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二項分布

MathWorldの貢献者 > Yap >

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二項分布は、離散的な確率分布
を与えます。 二項分布は、P_p(n|N)Nnpq=1-で偽となる場合)p）となります。) したがって、二項分布は次のように与えられます

P_p(n|N) = (N; n)p^nq^(N-))n)
(1)
= (N!)/(n!(N-n)!)p^n(1-p)^(N-n),
(2)

ここで(N; n)p=q=1/2N=20n回の成功の分布を示しています。

二項分布はWolfram LanguageではBinomialDistributionとして実装されています。

二項分布で観測されるnより多くの成功を得る確率は

(3)
P=sum_(k=n+1)^N(N; k)p^k(1-p)^(N-k)=I_p(n+1,N-n)となります。

where

(4)
I_x(a,b)=(B(x;a,b))/(B(a,b))、

B(a,b)B(x;a,b)は不完全ベータ関数です。

二項分布の特性関数は

です。 phi(t)=(q+pe^(it))^N
(5)

(Papoulis 1984, p. 154). 瞬間的な分布のモーメント生成関数Mは

M(t) = e^(tn)
(6)
= sum_(n=0)^(N)e^(tn)(N; n)p^nq^(N-n)
(7)
= sum_(n=0)^(N)(N; n)(pe^t)^n(1-p)^(N-)n)
(8)
= ^N
(9)
M^'(t)'(t) = N^(N-)1)(pe^t)
(10)
M^('')(t)'')(t) = N(N-)1)^(N-2)(pe^t)^2+N^(N-1)(pe^t)となります。
(11)

平均値は

mu = M^'(0)'(0)
(12)
= N(p+1-)p)p
(13)
= Np.
(14)

0に関するモーメントは

mu_1^'' = mu=Np
(15)
mu_2^'' = Np(1-)p+Np)
(16)
mu_3^'' = Np(1-)3p+3Np+2p^2-(1-)3Np^2+N^2p^2)
(17)
mu_4^'' = Np(1-)7p+7Np+12p^2-18Np^2+6N^2p^2-6p^3+11Np^3-6N^2p^3+N^3p^3),
(18)

従って、平均に関するモーメントは

mu_2 = Np(1-)p)=Npq
(19)
mu_3 = Np(1-)p)(1-2p)
(20)
mu_4 = Np(1-)p).
(21)

スキューネスとクルトシスエクスセスは

gamma_1 = (1-)2p)/(sqrt(Np(1-p))
(22)
= (q-)p)/(sqrt(Npq))
(23)
gamma_2 = (6p^2-)6p+1)/(Np(1-)p))
(24)
= (1-)6pq)/(Npq)となります。
(25)

最初のキュムラントは

kappa_1=np,
(26)

そしてそれに続くキュムラントは recurrencerelation

kappa_(r+1)=pq(dkappa_r)/(dp)で与えられます。
(27)

平均偏差は次のように与えられます。 平均偏差は次のように与えられます

MD=sum_(k=0)^N|k-。Np|(N; k)p^k(1-p)^(N-k)となります。
(28)

特別な場合p=q=1/2については、次のようになります。 これは次のようになります

MD = 2^(-)N)sum_(k=0)^(N)(N; k)|k-。1/2N|
(29)
= {(N!!)/(2(N-1)!!)はN奇数の場合、((N-1)!!)/(2(N-2)!!)はN偶数の場合です。)はN偶数の場合、
(30)

ここで、N!!!N=1, 2, …の場合、最初のいくつかの値は、したがって、1/2, 1/2, 3/4, 3/4, 15/16, 15/16, …となります。 となります（OEIS A086116およびA086117）。 一般的なケースは次のように与えられます

MD=2(1-p)^(N-|_Np_|)p^(|_Np_|+1)(|_Np_|+1)(N; |_Np_|+1)。
(31)

Steinhaus(1999, pp. 25-28）は、大きさsnS(n,N,s)Nを無作為に分配した後に考察しています。

S(n,N,s)=sP_(1/s)(n|N)となります。
(32)

N=s=64とすると、以下の表にまとめた結果が得られます。

n S(n,64,64)
0 23.3591
1 23.7299
2 11.8650
3 3.89221
3 3.89221
4 0.942162
5 0.942162
5 0.179459
6 0.0280109
7 0.0036840
8 4.16639×10^(-4)
9 4.11495×10^(-5)
9 4.11495×10^(-5)
10 3.59242×10^(-6)

大きなNn^~について展開することで得ることができます。 i.e., dP/dn=0n=n^~+etaとすると、

(33)

where

B_k=)/(dn^k)]_(n=n^~)となります。
(34)

しかし、私たちは最大値について展開しています。

B_1=)/(dn)]_(n=n^~)=0となります。
(35)

これは、B_2B_2=-|B_2|と書けます。 さて、(◇)の対数をとると

(36)
ln=lnN!-lnn!-ln(N-n)!+nlnp+(N-n)lnqとなります。

大きなnN-?nではスターリングの近似を用いることができる

ln(n!) approx nlnn-n,
(37)

ソ

(d)/(dn) 約 (lnn+1)-。1
(38)
= lnn
(39)
(d)/(dn) 約 d/(dn)
(40)
=
(41)
= -。ln(N-n)です。
(42)

and

(dln)/(dn)近似値-。lnn+ln(N-n)+lnp-lnqとなります。
(43)

n^~とします。 この式を0にして、nを解きます。

ln((N-)n^~)/(n^~)p/q)=0
(44)
(N-?n^~)/(n^~)p/q=1
(45)
(46)
(N-?n^~)p=n^~q
n^~(q+p)=n^~=Np,
(47)

p+q=1なので。 これで、拡張の項を見つけることができます

B_2 = )/(dn^2)]_(n=n^~)
(48)
= -。1/(n^~)-1/(N-)n^~)
(49)
= -。1/(Npq)
(50)
= -。1/(Np(1-p))
(51)
B_3 = )/(dn^3)]_(n=n^~)
(52)
= 1/(n^~^2)-。1/((N-n^~)^2)
(53)
= (q^2-)p^2)/(N^2p^2q^2)
(54)
= (1-)2p)/(N^2p^2(1-)p)^2)
(55)
B_4 = )/(dn^4)]_(n=n^~)
(56)
= -。2/(n^~^3)-2/((n-.n^~)^3)
(57)
= (2(p^2-)pq+q^2))/(N^3p^3q^3)
(58)
= (2(3p^2-)3p+1))/(N^3p^3(1-p)^3)).
(59)

BinomialGaussian

さて、分布を連続的なものとして扱います。

(60)
lim_(N-infty)sum_(n=0)^NP(n) approx intP(n)dn=int_(-infty)^inftyP(n^~+eta)deta=1となります。

各項は前の項より小さいオーダー1/N∼1/シグマ^21/N∼1/シグマ^2以上の項は無視できます。

P(n)=P(n^~)e^(-|B_2|eta^2/2)となり、これを無視することができます。
(61)

確率を正規化する必要があります。 そこで

(62)
int_(-infty)^inftyP(n^~)e^(-|B_2|eta^2/2)deta=P(n^~)sqrt((2pi)/(|B_2|))=1となります。

and

P(n) = sqrt((|B_2|)/(2pi))e^(-)|B_2|(n-n^~)^2/2)
(63)
= 1/(sqrt(2piNpq))exp.
(64)

sigma^2=Npqを定義します。

P(n)=1/(sigmasqrt(2pi))exp,
(65)

これは、正規分布です。 したがって、二項分布は、Nppが小さくても）正規分布で近似されます。

N-inftyp-0Np-lambdalambdaを持つポアソン分布に収束します。

xyn,pm,px+y=kxの条件付き確率は

(66)
P(x=i|x+y=k)=(P(x=i,x+y=k))/(P(x+y=k))=(P(x=i,y=k-i))/(P(x+y=k))=(P(x=i)P(y=k-i))/(P(x+y=k))=((n; i)p^i(1-p)^(n-i)(m; k-i)p^(k-i)(1-p)^(m-(k-i)))/((n+m; k)p^k(1-p)^(n+m-k)) =((n; i)(m; k-i))/((n+m; k))となります。

これが超幾何学的分布であることに注意してください

。

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