Heading

Abstract

W artykule przedstawiono warunek istnienia tłumienia krytycznego w układach 1 DOF z tłumieniem ułamkowym oraz wyprowadzono zależność pomiędzy krytycznym współczynnikiem tłumienia a rzędem pochodnej ułamkowej. Wynika z niej, że tylko wtedy, gdy rząd tłumienia ułamkowego i jego współczynnik spełniają określone warunki, układ znajduje się w przypadku tłumienia krytycznego. Następnie omówiono charakterystyki drganiowe układów o różnych rzędach znajdujących się w zbiorze tłumienia krytycznego. Na podstawie uzyskanych wyników, klasyczna strategia sterowania tłumieniem skyhook jest rozszerzona na strategię ułamkową, gdzie prawo sterowania przełączającego jest zaprojektowane w celu uzyskania bardziej idealnego efektu sterowania. W oparciu o zasadę transformacji współrzędnych modalnych, podano nową metodę projektowania ułamkowej kontroli tłumienia skyhook dla zawieszenia typu full-car. Wyniki symulacji pokazują, że proponowana metoda sterowania ma dobry efekt sterowania, nawet w niektórych szczególnych przypadkach, takich jak wyboje drogowe.

1. Wprowadzenie

Wibracje liniowych układów 1 DOF ze zwykłym tłumieniem mogą być sklasyfikowane jako niedotłumione, krytycznie tłumione i przetłumione w zależności od wielkości współczynnika tłumienia. Tłumienie krytyczne jest definiowane jako próg pomiędzy tłumieniem nadmiernym a tłumieniem niedostatecznym. W przypadku tłumienia krytycznego oscylator wraca do położenia równowagi tak szybko, jak to możliwe, bez oscylacji, i przechodzi przez nie co najwyżej raz . Ze względu na specyfikę tłumienia krytycznego, jest ono często badane w innych układach. Kryterium tłumienia krytycznego w lepko tłumionych układach o wielu stopniach swobody podał Bulatovic . Warunki istnienia tłumienia krytycznego w układach wahadłowych drugiego rzędu podali Li et al. Ogólną metodę wyznaczania „krytycznych powierzchni tłumienia” pewnego liniowego, ciągłego układu dynamicznego zaproponowali Beskos i Boley . Jednak jak dotąd istnieje tylko kilka badań dotyczących tłumienia krytycznego w układach tłumionych fraktalnie. W 1984 roku, Torvik i Bagley zaproponował model mechaniczny z pochodnych ułamkowych w badaniu ruchu sztywnej płyty zanurzonej w Newton płyn, a wyniki badań w sprawiają, że ułamkowe rachunek atrakcyjny dla wielu inżynierów i techników .

Zawieszenie pojazdu jest ważnym elementem poprawy komfortu jazdy i wydajność obsługi, badania na jego strategii kontroli jest hot spot. W tych podejść kontrolnych, skyhook strategia kontroli zaproponowana przez Karnopp et al. jest szeroko stosowany ze względu na jego prosty algorytm i dobrą wydajność kontroli. Klasyczna zasada sterowania skyhook opiera się na systemie drgań SDOF, który jest odpowiedni do kontroli pionowych drgań dwóch DOF modelu samochodu. W ostatnich latach, wielu uczonych badało zastosowanie algorytmu skyhook w modelu zawieszenia całego samochodu. Główne strategie sterowania skyhook głównego nurtu dla pełnego samochodu systemy zawieszenia są oparte na fizycznym myślenia; strategie te są rozszerzenia aplikacji klasycznej metody skyhook, który jest szeroko stosowany do kontroli ćwierć-pojazdów systemów zawieszenia. Model zawieszenia całego samochodu jest uważany za prostą kombinację czterech 1/4 modeli zawieszenia, i zakłada się, że istnieje „skyhook” podłączony do każdego 1/4 ciała samochodu przez cztery skyhook tłumików do kontroli drgań nadwozia samochodu, podczas gdy zawieszenie całego pojazdu ma wymagania multiobjective wydajność zawieszenia obejmujące pionowe, nachylenie i ruchy rolki . Dlatego problem, jak koordynować siły czterech niezależnych kontrolerów, aby utrzymać dobrą postawę ciała musi być rozwiązany i typowe rozwiązanie jest dodanie systemu decyzyjnego.

Although mainstream algorytmy mogą osiągnąć dobrą wydajność kontroli, to jest niezgodne z oryginalnym skyhook zasady kontroli. Z punktu widzenia zasad matematycznych, klasyczna zasada sterowania skyhook jest używana do sterowania systemem SDOF z jednym tłumikiem skyhook. Natomiast zawieszenie pojazdu jest układem o wielu DOF (istniejące modele mają siedem lub więcej DOF), dlatego wymagana jest taka sama liczba regulatorów. Jednak w rzeczywistości są tylko cztery sterowniki. Jak rozwiązać ten problem?

Niniejsza praca jest podzielona na dwie części. W pierwszej części badane jest tłumienie krytyczne w układzie ułamkowego rzędu. Podane są warunki istnienia tłumienia krytycznego oraz wyprowadzona jest zależność rzędu. Następnie omówiono charakterystyki tłumienia drgań ułamkowych krytycznych układów tłumiących o różnej kolejności. W drugiej części, ułamkowe tłumienie krytyczne jest stosowane do strategii sterowania układem zawieszenia pojazdu. Metoda rozprzęgania modalnego jest wykorzystywana do rozwiązania problemu, że liczba wymaganych regulatorów nie jest zgodna z liczbą regulatorów rzeczywistych. W przestrzeni modalnej, klasyczna strategia sterowania skyhook jest używana do tłumienia drgań odsprzężonego pojedynczego trybu. W tym przypadku, ułamkowe krytyczne współczynniki tłumienia są wybierane jako współczynniki tłumienia skyhook. W ten sposób liczba zaprojektowanych kontrolerów jest zgodna z liczbą DOF układu, następnie tryby te są ponownie sprzęgane, a rzeczywiste kontrolery są używane do sterowania zawieszeniem. Czterokołowy skorelowany losowy model drogowy domeny czasu jest zbudowany w celu przetestowania efektu ułamkowej pochodnej skyhook strategii kontroli; drogowy guz jest specjalnie zaprojektowany, aby zademonstrować zalety ułamkowej pochodnej krytycznego tłumienia.

Organizacja pracy jest następująca. W rozdziale 2, najpierw podano warunki, w jakich układy z tłumieniem ułamkowym znajdują się w przypadku tłumienia krytycznego. Następnie badane są właściwości drgań z tłumieniem krytycznym. W rozdziale 3, zaproponowano nowy ułamkowy algorytm sterowania skyhook dla układów zawieszenia całego samochodu. W sekcji 4, wyniki symulacji są omówione. Wnioski są podane w rozdziale 5.

2. Tłumienie krytyczne układu z ułamkowym tłumieniem pochodnym

2.1. Pochodna wzoru

Równanie różniczkowe drgań swobodnych układu SDOF z tłumieniem pochodną ułamkową ma postać gdzie gdzie jest przemieszczeniem, jest ułamkową pochodną czasową , i , , i są odpowiednio masą, współczynnikiem tłumienia i sztywności.

Istnieje wiele definicji pochodnych ułamkowych , wśród których najczęściej stosowane są definicje Riemanna-Liouville’a i Caputo . Pierwsza z nich jest często wykorzystywana do opisu problemu ze względu na umiarkowanie wymaganą ciągłość funkcji. Druga z nich ma taką samą transformatę Laplace’a jak funkcja rzędu całkowitego, więc jest szeroko stosowana w teorii sterowania. W niniejszej pracy, ułamkowa pochodna siły tłumiącej jest traktowana jako siła sterująca do badania właściwości drgań swobodnie tłumionych układu, dlatego stosuje się tu definicję Caputo.

Przy pomocy metody transformaty Laplace’a, równanie charakterystyczne układu przyjmuje postaćwhere jest zmienną zespoloną. Podstawiając jego postać biegunową do (2), mamy

Przy uwzględnieniu wzoru Eulera, (3) przyjmuje postać

Warunkiem koniecznym (4) jest to, że zarówno część rzeczywista, jak i urojona są równe zeru, więc otrzymujemy

Wiadomo, że gdy część urojona pierwiastków z (2) jest niezerowa, tłumiony ruch swobodny układu zawsze oscyluje. Aby uniknąć oscylacji, korzenie charakterystyczne muszą leżeć w ujemnej osi rzeczywistej. Przyjmijmy, że where jest liczbą całkowitą, więc i są otrzymane, wtedy (5) może być uproszczone jako

Warunkiem koniecznym dla (7) jest , co oznacza, że . Można zatem otrzymać, żewhere jest liczbą całkowitą. W wyniku tego mamy

Stwierdzamy, że zbiór of jest gęsty, ale gęstość prawdopodobieństwa dowolnego położenia w tej dziedzinie jest mała, więc warunek istnienia tłumienia krytycznego jest ścisły.

Z (6) wynika, że ujemny współczynnik tłumienia otrzymujemy, gdy , co oznacza dopływ energii do układu. W tym przypadku oscylacja układu jest wzmocniona i nie ma tłumienia krytycznego, natomiast jest odwrotnie, gdy ; czyli jest nieparzyste, więc podstawiając do (6) i otrzymujemy (10). Podsumowując, w (9) jest liczbą całkowitą, jest nieparzysta, oraz . Przedstawiono warunki istnienia tłumienia krytycznego w układach drgających z tłumieniem pochodną ułamkową oraz wzór na jego obliczenie.

Dla liniowych układów 1 DOF tłumionych ułamkowo, tylko wtedy, gdy (9) jest spełnione przez rząd operatora ułamkowego, istnieje krytyczna wartość współczynników tłumienia. Aby rozwiązania (1) były pozbawione oscylacji, zależność między współczynnikiem tłumienia a rzędem wynosiwhere . W (10), gdy , tj , mamy minimalną wartość współczynnika tłumienia, która reprezentuje krytyczny współczynnik tłumienia cc.

Krzywe reprezentujące zależność między zmiennymi w (10) są wykreślone na rysunku 1. Weźmy na przykład , najniższy punkt krzywej reprezentuje krytyczny punkt tłumienia, a odpowiadający mu współczynnik tłumienia jest wartością krytyczną współczynnika tłumienia. Warto zauważyć, że wiele wcześniejszych badań nad ułamkowo tłumionymi układami 1 DOF koncentruje się na rozwiązaniach równań charakterystycznych. Z tego punktu widzenia stwierdzamy, że gdy , to równania charakterystyczne mają tylko pierwiastki złożone lub sprzężone, a ujemne pierwiastki rzeczywiste, gdy . Zatem, gdy , to współczynnik tłumienia jest nadtłumieniem, a gdy , to współczynnik tłumienia jest niedotłumieniem. W przypadku tłumienia krytycznego, równanie charakterystyczne ma pierwiastek , który reprezentuje szybkość zbieżności. Gdy wzrasta od 0 do 2, punkt tłumienia krytycznego przesuwa się w prawą dolną stronę na rysunku, co wskazuje, że przy większym , okazuje się, że mniejszy i większy ; czyli przy mniejszej wartości własnej układ jest szybciej zbieżny.

Rysunek 1

Zależność pomiędzy trzema parametrami w (12).

Należy również zauważyć, że Sakakibara badał właściwości drgań z tłumieniem pochodną ułamkową rzędu 1/2. Na podstawie analizy rozwiązań (1) stwierdza się, że nie istnieje krytyczna wartość współczynnika tłumienia, co nie jest sprzeczne z wnioskami niniejszej pracy, ponieważ nie znajduje się w zbiorze reprezentowanym przez (9). W rzeczywistości łatwo zrozumieć, że przez redukcję do absurdu, czyli gdy korzenie s są ujemne rzeczywiste, nie zachodzą one przez podstawienie do (2). Oznacza to, że gdy , to wartości własne nie mogą być ujemne rzeczywiste i zawsze zawierają część urojoną. Ponadto stwierdzamy, że gdy , otrzymujemy krytyczne współczynniki tłumienia , , i , które są zgodne z tłumieniem krytycznym w układzie rzędu całkowitego. Ponieważ nie jest naszym głównym celem rozwiązanie tego równania, a krytyczne współczynniki tłumienia można uzyskać bez analizy rozwiązań, nie będziemy tutaj wracać do tych kwestii i odeślemy zainteresowanego czytelnika do . Jak widać na rysunku 2, gdy , krytyczny współczynnik tłumienia jest wyznaczony zgodnie z powyższą analizą.

Rysunek 2

Gdy , trzy przypadki drgań z rozkładem swobodnym.

2.2. Właściwości drgań z ułamkowym pochodnym tłumienia krytycznego

Gdy , tłumienie ułamkowe odgrywa nie tylko rolę tłumienia konwencjonalnego, ale również rolę sprężyny uzupełniającej . Jeżeli lub , to efekt tłumienia układu będzie osłabiony i wystąpi typowe zachowanie oscylacji. Ponadto, na układy ułamkowego rzędu łatwo wpływają stany początkowe. Dlatego w praktyce powinny leżeć w zakresie zainteresowania inżynierów.

Rysunek 3 przedstawia krzywe zanikających ruchów swobodnych krytycznych układów tłumiących o różnych rzędach przy stanie początkowym , . Wynika z niego, że w przypadku tych samych pozostałych parametrów, układy z dużym wracają do położenia równowagi szybciej. Gdy , układy te są stosunkowo powolne, gdyż wracają do położenia równowagi i nie przekraczają go. W przeciwnym razie, gdy , układy są stosunkowo szybkie i przekraczają położenie równowagi statycznej jeden raz (występuje przekroczenie), co różni się od zwykłego tłumienia krytycznego. Mimo że układy z dużym powrotem wracają do położenia równowagi z większą prędkością, łatwo jest je pobudzić przez zewnętrzne pobudzenie, takie jak wejście krokowe; krzywe odpowiedzi pokazano na rysunku 4.

Rysunek 3

Krzywe swobodnego ruchu tłumionego krytycznego układu tłumiącego o różnych rzędach.

Rysunek 4

Krzywe odpowiedzi skokowej krytycznych układów tłumiących o różnych rzędach.

Oczekuje się, że zgodnie z założeniem nieoscylacyjnego, system nie jest łatwy do wzbudzenia przez zewnętrzne wzbudzenie i może powrócić do pozycji równowagi tak szybko, jak to możliwe, gdy nie ma siły zewnętrznej. Prawo sterowania przełącznikowego jest zaprojektowane tak, aby przemieszczenie było jak najmniejsze, gdy układ jest oddalony od położenia równowagi i aby ograniczyć czas potrzebny do osiągnięcia asymptotycznie stabilnego położenia, gdy nie ma siły zewnętrznej. Zaprojektowane prawo sterowania ma postać gdzie i jest siłą sterującą, i są rzędami pochodnej ułamkowej, i i są odpowiednimi współczynnikami tłumienia krytycznego pochodnej ułamkowej, jest przemieszczeniem. Skuteczność proponowanej strategii sterowania jest badana za pomocą wzbudzenia impulsowego. Rysunek 5 pokazuje, że przy impulsowym wejściu, przełączające prawo sterowania sprawia, że charakterystyka drgań układu ułamkowego rzędu jest lepsza niż układu rzędu całkowitego.

Rysunek 5

Krzywe odpowiedzi impulsowej układów przełączanych rzędu całkowitego i ułamkowego.

3. Strategia sterowania pojazdem Skyhook

Zgodnie z teorią dynamiki pojazdu, ustanowiono model dynamiczny pojazdu z siedmioma DOF. Siedem DOF , , , , , , , i to odpowiednio: przechył, pochylenie, przechył nadwozia oraz przemieszczenie czterech kół. Model ten jest podobny do modeli stosowanych przez , tutaj macierzowe równanie różniczkowe modelu można opisać jako gdzie jest wektorem składającym się z , , , , , , , , i . i są odpowiednio macierzą masy, tłumienia i sztywności. jest macierzą wejściową i jest wektorem oznaczającym wzbudzenie drogi związane z czterema kołami. jest wektorem sterowania i jest wektorem aktywnej siły sterującej. Równanie (12) reprezentuje pasywne zawieszenie, gdy jest wektorem zerowym.

Zgodnie z liniową teorią drgań, odsprzężony układ zawieszenia zamienia się w izolowane liniowe podsystemy, które mogą być sterowane niezależnie. W związku z tym rozważana jest systematyczna metoda odsprzęgania modalnego, w której macierz masy i sztywności może być całkowicie odsprzęgnięta; jednakże macierz tłumienia nie może być całkowicie odsprzęgnięta. W tym przypadku kontrolowane są tylko elementy diagonalne macierzy tłumienia, aby zweryfikować skuteczność strategii sterowania. Rozważane jest macierzowe równanie różniczkowe układu całkowicie odsprzężonego, gdzie jest wektorem współrzędnych głównych, , jest macierzą cech, oraz jest macierzą diagonalną, której elementy diagonalne są równe elementom wektora . W (13), , , i są macierzami diagonalnymi siedmiorzędowymi i zakładając, że jest również macierzą diagonalną siedmiorzędową, otrzymujemy siedem równań różniczkowych niezależnych funkcji skalarnych; do tłumienia każdego niezależnego drgania modalnego stosuje się tutaj ułamkowe sterowanie skyhook. Let , so the seven independent differential equations have the formwhere is the external excitation for modal vibration systems, represents the fractional skyhook damping force.

Równania drgań swobodnych układów modalnych są rozważane, mianowicie,where the control force is used to keep the system in the case of critical damping. Zgodnie z metodą przedstawioną w rozdziale 2, otrzymuje się zależność pomiędzy współczynnikiem tłumienia a rzędem

Gdy , ułamkowo pochodny współczynnik tłumienia skyhook jest równy ułamkowo pochodnemu krytycznemu współczynnikowi tłumienia. W ten sam sposób można mieć nadzieję, że przy ułamkowej sile tłumienia układ modalny nie jest łatwo wzbudzany przez siłę zewnętrzną i powraca do położenia równowagi tak szybko, jak to możliwe, bez oscylacji, gdy nie ma siły. W praktyce, przy większych lub mniejszych siłach, pojawiają się takie problemy, jak ograniczenie siły siłownika i wydajności pracy siłownika. Aby uzyskać stosunkowo dobry efekt sterowania, rozważane jest tylko ograniczenie siły siłownika. Otrzymano siedem współczynników tłumienia układu skyhook. Poprzez redukcję współrzędnych, ostateczny wektor siły sterującej wynosiwhere = (). Równanie (19) przedstawia siłę strategii sterowania tłumieniem skyhook rzędu całkowitego, gdy . Uogólniona odwrotna macierz of jest tutaj użyta, ponieważ nie jest to macierz kwadratowa.

4. Wyniki symulacji i dyskusje

Użyto tutaj modelu domeny czasu drogi losowej z czterema kołami skorelowanymi, a profil drogi to C grade. Aby zweryfikować właściwości ułamkowego tłumienia krytycznego, zaprojektowano następujący warunek pracy: gdy symulacja przechodzi do , po lewej stronie pojazdu, przednie i tylne koła zostały kolejno podniesione przez wyboje drogowe w kształcie sinusoidy o wysokości 0,1 m. Parametry zawieszenia pojazdu przedstawiono w Notacjach. For validating the superiority of the fractional derivative critical damping, meanwhile avoiding the following negative effects with a large or small , in the switching control law, the orders are chosen as and .

Figures 6 and 7 show that the proposed vehicle skyhook control strategy can effectively suppress the vibration of the body; both vibration amplitude and acceleration are decreased significantly; the performance especially is good after crossing the road bump. Rysunek 6 pokazuje, że drgania z ułamkową pochodną tłumienia krytycznego mają lepszą wydajność w zakresie odpowiedzi amplitudowych niż te z pochodną całkowitą. Rysunek 7 pokazuje, że strategia kontroli tłumienia skyhook ułamkowego rzędu nie ma znaczącego pogorszenia w odpowiedzi na przyspieszenie. Jednak dla dużych lub małych wartości, reakcje przyspieszenia stają się gorsze niż w przypadku strategii sterowania z rzędem całkowitym, dlatego w zastosowaniach inżynierskich rząd powinien znajdować się w rozsądnym zakresie.

(a) Przemieszczenie spiętrzenia

(b) Pitch displacement

(b) Pitch displacement

(c) Roll displacement

(a) Heave displacement
(b) Pitch displacement

(b) Pitch displacement
(c) Przemieszczenie rolki

(a) Przyspieszenie przechyłu

(b) Pitch acceleration

(c) Roll acceleration

(a) Heave acceleration
(b) Pitch acceleration

(b) Pitch acceleration
(c) Przyspieszenie przechyłu

W porównaniu z wieloma innymi strategiami sterowania zawieszeniem całego samochodu, istnieją dwie główne zalety metody przedstawionej w niniejszym dokumencie. Po pierwsze, proponowana metoda jest znacznie bardziej proste niż większość metod kontroli. Na przykład, te metody przedstawione w są również testowane przez road bump i może poprawić wydajność drgań pojazdu, ale są one zbyt skomplikowane. W rzeczywistości, strategia sterowania skyhook jest jedną z kilku prostych i praktycznych metod, która jest szeroko stosowana. Wśród algorytmów sterowania skyhook pełnego samochodu, skyhook oparte asynchroniczne semiaktywny kontroler zaproponowany przez Zhang et al. może kontrolować każdy podsystem niezależnie; wyniki pokazują, że szczytowe amplitudy przyspieszeń ciała zwiększyć więcej niż te w pasywnym zawieszeniu, gdy są one testowane przez impuls wzbudzenia. W związku z tym, nie jest łatwo utrzymać dobrą postawę ciała, zwłaszcza gdy samochód przechodzi przez wyboje drogowe. Istniejące rozwiązanie jest wprowadzenie nowych kontroli, takich jak modularyzacja równoległa kontrola rozmyta w i ludzki-jak inteligentnej kontroli w i to sprawia, że strategie złożone i trudne do zastosowania. Po drugie, istnieje wiele aktywnych strategii kontroli zawieszenia, które są zaprojektowane w oparciu o bardziej wszechstronne wykorzystanie informacji o podglądzie drogi ułatwione przez wykorzystanie kamer pokładowych i globalnych systemów pozycjonowania . Na przykład, przewiduje się, że podgląd drogi jest dostępny w metodzie kontroli w . Jednak nasza metoda kontroli nie wymaga takich udogodnień.

Słowem, proponowana kontrola skyhook ma prosty algorytm i jest zgodny z oryginalnym skyhook schematu tłumienia w zasadzie. Strategia z krytycznymi współczynnikami tłumienia rzędu całkowitego daje dobry efekt, a strategia ułamkowa jest postrzegana jako uzupełnienie, które zapewnia większy wybór parametrów i ma lepsze wyniki na odpowiedziach amplitudowych.

5. Conclusions

(1) The free damped motion of SDOF systems with fractional derivative damping is firstly studied. Podano warunki istnienia tłumienia krytycznego oraz wyprowadzono zależność pomiędzy krytycznym współczynnikiem tłumienia a pochodną ułamkową rzędu. Stwierdzono również, że gdy kolejność wzrasta od 0 do 2, krytyczny współczynnik tłumienia jest coraz mniejszy, ale powrót do położenia równowagi jest szybszy.

(2) W oparciu o myślenie matematyczne zaproponowano nową strategię sterowania tłumieniem „full-car skyhook”, która różni się od logicznego myślenia większości uczonych. Algorytm głównego nurtu może również osiągnąć dobrą wydajność; tutaj nie jest celem zaprzeczenie jego skuteczności, ale danie nowej perspektywy dla uczonych, aby ponownie zbadać wewnętrzną logikę matematyczną klasycznej zasady tłumienia skyhook. Ułamkowa rzędu krytyczny współczynnik tłumienia jest wybrany jako skyhook współczynnik tłumienia, aby wyjaśnić wyższość proponowanej ułamkowej rzędu krytycznego tłumienia w praktycznym zastosowaniu.

(3) Wyniki symulacji pokazują, że w porównaniu z pasywnym zawieszeniem, skyhook kontrolowane aktywne zawieszenie ma lepszą wydajność na tłumienie drgań. Ponadto, ułamkowa skyhook kontrolowane zawieszenie ma lepsze odpowiedzi ciała wibracji, zwłaszcza gdy pojazd przechodzi nierówności drogi. Wyniki nie tylko potwierdzają wyższość frakcji krytycznej tłumienia, ale również zatwierdzić skuteczność tej strategii kontroli.

Skróty

Parametry pojazdu

Konflikty interesów

Autorzy deklarują, że nie ma konfliktów interesów dotyczących publikacji tej pracy.

Podziękowania

Ta praca była wspierana przez National Natural Science Foundation of China (Grant no. 11272159) i (Grant no. 51605228).

Wspomagana przez National Natural Science Foundation of China (Grant no. 11272159) i (Grant no. 51605228).