Masa efektywna sprężyny w układzie sprężyna-masa przy zastosowaniu idealnej sprężyny o jednakowej gęstości liniowej wynosi 1/3 masy sprężyny i jest niezależna od kierunku układu sprężyna-masa (tj.Masa efektywna sprężyny w układzie sprężyna-masa przy zastosowaniu idealnej sprężyny o jednakowej gęstości liniowej wynosi 1/3 masy sprężyny i jest niezależna od kierunku układu sprężyna-masa (tj.e., układy poziome, pionowe i ukośne mają taką samą masę efektywną). Dzieje się tak dlatego, że przyspieszenie zewnętrzne nie wpływa na okres ruchu wokół punktu równowagi.
Masę efektywną sprężyny można wyznaczyć znajdując jej energię kinetyczną. Wymaga to dodania energii kinetycznej wszystkich elementów masowych i wymaga następującej całki, gdzie u
jest prędkością elementu masowego: T = ∫ m 1 2 u 2 d m {{displaystyle T=int _{m}{}tfrac {1}{2}}u^{2}} dm}.
Ponieważ sprężyna jest jednorodna, d m = ( d y L ) m {displaystyle dm=left({{frac {dy}{L}}}right)m}.
, gdzie L {{displaystyle L}
jest długością sprężyny. Stąd T = ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {displaystyle T= ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {displaystyle T= ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {displaystyle T= ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {displaystyle T= ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {displaystyle L ) m {displaystyle T= ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {displaystyle L )
= 1 2}{0}^{L}{tfrac {1}{2}}u^{2}}}left({{frac {dy}{L}}}}right)m!} = 1 2 m L ∫ 0 L u 2 d y {{tfrac {1}{2}}}{tfrac {m}{L}}}u^{2}}left({{0}^{L}}).
Prędkość każdego elementu masowego sprężyny jest wprost proporcjonalna do długości od miejsca, w którym jest on zamocowany (jeśli blisko bloku to większa prędkość, a jeśli blisko sufitu to mniejsza prędkość), tj.e. u = v y L {{displaystyle u={frac {vy}{L}}}.
, z czego wynika: T = 1 2 m L ∫ 0 L ( v y L ) 2 d y {{displaystyle T={tfrac {1}{2}}{{0}^{L}}}left({{frac {vy}{L}}}right)^{2}}},dy}.
= 1 2 m L 3 v 2 ∫ 0 L y 2 d y {{displaystyle ={tfrac {1}{2}}{}{}frac {m}{L^{3}}}v^{2}}int _{0}^{L}y^{2}, dy}.
= 1 2 m L 3 v 2 0 L {{displaystyle ={tfrac {1}{2}}{{frac {m}{L^{3}}}}v^{2}}}left_{0}^{L}}.
= 1 2 m 3 v 2 {{displaystyle ={tfrac {1}{2}}{m}{3}}}v^{2}}
Porównując do oczekiwanego oryginalnego wzoru na energię kinetyczną 1 2 m v 2 ,
masa efektywna sprężyny w tym przypadku wynosi m/3. Korzystając z tego wyniku, całkowitą energię układu można zapisać w postaci przesunięcia x {{displaystyle x}
z położenia nierozciągniętej sprężyny (ignorując stałe potencjalne i przyjmując kierunek do góry jako dodatni): T }
(Całkowita energia układu) = 1 2 ( m 3 ) v 2 + 1 2 M v 2 + 1 2 k x 2 – 1 2 m g x – M g x {{tfrac {1}{2}}({{tfrac {m}{3}})^{2}+{tfrac {1}{2}}Mv^{2}+{tfrac {1}{2}}kx^{2}-.{{tfrac {1}{2}mgx-Mgx}}.
Zauważ, że g {{displaystyle g}
tutaj jest przyspieszeniem grawitacyjnym wzdłuż sprężyny. Różniczkując równanie względem czasu, otrzymujemy równanie ruchu: ( – m 3 – M ) a = k x – 1 2 m g – M g {displaystyle ¨left({frac {-m}{3}}}-Mg}} a=kx-{tfrac {1}{2}mg-Mg}.
Punkt równowagi x e q {\displaystyle x_{mathrm {eq} }}
można znaleźć, przyjmując przyspieszenie równe zeru: x e q = 1 k ( 1 2 m g + M g ) {{displaystyle x_{mathrm {eq} }={frac {1}{k}}left({tfrac {1}{2}}mg+Mg}right)}.
Definiując x ż = x – x e q {{displaystyle {{bar {x}}=x-x_{mathrm {eq} }}
, równanie ruchu staje się: ( m 3 + M ) x ¯ = – k x ¯ {{displaystyle \left({{frac {m}{3}}}+M}right){{displaystyle {bar {x}}=-k{mathrm {x}}}
To jest równanie dla prostego oscylatora harmonicznego o okresie:
τ = 2 π ( M + m / 3 k ) 1 / 2 {{displaystyle \tau =2\pi \left({\frac {M+m/3}{k}}}right)^{1/2}}.
