. Il montre que ce n’est que lorsque l’ordre de l’amortissement fractionnel et son coefficient remplissent certaines conditions que le système se trouve dans le cas d’amortissement critique. Ensuite, les caractéristiques de vibration des systèmes avec différents ordres situés dans l’ensemble d’amortissement critique sont discutées. Sur la base des résultats, la stratégie de contrôle classique de l’amortissement en crochet est étendue à l’amortissement fractionné, où une loi de contrôle de commutation est conçue pour obtenir un effet de contrôle plus idéal. En se basant sur le principe de la transformation des coordonnées modales, une nouvelle méthode de conception de la commande d’amortissement fractionnelle du crochet du ciel pour la suspension d’une voiture complète est donnée. Les résultats de la simulation montrent que la méthode de contrôle proposée a un bon effet de contrôle, même dans certains cas particuliers, tels que les bosses sur les routes.
1. Introduction
Les vibrations des systèmes linéaires à 1 DOF avec un amortissement ordinaire peuvent être classées comme sous-amorties, amorties de façon critique et sur-amorties selon la magnitude du coefficient d’amortissement. L’amortissement critique est défini comme le seuil entre le suramortissement et le sous-amortissement. Dans le cas de l’amortissement critique, l’oscillateur revient à la position d’équilibre le plus rapidement possible, sans osciller, et la franchit une fois au plus . Compte tenu de la particularité de l’amortissement critique, il est fréquemment étudié dans d’autres systèmes. Le critère d’amortissement critique des systèmes à plusieurs degrés de liberté visqueusement amortis est fourni par Bulatovic . Les conditions d’existence de l’amortissement critique dans les systèmes pendulaires du second ordre sont établies par Li et al. Une méthode générale qui détermine les « surfaces d’amortissement critique » d’un certain système dynamique linéaire continu est proposée par Beskos et Boley . Cependant, jusqu’à présent, il n’y a que quelques recherches sur l’amortissement critique dans les systèmes à amortissement fractionné. En 1984, Torvik et Bagley ont proposé un modèle mécanique avec des dérivés fractionnaires dans l’étude du mouvement d’une plaque rigide immergée dans un fluide de Newton, et les résultats de l’étude dans rendre le calcul fractionnaire attrayant pour de nombreux ingénieurs et techniciens .
La suspension du véhicule est un composant important pour améliorer le confort de conduite et la performance de manipulation , la recherche sur sa stratégie de contrôle est un point chaud. Dans ces approches de contrôle, la stratégie de contrôle skyhook proposée par Karnopp et al est largement appliquée en raison de son algorithme simple et de ses bonnes performances de contrôle. Le principe de contrôle classique du crochet du ciel est basé sur un système de vibration SDOF, qui convient au contrôle de la vibration verticale des modèles de quart de voiture à deux DOF. Ces dernières années, de nombreux chercheurs ont étudié l’application de l’algorithme du skyhook à un modèle de suspension de voiture complète. Les principales stratégies de contrôle du crochet du ciel pour les systèmes de suspension de véhicules complets sont basées sur la pensée physique ; ces stratégies sont des extensions d’application de la méthode classique du crochet du ciel qui est largement utilisée pour contrôler les systèmes de suspension des voitures de tourisme. Le modèle de suspension de voiture complète est considéré comme une simple combinaison de quatre modèles de sous-suspension 1/4, et il est supposé qu’il y a un « skyhook » relié à chaque 1/4 de la carrosserie de la voiture par quatre amortisseurs skyhook pour contrôler la vibration de la carrosserie de la voiture, alors que la suspension de véhicule complète a des exigences de performances de suspension multi-objectifs impliquant les mouvements verticaux, de tangage et de roulis. Par conséquent, le problème de la coordination des forces des quatre contrôleurs indépendants pour maintenir une bonne posture du corps doit être résolu et la solution typique est l’ajout d’un système de prise de décision.
Bien que les algorithmes courants puissent atteindre une bonne performance de contrôle, il est incompatible avec le principe de contrôle original du skyhook. Du point de vue des principes mathématiques, le principe de contrôle classique du skyhook est utilisé pour contrôler un système SDOF avec un seul amortisseur de skyhook. Alors que la suspension du véhicule est un système à plusieurs DOF (les modèles existants ont sept DOF ou plus), le même nombre de contrôleurs est donc nécessaire. Cependant, dans la réalité, il n’y a que quatre contrôleurs. Comment aborder ce problème ?
Ce travail est divisé en deux parties. Dans la première partie, l’amortissement critique dans un système d’ordre fractionnaire est étudié. Les conditions d’existence de l’amortissement critique sont données, et l’ordre de relation est dérivé. Ensuite, les caractéristiques d’atténuation des vibrations des systèmes d’amortissement critique d’ordre fractionnaire avec différents ordres sont discutées. Dans la deuxième partie, l’amortissement critique fractionné est appliqué à la stratégie de contrôle du système de suspension du véhicule. La méthode de découplage modal est utilisée pour résoudre le problème du nombre de contrôleurs requis qui ne correspond pas à celui des contrôleurs réels. Dans l’espace modal, la stratégie de commande classique du crochet de ciel est utilisée pour réduire les vibrations monomodes découplées. Ici, les coefficients d’amortissement critiques fractionnaires sont choisis comme coefficients d’amortissement du crochet du ciel. De cette façon, le nombre de contrôleurs conçus est cohérent avec celui des DOF du système, puis ces modes sont recouplés et les contrôleurs réels sont utilisés pour contrôler la suspension. Un modèle de domaine temporel de route aléatoire corrélé à quatre roues est construit pour tester l’effet de la stratégie de contrôle de skyhook à dérivée fractionnaire ; une bosse de route est spécialement conçue pour démontrer les avantages de l’amortissement critique à dérivée fractionnaire.
L’organisation de l’article est la suivante. Dans la section 2, on donne d’abord les conditions des systèmes à amortissement fractionnaire se trouvant dans le cas d’amortissement critique. Ensuite, les propriétés de la vibration avec amortissement critique sont étudiées. Dans la section 3, un nouvel algorithme de contrôle de crochet de ciel fractionnaire pour les systèmes de suspension de voiture complète est proposé. Dans la section 4, les résultats de la simulation sont discutés. Les conclusions sont données dans la section 5.
2. Amortissement critique du système avec amortissement dérivé fractionnel
2.1. Dérivation de la formule
L’équation différentielle de vibration libre d’un système SDOF avec amortissement à dérivée fractionnaire a la forme où est le déplacement, est la dérivée temporelle fractionnaire de , et , , et sont respectivement le coefficient de masse, d’amortissement et de rigidité.
Il existe de nombreuses définitions des dérivées fractionnaires , parmi lesquelles la définition de Riemann-Liouville et celle de Caputo sont les plus utilisées . La première est fréquemment utilisée pour la description des problèmes en raison de sa demande modérée de la continuité de la fonction. La seconde a la même transformée de Laplace que celle d’ordre entier, elle est donc largement utilisée en théorie du contrôle. Dans cet article, la force d’amortissement à dérivée fractionnaire est considérée comme une force de contrôle pour étudier les propriétés de la vibration libre amortie du système, donc la définition de Caputo est utilisée ici.
Par la méthode de la transformée de Laplace, l’équation caractéristique du système prend la formeoù est la variable complexe. En substituant sa forme polaire dans (2), on a
Considérant la formule d’Euler , (3) prend la forme
La condition d’établissement de (4) est que les parties réelles et imaginaires sont égales à zéro, donc on obtient
On sait que lorsque la partie imaginaire des racines de (2) est non nulle, le mouvement libre amorti du système est toujours oscillant. Pour éviter l’oscillation, les racines caractéristiques doivent se trouver dans l’axe réel négatif. Supposons que où est un nombre entier, ainsi et sont obtenus, alors (5) peut être simplifié comme
La condition d’établissement de (7) est , ce qui signifie que . Par conséquent, on peut obtenir que où est un nombre entier. Par conséquent, nous avons
Nous constatons que l’ensemble de est dense, mais la densité de probabilité de toute localisation dans ce domaine est petite, donc la condition d’existence de l’amortissement critique est stricte.
D’après (6), un coefficient d’amortissement négatif est obtenu lorsque , qui représente un apport d’énergie au système. Dans ce cas, l’oscillation du système est renforcée, et il n’y a pas d’amortissement critique, tandis que c’est le contraire lorsque ; c’est-à-dire, est impair, donc en substituant dans (6) et ensuite (10) est obtenu. En résumé, dans (9) est un entier, est impair, et . Les conditions d’existence de l’amortissement critique dans les systèmes de vibration avec amortissement à dérivée fractionnaire et sa formule de calcul sont présentées.
Pour les systèmes linéaires 1 DOF à amortissement fractionnaire, seulement quand (9) est satisfait par l’ordre de l’opérateur fractionnaire, il y a une valeur critique des coefficients d’amortissement. Pour que les solutions de (1) soient sans oscillation, la relation entre le coefficient d’amortissement et l’ordre estoù . Dans (10), lorsque , c’est-à-dire , nous avons la valeur minimale du coefficient d’amortissement qui représente le coefficient d’amortissement critique cc.
Les courbes qui représentent la relation entre les variables dans (10) sont tracées dans la figure 1. Prenez , par exemple, le point le plus bas de la courbe représente le point d’amortissement critique et son coefficient d’amortissement correspondant est la valeur critique du coefficient d’amortissement. Il convient de noter que de nombreuses recherches antérieures sur les systèmes à amortissement fractionné à 1 DOF se concentrent sur les solutions des équations caractéristiques. De ce point de vue, nous constatons que lorsque , les équations caractéristiques n’ont que des racines complexes ou conjuguées et qu’elles ont des racines réelles négatives lorsque . Par conséquent, lorsque , il représente le coefficient de suramortissement, et lorsque , il est le coefficient de sous-amortissement. Dans le cas d’un amortissement critique, l’équation caractéristique a la racine , qui représente le taux de convergence. Lorsqu’il passe de 0 à 2, le point d’amortissement critique est déplacé vers le bas à droite sur la figure, ce qui indique qu’avec plus grand , il s’avère un plus petit et plus grand ; c’est-à-dire qu’avec une valeur propre plus petite, le système est un convergent plus rapide.
Il faut noter aussi que Sakakibara a étudié les propriétés de la vibration avec un amortissement à dérivée fractionnaire d’ordre 1/2. Par l’analyse des solutions de (1), il est conclu qu’il n’existe pas de valeur critique du coefficient d’amortissement, ce qui ne va pas à l’encontre des conclusions de cet article car n’est pas situé dans l’ensemble représenté par (9). En fait, il est facile de comprendre que par réduction à l’absurde, c’est-à-dire lorsque les racines s sont des réels négatifs, elles ne tiennent pas en substituant dans (2). Cela signifie que lorsque , les valeurs propres ne peuvent pas être des réels négatifs et contiennent toujours une partie imaginaire. De plus, nous trouvons que lorsque , les coefficients d’amortissement critiques , , et sont obtenus, ce qui est cohérent avec l’amortissement critique dans un système d’ordre entier. Comme notre objectif principal n’est pas de résoudre l’équation et que les coefficients d’amortissement critique peuvent être obtenus sans analyser les solutions, nous ne reviendrons pas sur ces questions ici et renvoyons le lecteur intéressé à . Comme le montre la figure 2, lorsque , le coefficient d’amortissement critique est deviné selon l’analyse ci-dessus.
2.2. Propriétés de la vibration avec amortissement critique à dérivation fractionnée
Lorsque , l’amortissement fractionné joue non seulement le rôle d’un amortissement classique, mais aussi celui d’un ressort supplémentaire . Si ou , l’effet d’amortissement du système sera affaibli, et il y a un comportement typique de l’oscillation. En outre, les systèmes d’ordre fractionnaire sont facilement affectés par l’état initial. Par conséquent, dans la pratique, devrait se situer dans la gamme d’intérêt d’ingénierie.
La figure 3 montre les courbes des mouvements libres décroissants des systèmes d’amortissement critique avec différents ordres sous l’état initial , . Elle montre que dans le cas des mêmes autres paramètres, les systèmes avec une grande reviennent plus rapidement à la position d’équilibre. Lorsque , les systèmes sont relativement lents car ils reviennent à la position d’équilibre et ne la franchissent pas. Sinon, lorsque , les systèmes sont relativement rapides et passent par la position d’équilibre statique une fois (dépassement se produit), ce qui est différent de l’amortissement critique ordinaire. Bien que les systèmes avec un grand retour à la position d’équilibre à une vitesse plus rapide, il est facile d’être éveillé par une excitation externe telle que l’entrée de l’étape ; les courbes de réponse sont présentées dans la figure 4.
On s’attend à ce que, sous la prémisse de non-oscillation, le système ne soit pas facile à exciter par une excitation externe et puisse revenir à la position d’équilibre aussi rapidement que possible lorsqu’il n’y a pas de force externe. Une loi de commande de commutation est conçue pour rendre le déplacement aussi petit que possible lorsque le système s’éloigne de la position d’équilibre et pour limiter le temps nécessaire pour atteindre la position asymptotiquement stable lorsqu’il n’y a pas de force externe. La loi de contrôle conçue est où est la force de contrôle, et sont les ordres de la dérivée fractionnaire, et et sont les coefficients d’amortissement critiques correspondants de la dérivée fractionnaire, est le déplacement. L’efficacité de la stratégie de contrôle proposée est testée par une excitation par impulsion. La figure 5 montre que, sous une entrée impulsionnelle, la loi de commande de commutation rend les performances vibratoires du système d’ordre fractionnaire meilleures que celles du système d’ordre entier.
3. Stratégie de commande du Skyhook du véhicule
Selon la théorie de la dynamique du véhicule, le modèle dynamique du véhicule avec sept DOF est établi. Les sept DOF , , , , , , et sont respectivement le déplacement du soulèvement, du tangage, du roulis de la caisse et le déplacement des quatre roues. Ce modèle est similaire à ceux utilisés par , où l’équation différentielle matricielle du modèle peut être décrite commeoù est un vecteur composé de , , , , , et . et sont les matrices de masse, d’amortissement et de rigidité, respectivement. est la matrice d’entrée et est un vecteur qui représente l’excitation de la route liée aux quatre roues. est le vecteur de commande et est le vecteur de la force de commande active. L’équation (12) représente une suspension passive lorsque est un vecteur nul.
Selon la théorie des vibrations linéaires, le système de suspension découplé se transforme en sous-systèmes linéaires isolés qui peuvent être contrôlés indépendamment . Par conséquent, une méthode de découplage modal systématique est considérée, avec laquelle la matrice de masse et de rigidité peut être complètement découplée ; cependant, la matrice d’amortissement ne peut pas être complètement découplée généralement. Ici, seuls les éléments diagonaux de la matrice d’amortissement sont contrôlés pour vérifier l’efficacité de la stratégie de contrôle. On considère l’équation différentielle matricielle du système entièrement découplé où est le vecteur des coordonnées principales, , est la matrice des caractéristiques, et est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont égaux à ceux du vecteur . Dans (13), , , et sont des matrices diagonales d’ordre sept et, en supposant que est également une matrice diagonale d’ordre sept, on obtient sept équations différentielles de fonction scalaire indépendante ; la commande fractionnée du crochet du ciel est utilisée ici pour réduire chaque vibration modale indépendante. Soit , donc les sept équations différentielles indépendantes ont la formeoù est l’excitation externe pour les systèmes de vibration modale, représente la force d’amortissement fractionnelle du skyhook.
Les équations de vibration libre des systèmes modaux sont considérées, à savoir,où la force de contrôle est utilisée pour maintenir le système dans le cas de l’amortissement critique. Selon la méthode de la section 2, la relation entre le coefficient d’amortissement et l’ordre est obtenue
Lorsque , le coefficient d’amortissement skyhook à dérivée fractionnaire est égal au coefficient d’amortissement critique à dérivée fractionnaire. De la même manière, on espère qu’avec la force d’amortissement fractionnaire, le système modal n’est pas facilement excité par une force externe et revient à la position d’équilibre le plus rapidement possible sans osciller lorsqu’il n’y a pas de force. Ici, une loi de commande de commutation est donnée comme suit :
Dans la pratique, avec un plus grand ou un plus petit , ces problèmes, tels que la limitation de la force de l’actionneur et l’efficacité du travail de l’actionneur, se posent. Afin d’obtenir un effet de contrôle relativement bon, seule la limitation de la force de l’actionneur est considérée. Sept coefficients d’amortissement du crochet du ciel du système sont obtenus. Par réduction des coordonnées, le vecteur de force de commande final estoù = (). L’équation (19) représente la force de la stratégie de commande d’amortissement du crochet du ciel d’ordre entier lorsque . La matrice inverse généralisée de est utilisée ici car elle n’est pas une matrice carrée.
4. Résultats de la simulation et discussions
Un modèle de domaine temporel de route aléatoire corrélé à quatre roues est utilisé ici et le profil de la route est une pente C. Pour vérifier les caractéristiques de l’amortissement critique fractionnel, une condition de travail est conçue comme suit : lorsque la simulation passe à , du côté gauche du véhicule, les roues avant et arrière ont été soulevées successivement par une bosse de route en forme d’onde sinusoïdale d’une hauteur de 0,1 m. Les paramètres de suspension du véhicule sont indiqués dans les notations. Pour valider la supériorité de l’amortissement critique à dérivée fractionnaire, tout en évitant les effets négatifs suivants avec un grand ou un petit , dans la loi de contrôle de commutation, les ordres sont choisis comme et .
Les figures 6 et 7 montrent que la stratégie de contrôle du skyhook du véhicule proposée peut supprimer efficacement la vibration de la carrosserie ; l’amplitude de la vibration et l’accélération sont toutes deux diminuées de manière significative ; la performance est particulièrement bonne après le franchissement de la bosse routière. La figure 6 montre que la vibration avec un amortissement critique à dérivée fractionnelle a une meilleure performance sur les réponses d’amplitude que celle avec un amortissement entier. Et la figure 7 montre que la stratégie de contrôle de l’amortissement en crochet d’ordre fractionnel n’a pas de détérioration significative de la réponse en accélération. Mais pour une grande ou petite , les réponses d’accélération deviennent pires que celles de la stratégie de contrôle d’ordre entier, et c’est pourquoi l’ordre devrait se situer dans un domaine raisonnable dans l’application d’ingénierie.
(a) Déplacement du soulèvement
(b) Déplacement en tangage
(c) Déplacement en roulis
(a) Déplacement du pilonnement
(b) Déplacement du tangage
(c) Déplacement en roulis
(a) Accélération du soulèvement
(b) Accélération du tangage
(c) Accélération du roulis
(a) Accélération du pilonnement(a) Accélération du pilonnement
(b) Accélération du tangage
(c) Accélération du roulis
Par rapport à de nombreuses autres stratégies de contrôle de la suspension de la voiture complète, il y a deux avantages principaux pour la méthode dans ce document. Tout d’abord, la méthode proposée est beaucoup plus simple que la plupart des méthodes de contrôle. Par exemple, ces méthodes présentées dans sont également testées par une bosse sur la route et peuvent améliorer les performances vibratoires du véhicule, mais elles sont trop compliquées. En fait, la stratégie de contrôle du crochet du ciel est l’une des nombreuses méthodes simples et pratiques qui sont largement appliquées. Parmi les algorithmes de contrôle du skyhook pour véhicule complet, un contrôleur semi-actif asynchrone basé sur le skyhook proposé par Zhang et al. peut contrôler chaque sous-système indépendamment ; les résultats montrent que les amplitudes de crête des accélérations de la carrosserie augmentent plus que celles de la suspension passive lorsqu’elles sont testées par une excitation par impulsion. Par conséquent, il n’est pas facile de maintenir une bonne posture du corps, en particulier lorsqu’une voiture traverse une bosse sur la route. La solution existante consiste à introduire de nouvelles commandes telles que la commande floue parallèle modulaire et la commande intelligente de type humain, ce qui rend les stratégies complexes et difficiles à appliquer. Deuxièmement, il existe de nombreuses stratégies de contrôle de la suspension active qui sont conçues sur la base d’une utilisation plus complète des informations relatives à l’aperçu de la route, facilitée par l’utilisation de caméras embarquées et de systèmes de positionnement global. Par exemple, il est prévu que la prévisualisation de la route soit disponible dans la méthode de contrôle en . Cependant, notre méthode de contrôle n’a pas besoin de telles installations.
En un mot, le contrôle du skyhook proposé a un algorithme simple et est cohérent avec le schéma d’amortissement original du skyhook en principe. La stratégie avec des coefficients d’amortissement critiques d’ordre entier a un bon effet, et celle fractionnée est considérée comme un supplément, qui fournit plus de sélection de paramètres et a une meilleure performance sur les réponses d’amplitude.
5. Conclusions
(1) Le mouvement amorti libre des systèmes SDOF avec amortissement dérivé fractionnel est d’abord étudié. Les conditions de l’amortissement critique existant sont données et la relation entre le coefficient d’amortissement critique et la dérivée fractionnaire d’ordre est dérivée. Il est également constaté que lorsque l’ordre augmente de 0 à 2, le coefficient d’amortissement critique devient petit, mais il est plus rapide de revenir à la position d’équilibre.
(2) Sur la base de la pensée mathématique, une nouvelle stratégie de contrôle de l’amortissement du skyhook de la voiture complète est proposée, ce qui est différent de la pensée logique de la plupart des universitaires. L’algorithme classique peut également atteindre une bonne performance ; ici, il ne s’agit pas de nier son efficacité, mais de donner une nouvelle perspective aux universitaires pour réexaminer la logique mathématique intrinsèque du principe d’amortissement classique du skyhook. Le coefficient d’amortissement critique d’ordre fractionnaire est choisi comme le coefficient d’amortissement du skyhook pour clarifier la supériorité de l’amortissement critique d’ordre fractionnaire proposé dans l’application pratique.
(3) Les résultats de simulation montrent que par rapport à la suspension passive, la suspension active contrôlée par skyhook a une meilleure performance sur la suppression des vibrations. En outre, la suspension fractionnée contrôlée par skyhook a de meilleures réponses du corps vibrant, en particulier lorsque le véhicule passe la bosse de la route. Les résultats confirment non seulement la supériorité de l’amortissement critique fractionné, mais valident également l’efficacité de cette stratégie de contrôle.
Abréviations
Paramètres du véhicule
| : | Masse suspendue, 810 kg |
| : | Moment d’inertie du tangage du véhicule, 300 kg-m2 |
| : | Moment d’inertie du roulis du véhicule, 1058 kg-m2 |
| : | Distance de l’essieu à 1.14 m |
| : | Centre de gravité, 1.22 m |
| : | Rigidité de la suspension avant, 20600 N/m | : | Rigidité de la suspension arrière, 15200 N/m |
| : | Amortissement de la suspension avant, 1570 N/m |
| : | Amortissement de la suspension arrière, 1760 N/m | : | Rigidité des pneus, 138000 N/m |
| : | Masse des pneus avant, 26.5 kg | : | Masse du pneu arrière, 24.4 kg |
| : | Distance entre deux pneus, 1,3 m | Vitesse du véhicule, 50 km/h. |
Conflits d’intérêts
Les auteurs déclarent qu’il n’y a pas de conflits d’intérêts concernant la publication de cet article.
Remerciements
Ce travail a été soutenu par la Fondation nationale des sciences naturelles de Chine (subvention n° 11272159) et (subvention n° 51605228).