Tło lekcji i koncepcje dla nauczycieli
(Dalszy tekst jest zgodny z prezentacją Strength of Shapes, prezentacją PowerPoint. Upewnij się, że uczniowie mają pod ręką papier i ołówek, aby mogli szkicować swoje pomysły w trakcie prezentacji.)
(slajd 1) Dzisiaj poznamy fundamentalną koncepcję inżynierii budowlanej: wytrzymałość kształtów.
(slajd 2) Kiedy przyjrzymy się mostom, możemy zauważyć, jak inżynierowie budowlani używają różnych kształtów, aby stworzyć ogólny projekt. Widzimy trójkąty i kwadraty. Widzimy nawet parabole.
(slajd 3) Inżynierowie budowlani używają tych samych rodzajów kształtów w budynkach. Wiele ram budynków to po prostu powtarzające się kwadraty, jak pokazano na górze po lewej. Obrazek na dole po lewej pokazuje, jak kwadrat jest wzmocniony przez dodanie ukośnego stężenia krzyżowego w tym rusztowaniu, które rozbija kwadrat na dwa trójkąty. Zdjęcie po prawej pokazuje budowaną kopułę geodezyjną na Antarktydzie. Struktura kopuł geodezyjnych jest podobna do struktury piłki nożnej i może być postrzegana jako grupa pięciokątów i sześciokątów. Ale jeśli rozłożymy każdy z tych kształtów na części, zobaczymy, że zasadniczo składają się one z trójkątów.
(slajd 4) Nawet jeśli wyjdziemy poza sferę inżynierii lądowej lub architektonicznej, możemy zobaczyć, jak inżynierowie polegają na znanej wytrzymałości kształtów. Rama motocykla wykorzystuje wiele trójkątów do podtrzymywania kół i siedzeń. Inżynierowie mechanicy projektują dźwigi, które wykorzystują trójkąty i kwadraty w swoich ramach. Nawet satelity używają tych znanych i podstawowych regularnych geometrii.
(slajd 5) Na papierze naszkicuj każdy z tych regularnych wielokątów: kwadrat, romb i trójkąt. Jeśli naciśniemy prosto w dół na kształt, ściskając cały kształt, co się stanie z tym kształtem? Narysuj, używając innego długopisu, ołówka lub linii przerywanej, jak wyglądałby kształt, gdybyś na niego naciskał. Załóż, że boki kształtu są sztywne i nie zmienią długości ani nie wygną się.
(slajd 6) Spójrz na to! Jeśli naciśniesz na wierzchołek kwadratu, nie będzie on już kwadratem, ale przybierze kształt rombu, który jest rodzajem równoległoboku. To się nazywa „stelażowanie”. Jeśli naciśniemy na wierzchołek rombu, to się on zapada. Ale co z trójkątem? Trójkąt zachowuje swój kształt!
(slajd 7) Powodem, dla którego kwadrat i romb zapadają się, jest to, że kąt pomiędzy elementami konstrukcyjnymi może się zmienić bez zmiany długości elementów lub ich zgięcia. Pamiętasz z powrotem do geometrii, kiedy rozmawialiśmy o tym, jak wielokąty są zdefiniowane? W tym przypadku, oba czworokąty wymagają po prostu, aby suma kątów wewnętrznych była równa 360 stopni, ale każdy kąt może się zmienić.
(slajd 8) Trójkąty są wyjątkowe w tym sensie. Kąt pomiędzy dwoma bokami trójkąta jest oparty na długości przeciwległego boku trójkąta. Czy pamiętasz to z geometrii? Kąt „a” jest stały, oparty na względnej długości boku „A”. Tak samo jak kąt „b” jest stały w oparciu o względną długość „B”, a „c” w oparciu o „C”. To dlatego trójkąt nie może się zapadać!
(slajd 9) Jak pokazaliśmy, inne wielokąty foremne mogą być deformowane bez zmiany długości boków. Kwadrat traci swój kształt, gdy jego kąty proste się załamują, a pięciokąt i sześciokąt mogą być zdeformowane. Ale kształty te pozostają „zamknięte”, ponieważ suma kątów wewnętrznych jest stała. Dla kształtu o „n” bokach, suma kątów wewnętrznych będzie równa 180*(n-2). Zatem kąty trójkąta wynoszą 180 stopni, czyli 180*(3-2) stopni. Kąty kwadratu wynoszą 360 stopni, czyli 180*(4-2) stopni. Więc co możemy zrobić z innymi kształtami, kwadratami, pięciokątami i sześciokątami, aby się nie zawaliły? Narysuj te kształty na papierze i dodaj, co byłoby konieczne.
(slajd 10) Czy rozbiłeś te kształty na trójkąty? Ponieważ wiemy, że trójkąt nie może się załamać i wiemy, że wielokąty foremne zawsze można sprowadzić do trójkątów (tak obliczamy sumę kątów wewnętrznych, pamiętasz?), rozbicie naszych wielokątów na trójkąty chroni je przed załamaniem!
(slajd 11) Ta sama koncepcja ma zastosowanie w trzech wymiarach. Jak pokazano na rysunku, sześcian może się załamać przez „stelażowanie”, podobnie jak kwadrat, który załamał się w dwóch wymiarach. Co więc zrobimy, aby stworzyć mocną trójwymiarową konstrukcję?
(slajd 12) Tworzymy trójwymiarowe trójkąty! Konkretnie, możemy tworzyć piramidy prostokątne lub trójkątne! Dlatego właśnie inżynierowie budowlani polegają na trójkątach, zarówno w 2D jak i w 3D, aby stworzyć mocne konstrukcje! Struktura 3D wykonana z pojedynczych trójkątów strukturalnych jak ten nazywana jest „kratownicą” i jest używana w całej inżynierii do tworzenia mocnych i lekkich konstrukcji!