Heading

System liczbowy i działania arytmetyczne

Egipcjanie, podobnie jak Rzymianie po nich, wyrażali liczby według schematu dziesiętnego, używając osobnych symboli dla 1, 10, 100, 1000 itd.; każdy symbol pojawiał się w wyrażeniu liczby tyle razy, ile reprezentowana przez niego wartość występowała w samej liczbie. Na przykład, oznaczał 24. Ten dość kłopotliwy zapis był stosowany w piśmie hieroglificznym, znajdującym się w kamiennych inskrypcjach i innych formalnych tekstach, ale w dokumentach papirusowych skrybowie stosowali wygodniejszy skrót, zwany pismem hieratycznym, gdzie na przykład 24 zapisywano .

W takim systemie dodawanie i odejmowanie sprowadza się do policzenia ile symboli każdego rodzaju występuje w wyrażeniach liczbowych, a następnie przepisania z wynikającą z tego liczbą symboli. Zachowane teksty nie ujawniają, jakie, jeśli w ogóle, specjalne procedury stosowali skrybowie, aby to ułatwić. Ale dla mnożenia wprowadzili metodę kolejnych podwojeń. Na przykład, aby pomnożyć 28 przez 11, konstruuje się tablicę wielokrotności 28, jak poniżej:

Kilka pozycji w pierwszej kolumnie, które razem sumują się do 11 (tj. 8, 2 i 1), jest zaznaczonych. Produkt jest następnie znajdowany poprzez dodanie wielokrotności odpowiadających tym pozycjom; w ten sposób 224 + 56 + 28 = 308, pożądany produkt.

Aby podzielić 308 przez 28, Egipcjanie zastosowali tę samą procedurę w odwrotnej kolejności. Używając tej samej tabeli, co w problemie z mnożeniem, można zobaczyć, że 8 daje największą wielokrotność 28, która jest mniejsza niż 308 (dla wpisu na 16 jest już 448), a 8 jest zaznaczone. Proces ten jest następnie powtarzany, tym razem dla reszty (84) uzyskanej przez odjęcie wpisu przy 8 (224) od oryginalnej liczby (308). Jest ona jednak już mniejsza niż wpis przy 4, który w związku z tym jest ignorowany, ale jest większa niż wpis przy 2 (56), który jest następnie sprawdzany. Proces jest powtarzany ponownie dla reszty otrzymanej przez odjęcie 56 od poprzedniej reszty 84, czyli 28, która również jest dokładnie równa wpisowi przy 1 i która jest następnie sprawdzana. Odpisane pozycje są sumowane, dając iloraz: 8 + 2 + 1 = 11. (W większości przypadków, oczywiście, istnieje reszta, która jest mniejsza niż dzielnik.)

Dla większych liczb procedura ta może być ulepszona przez rozważenie wielokrotności jednego z czynników przez 10, 20,…lub nawet przez wyższe rzędy wielkości (100, 1000,…), w razie potrzeby (w egipskiej notacji dziesiętnej, te wielokrotności są łatwe do opracowania). Można więc znaleźć iloczyn 28 przez 27, wyznaczając wielokrotności 28 przez 1, 2, 4, 8, 10 i 20. Ponieważ liczby 1, 2, 4 i 20 sumują się do 27, wystarczy zsumować odpowiadające im wielokrotności, by znaleźć odpowiedź.

Obliczenia dotyczące ułamków wykonuje się z ograniczeniem do części jednostkowych (czyli ułamków, które w notacji współczesnej zapisuje się z 1 jako licznikiem). Na przykład, aby wyrazić wynik dzielenia 4 przez 7, który w nowoczesnej notacji jest po prostu 4/7, skryba zapisał 1/2 + 1/14. Procedura znajdowania ilorazów w tej postaci jest jedynie rozszerzeniem zwykłej metody dzielenia liczb całkowitych, w której sprawdzamy zapisy dla 2/3, 1/3, 1/6 itd. oraz 1/2, 1/4, 1/8 itd. aż do momentu, gdy odpowiednie wielokrotności dzielnika zsumują się z dywidendą. (Można zauważyć, że skrybowie uwzględnili 2/3, mimo że nie jest to ułamek jednostkowy). W praktyce procedura ta może czasami stać się dość skomplikowana (na przykład, wartość dla 2/29 jest podana w papirusie Rhind jako 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) i może być opracowana na różne sposoby (na przykład, to samo 2/29 może być znalezione jako 1/15 + 1/435 lub jako 1/16 + 1/232 + 1/464, itd.) Znaczna część tekstów papirusowych jest poświęcona tablicom ułatwiającym znalezienie takich wartości ułamków jednostkowych.

Te elementarne operacje są wszystkim, czego potrzeba do rozwiązania problemów arytmetycznych w papirusach. Na przykład „aby podzielić 6 bochenków między 10 mężczyzn” (papirus Rhind, problem 3), wystarczy podzielić, aby otrzymać odpowiedź 1/2 + 1/10. W jednej grupie problemów zastosowano ciekawą sztuczkę: „Pewna ilość (aha) i jej siódemka razem dają 19 – co to jest?” (papirus Rhind, problem 24). Tutaj najpierw zakłada się, że ilość to 7: ponieważ 11/7 z niej to 8, a nie 19, bierze się 19/8 (to jest 2 + 1/4 + 1/8), a jej wielokrotność przez 7 (16 + 1/2 + 1/8) staje się wymaganą odpowiedzią. Tego typu procedura (czasami nazywana metodą „fałszywej pozycji” lub „fałszywego założenia”) jest znana w wielu innych tradycjach arytmetycznych (np. chińskiej, hinduskiej, muzułmańskiej i renesansowej europejskiej), chociaż wydaje się, że nie mają one bezpośredniego związku z egipską.