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Abstract

本稿では、分数減衰を伴う1自由度系における臨界減衰の存在条件を示し、臨界減衰係数と分数微分の次数との関係を導出した。 その結果、分数減衰の次数とその係数が一定の条件を満たす場合にのみ、システムが臨界減衰のケースにあることがわかった。 次に，臨界減衰セットに位置する異なる次数のシステムの振動特性を議論する。 この結果に基づいて，古典的なスカイフック減衰制御戦略を分数的なものに拡張し，より理想的な制御効果を得るためにスイッチング制御則を設計した。 モード座標変換の原理に基づいて，フルカーサスペンションのための分数スカイフック減衰制御の新しい設計方法を与える。 シミュレーションの結果、提案された制御法は、道路の段差などの特殊なケースにおいても、良好な制御効果を発揮することがわかった

1. はじめに

通常の減衰を伴う線形1自由度システムの振動は、その減衰係数の大きさによって、アンダーダンピング、臨界減衰、オーバーダンピングに分類されます。 オーバーダンピングとアンダーダンピングの間のしきい値として、臨界ダンピングが定義されています。 臨界減衰の場合、振動子は振動せずにできるだけ早く平衡位置に戻り、最大で1回通過します。 臨界減衰の特殊性を考慮して、臨界減衰は他の系でもよく研究されている。 粘性減衰を受けた多自由度システムの臨界減衰の基準は，Bulatovic によって提供されている． 2次の振り子のような系における臨界減衰の存在条件はLi et al.によって確立されています。 ある線形連続力学系の「臨界減衰面」を決定する一般的な方法は，Beskos and Boley によって提案されている． しかし，これまでのところ，フラクショナルダンピング系の臨界ダンピングに関する研究はわずかしかない。

自動車のサスペンションは、運転の快適性や操作性を向上させるための重要な部品であり、その制御方法の研究が注目されています。 その中でも、Karnoppらが提案したスカイフック制御法は、アルゴリズムがシンプルで制御性能が高いため、広く採用されています。 古典的なスカイフック制御原理は，SDOF振動系に基づいており，2DOFのクォーターカーモデルの垂直振動制御に適している。 近年では、多くの学者がフルカーサスペンションモデルにおけるスカイフックアルゴリズムの応用を研究しています。 フルカーサスペンションシステムのための主流のスカイフック制御戦略は、物理的思考に基づいています。これらの戦略は、1/4車のサスペンションシステムの制御に広く使用されている古典的なスカイフック法の応用拡張です。 フルカー・サスペンション・モデルは，4つの1/4サブサスペンション・モデルの単純な組み合わせとみなされ，車体の振動を制御するために，4つのスカイフック・ダンパーによって各1/4車体に接続された「スカイフック」があると想定されるが，フルカー・サスペンションには，上下，ピッチ，ロールの各運動を含む多目的サスペンション性能が要求される．

主流のアルゴリズムでも良い制御性能は得られますが、本来のスカイフック制御原理とは矛盾しています。 数学的原理の観点からすると、古典的なスカイフック制御原理は、1つのスカイフックダンパを持つSDOFシステムを制御するために使用されます。 一方、車両のサスペンションは多自由度のシステム（既存モデルでは7自由度以上）であるため、同じ数の制御器が必要になります。 しかし、実際には4つのコントローラしかありません。

この研究は2つの部分に分かれています。 第1部では、フラクショナル・オーダー・システムの臨界ダンピングを研究します。 臨界減衰の存在条件が与えられ、その関係次数が導かれる。 そして，異なる次数を持つ分数臨界制動システムの振動減衰特性を議論する。 第2部では，分数臨界制動を車両サスペンションシステムの制御戦略に適用する。 必要な制御器の数と実際の制御器の数が一致しないという問題を解決するために，モードデカップリングの手法を用いた． モーダル空間では，デカップリングされた単一モードの振動を抑制するために，古典的なスカイフック制御戦略が用いられる。 ここでは，スカイフックの減衰係数として，小数の臨界減衰係数を選択している． このようにして，設計された制御器の数はシステムのDOFの数と一致しており，その後，これらのモードは再結合され，実際の制御器がサスペンションの制御に使用される．

本稿の構成は以下の通りである。

本論文の構成は以下の通りである。第2節では、まず、分数減衰系が臨界減衰の場合の条件を示す。

構成は以下の通りである。 第3節では、フルカーサスペンションシステムのための新しいフラクショナルスカイフック制御アルゴリズムを提案する。 第4節では，シミュレーション結果を議論する。

2.フラクショナル・デリバティブ・ダンピングを用いたシステムの臨界ダンピング

2.1. 式の導出

分数階微分制動を持つSDOFシステムの自由振動微分方程式は、変位、時間分数階微分、質量係数、減衰係数、剛性係数をそれぞれ表す形式となっている。

分数導関数の定義は数多くありますが、Riemann-Liouville定義とCaputo定義がよく使われます。 後者は、整数階のものと同じラプラス変換を持つため、制御理論に広く用いられるものである。

ラプラス変換法により、系の特性方程式は複素数変数を用いた形になります。

その極形式を(2)に代入すると、

オイラーの公式を考えると、(3)は

(4)の成立条件は、実部と虚部がともに0になることなので、

(2)の根の虚部が0でないとき、系の減衰自由運動は常に振動していることが知られている。 この振動を避けるためには、特性根が負の実軸にある必要があります。 ここで、whereが整数であると仮定すると、andが得られるので、(5)は次のように簡略化することができます

(7)の成立条件は、 , , であることを意味します。 したがって、whereは整数であることがわかります。

その結果、集合 of は密であるが、この領域に位置するものの確率密度は小さく、臨界減衰の存在条件は厳しいことがわかる。

(6)から、負の減衰係数が得られるのは、システムにエネルギーが入力されていることを表す , 。

(6)から、システムへのエネルギー入力を表す , があるとき、負の減衰係数が得られる。このとき、システムの振動は強くなり、臨界減衰は存在しないが、 ; が奇数のときは逆になるので、(6)に代入して、(10)が得られる。 以上のことから、(9)は整数であり、奇数であり、.

線形1自由度の分数減衰系では、(9)が分数演算子の次数で満たされるときのみ、減衰係数の臨界値が存在する。 (1)の解が振動しないようにするためには、ダンピング係数と次数の関係は次のようになります。

(10)の変数間の関係を表す曲線を図1に示したが、ここでは(10)の最小値である , , , , , , , , , , が臨界ダンピング係数ccであることを示している。

(10)の変数の関係を表す曲線を図1にプロットすると、例えば、(10)の曲線の最下点が臨界減衰点であり、それに対応する減衰係数が臨界減衰係数となることがわかる。 1 DOF 分数制動システムに関する先行研究の多くが、特性方程式の解に注目していることは注目に値します。 この観点から、特性方程式が複素数根または共役根しか持たず、負の実数根を持つのは 、 、のときであることがわかった。 したがって、 , のときはオーバーダンピング係数、 , のときはアンダーダンピング係数となります。 臨界減衰の場合、特性方程式は根を持ち、これは収束率を表します。 0から2に増加したとき、臨界減衰点は図の右下に移動しています。これは、より大きな、より小さな、より大きな、つまり、より小さな固有値を持つシステムがより速く収束することを示しています。

図1

(12)の3つのパラメータの関係

榊原氏は、1/2次の分数微分制動を持つ振動の特性を研究していたことにも注目したい。

また、榊原氏は(1)の解の分析により、減衰係数の臨界値は存在しないと結論付けていますが、これは(9)で表される集合に位置していないため、本論文の結論に反していません。 実際、不条理還元、つまり根sが負の実数のときは、(2)に代入しても成立しないことは容易に理解できる。 つまり、 , のときは、固有値が負の実数になることはなく、必ず虚数部を含むことになります。 さらに、 , のときには、臨界減衰係数 , , , , が得られ、整数次システムの臨界減衰と一致することがわかります。 この方程式を解くことは我々の主な目的ではなく、また、臨界ダンピング係数は解を解析しなくても得られるので、ここではこれらの問題に立ち戻ることはせず、興味のある読者には .NET を参照してほしい。 図2に示すように、上述の分析により、臨界ダンピング係数が求められます。

図2

自由減衰振動の3つのケース

2.2. 分数的微分臨界制動による振動の特性

時には、分数的制動は従来の制動の役割だけでなく、補助的なバネの役割も果たしています。 あるいは、システムのダンピング効果が弱くなり、典型的な振動の挙動が見られます。 さらに、分数次システムは、初期状態の影響を受けやすい。

図3は、異なる次数を持つ臨界減衰系の、初期状態 , の下での減衰自由運動の曲線を示しています。

図3は、異なる次数の臨界減衰系の自由運動の減衰曲線です。 の場合、系は平衡位置に戻り、それを越えないため、比較的ゆっくりとしています。 それ以外の場合は、システムが比較的速く、静的平衡位置を一度通過してしまう（オーバーシュートが発生する）ので、通常の臨界減衰とは異なります。 大きい系は平衡位置に戻る速度が速いが、ステップ入力などの外部からの加振で覚醒しやすく、その応答曲線を図4に示す。

図3

次数の異なる臨界ダンピングシステムの自由減衰運動の曲線です。

図4

異なる次数を持つ臨界ダンピングシステムのステップ応答曲線。

非振動を前提とすると、外部からの加振によってシステムが喚起されにくく、外力がないときにはできるだけ早く平衡位置に戻ることが期待されます。 システムが平衡位置から離れたときの変位をできるだけ小さくし，外力がないときに漸近的に安定な位置に到達するまでの時間を制限するために，スイッチ制御則が設計されている。 設計された制御則は，制御力を，分数階微分の次数を，対応する分数階微分の臨界減衰係数を，変位を，それぞれ表す． 提案された制御法の有効性は，パルス加振によってテストされる． 図5は，インパルス入力下では，スイッチング制御則により，分数次システムの振動性能が整数次システムの振動性能よりも向上することを示している．

図5

整数次と分数次のスイッチシステムのインパルス応答曲線。

3.車両スカイフック制御戦略

ビークルダイナミクス理論に基づき、7つのDOFを持つ車両のダイナミックモデルを確立する。 7つのDOF、 , , , , , , , , は、それぞれボディのヒーブ、ピッチ、ロールの変位と、4つの車輪の変位です。 このモデルは 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 。

線形振動理論によると、非結合サスペンションシステムは、独立して制御できる孤立した線形サブシステムになります。

線形振動理論によれば、非結合サスペンションシステムは、独立して制御可能な孤立した線形サブシステムになります。そこで、質量および剛性マトリックスを完全に非結合にすることができるシステマティックなモーダルデカップリング法が考えられます。 ここでは、制御戦略の有効性を検証するために、減衰行列の対角線要素のみを制御します。 ここでは、主座標のベクトル、特徴量行列、対角要素がベクトルの要素と等しい対角行列を用いて、完全非結合システムの行列微分方程式を考えます。 (13)において、 , , , , は7次の対角行列であり、同じく7次の対角行列であると仮定すると、独立したスカラー関数の7つの微分方程式が得られる。ここでは、独立した各モードの振動を抑制するために、フラクショナル・スカイフック制御を使用する。

モード系の自由振動方程式、すなわち、臨界減衰の場合にシステムを維持するために制御力を用いる場合を考えます。 第2節の方法によれば、減衰係数と次数の関係が得られます

ときに、分数階微分スカイフック減衰係数は、分数階微分臨界減衰係数と等しくなります。 同様に、分数的な減衰力を用いることで、モード系が外力によって容易に喚起されず、力がないときには振動することなく、できるだけ早く平衡位置に戻ることが期待されます。

実際には、大きかったり小さかったりすると、アクチュエータの力の制限や、アクチュエータの作業効率など、これらの問題が発生します。 比較的良好な制御効果を得るために、アクチュエータの力の制限のみを考慮しています。 システムの7つのスカイフック減衰係数が得られる。 座標変換により、最終的な制御力ベクトルはwhere = ()となります。 式(19)は、整数次スカイフックダンピング制御戦略の力を表しています。

4.シミュレーション結果と考察

ここでは4輪相関のランダム道路時間領域モデルを使用し、道路プロファイルはCグレードとした。 分数臨界減衰の特性を検証するために、シミュレーション開始時に、車両の左側に、高さ0.1mの正弦波状の道路バンプがあり、前輪と後輪が連続して浮き上がっているという作業条件を設定した。 分数階微分臨界ダンピングの優位性を検証するために，スイッチング制御則において，大小の，以下の負の効果を回避するために，次数は，および.とした。

図6および図7は，提案した車両スカイフック制御戦略が，車体の振動を効果的に抑制することができることを示しており，振動の振幅および加速度はともに大幅に減少し，特に道路バンプを越えた後の性能は良好である。 図6は、小数の微分臨界制動を用いた振動は、整数の微分臨界制動を用いた振動よりも振幅応答の性能が良いことを示しています。 また、図7は、分数次のスカイフック減衰制御戦略では、加速度応答に大きな劣化がないことを示している。 しかし、大なり小なり、整数次の制御戦略よりも加速度応答が悪化するため、工学的応用においては、次数を合理的な領域内に置くべきである。

(a) Heave displacement

(b)ピッチ変位

(c)ロール変位

(a) ヒーブ変位
(b) ピッチ変位
(c)ロール変位

図6

3種類のサスペンションの車体運動振幅応答。

(a) ヒーブ加速度

(b) ピッチ加速度

(c) ロール加速度

(a) ヒーブの加速
(b) ピッチの加速
(c) ロール加速度

他の多くのフルカーサスペンション制御戦略と比較して、本稿の手法には2つの主な利点があります。 第一に、提案された方法は、ほとんどの制御方法よりもはるかにシンプルです。 例えば、で紹介されているこれらの方法は、ロードバンプでもテストされ、車両の振動性能を向上させることができますが、複雑すぎます。 実は、スカイフック制御法は、広く適用されているいくつかのシンプルで実用的な手法の一つなのです。 フルカー・スカイフック制御アルゴリズムのうち，Zhangらが提案したスカイフックベースの非同期セミアクティブ制御装置は，各サブシステムを独立して制御することができます．その結果，パルス加振でテストした場合，パッシブサスペンションよりも車体加速度のピーク振幅が大きくなることが分かりました． そのため，特に道路の段差を通過する際に，良好な車体姿勢を保つことは容易ではない。 既存の解決策は、モジュール化された並列ファジー制御や人間のような知能を持つ制御のような新しい制御を導入することですが、これは戦略を複雑にし、適用するのを難しくします。 2つ目は、車載カメラや全地球測位システムを活用して、道路状況をより包括的に把握した上で設計されているアクティブサスペンション制御方式です。

一言で言えば、提案するスカイフック制御はシンプルなアルゴリズムで、原理的にはオリジナルのスカイフック減衰方式と一致しています。 整数オーダーの重要な減衰係数を用いた戦略は良い効果があり、小数のものは補助的なものと考えられ、より多くのパラメータ選択を提供し、振幅応答に対してより良いパフォーマンスを発揮します

5. 結論

(1)分数階微分制動を用いたSDOFシステムの自由減衰運動を初めて研究した。 既存の臨界減衰の条件が与えられ、臨界減衰係数と次数の分数微分の関係が導かれる。

(2) 数学的思考に基づいて、ほとんどの学者の論理的思考とは異なる、新しいフルカースカイフックダンピング制御戦略を提案する。 これは、ほとんどの学者の論理的思考とは異なるものです。主流のアルゴリズムでも良い性能を得ることができますが、ここでは、その有効性を否定することが目的ではなく、学者が古典的なスカイフック減衰原理の本質的な数学的論理を再検討するための新しい視点を与えることが目的です。

(3) シミュレーションの結果、パッシブサスペンションと比較して、スカイフック制御アクティブサスペンションは振動抑制に優れた性能を発揮することがわかりました。 さらに、分数スカイフック制御サスペンションは、特に車両が道路のバンプを通過する際のボディの振動に対する応答性が良いことがわかった。 この結果は、フラクショナル・クリティカル・ダンピングの優位性を確認するだけでなく、この制御戦略の有効性を検証するものでもあります。

Abbreviations

車両のパラメータ

Conflicts of Interest

著者は、この論文の発表に関して利益相反がないことを宣言します。

謝辞

本研究は、中国国家自然科学基金（Grant no.11272159）および（Grant no.51605228）の支援を受けました。