均一な線密度の理想的なばねを用いた場合のばね-質量系の有効質量は、ばねの質量の1/3であり、ばね-質量系の方向には依存しません。線密度が均一な理想的なバネを使用した場合のバネ-質量系におけるバネの有効質量は、バネの質量の1/3であり、バネ-質量系の方向には依存しません（i.e., 水平系、垂直系、斜め系のいずれも有効質量は同じです）。)
スプリングの有効質量は、その運動エネルギーを求めることで決定できます。 そのためには、すべての質量要素の運動エネルギーを加える必要があり、次のような積分が必要となります。ここで、u {̫͡-̫͡-ʔ}
は質量要素の速度です。 T = ∫m 1 2 u 2 d m {\displaystyle T=int _{m}{tfrac {1}{2}}u^{2}\,dm}。
バネが一様であることから、d m = ( d y L ) m {Indisplaystyle dm=\left({frac {dy}{L}}\right)m}となります。
, ここで L {displaystyle L}。
は、バネの長さです。 したがって、T = ∫0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {\displaystyle T=¶int _{0}^{L}{\tfrac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {dy}{L}}\right)m\!}
= 1 2 m L ∫ 0 L u 2 d y {\\={tfrac {1}{2}}{\={m}{L}}int _{0}^{L}u^{2}},dy}。
バネの各質量要素の速度は、それが取り付けられている位置からの長さに正比例します（ブロックに近ければ速度は大きく、天井に近ければ速度は小さい）。すなわち、u = v y L {\\ u={frac {vy}{L}}}である。
、そこから次のようになります。 T = 1 2 m L ∫ 0 L ( v y L ) 2 d y {\displaystyle T={tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L}}\int _{0}^{L}\left({\frac {vy}{L}}\right)^{2}˶,dy}。
= 1 2 m L 3 v 2 ∫ 0 L y 2 d y {\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {m}{L^{3}}}v^{2}}int _{0}^{L}y^{2},dy}。
= 1 2 m L 3 v 2 0 L {\\ ={tfrac {1}{2}}{\ {m}{L^{3}}}v^{2}\_{0}^{L}}。
= 1 2 m 3 v 2 {\displaystyle ={tfrac {1}{2}}{\}{3}v^{2}}}。
期待される元の運動エネルギーの式と比較すると 1 2 m v 2 ,
この場合のばねの有効質量はm/3である。 この結果を用いて、系の全エネルギーは、ばねの無伸展位置からの変位x（定電位項を無視し、上方向を正とする）で書ける。 T {displaystyle T}。
（システムの全エネルギー） = 1 2 ( m 3 ) v 2 + 1 2 M v 2 + 1 2 k x 2 – 1 2 m g x – M g x {displaystyle ={\\}{2}({\}{3}})v^{2}+{\}{2}}Mv^{2}+{\}{2}}kx^{2}-。mgx-Mgx｝となります。
g{\displaystyle g}に注意してください。
ここでは、バネに沿った重力加速度を表しています。 この式を時間で微分すると、運動方程式は次のようになります：( – m 3 – M ) a = k x – 1 2 m g – M g ̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶ – m 3 – M ) a = k x – 1 2 m g – M g
平衡点x e q {displaystyle x_{\mathrm {eq}}}を表します。 }}
x ¯ = x – x e q を定義します。 }}
, 。 }} , 運動方程式は次のようになります。 ( m 3 + M ) x ¯ = – k x ¯ {˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵}=-k{˶‾᷅˵}となる。
これは、周期を持つ単純な調和振動子の方程式です。
τ = 2 π ( M + m / 3 k ) 1 / 2 {\\\\ =2\pi ˶left({˶frac {M+m/3}{k}}˶right)^{1/2}}となります。
