As 10 Principais Fórmulas Matemáticas do SAT que Precisa de Saber para o Novo SAT e PSAT…e as restantes também.
br>Nota por favor: Sou um graduado de Harvard, pontuador perfeito SAT/ACT e tutor privado a tempo inteiro em Colorado Springs, Colorado, com 20 anos e 20.000 horas de experiência de ensino e tutoria. Para mais informações úteis, consulte o meu Plano de Acção SAT bem como o meu e-book gratuito, Master the SAT por Brian McElroy.
Embora muitos alunos do ensino secundário acreditem, é necessário conhecer relativamente poucas fórmulas para a secção Nova Matemática do SAT.
A razão pela qual existem tão poucas fórmulas necessárias para o SAT Matemática é que o SAT destina-se a testar as suas capacidades de raciocínio mais do que a sua capacidade de memorização (embora em alguns casos, é claro, a memorização seja necessária). Há sempre múltiplos caminhos para a solução de um problema, e eu ensino os meus alunos a adoptar uma abordagem consistente e precisa que utiliza um mínimo de fórmulas e toma o caminho de menor resistência a cada resposta. Normalmente, isto implica resolver o problema de forma diferente do que se faria na aula de matemática, enfatizando a técnica e o senso comum sobre a memorização pura.
Take, por exemplo, a fórmula da distância. É uma grande e complicada confusão de raízes e de vantagens e desvantagens, e é fácil cometer um pequeno erro e estragar tudo. Bem, não se preocupe, porque a fórmula da distância é completamente inútil no SAT – e é apenas um teorema de Pitágoras rearranjado de qualquer maneira. É melhor traçar apenas os pontos numa grelha, formando um triângulo direito e usando o teorema de Pitágoras. “Mas espera”, dizes tu, “não tenho ainda de memorizar o teorema de Pitágoras?”. Não. É-lhe fornecido no início de cada secção de matemática (embora qualquer estudante de geometria e trigonometria o deva conhecer de qualquer forma). O teorema de Pitágoras é mais fácil, mais básico, e menos propenso a erros do que a fórmula da distância. Assim, a menos que seja um génio da fórmula da distância e nunca cometa erros descuidados nas perguntas de matemática, eu ficaria com o conselho do Sr. Pythagoras.
Dito isto, ainda há algumas coisas que deve saber de cor no dia do teste.
SÃO AQUI AS FORMULAS QUE DEVEM MEMORIZAR PARA O SAT:
1) Percentagem e Percentagem de Mudança ( (Parte/Produto) e (Diferença/Original) x 100)
2) A Fórmula da Proporcionalidade Circular (Fatia/Área = Arco/Circunferência = Medida do Ângulo Interno/360)
3) A Fórmula para uma Linha (formato padrão y=mx+b, bem como o formato da inclinação do ponto: y-y1 = m(x-x1), e a equação da inclinação (y2-y1) / (x2-x1) )
4) Todas as 3 Identidades Quadráticas (sem factor)
(x2-y2)=(x+y)(x-y)
x2+2xy+y2=(x+y)2
x2-2xy+y2=(x-y)2
5) A Terceira Regra Lateral para Triângulos (a-b) < c < (a+b) se c representar o “terceiro lado” e b e a representar os comprimentos dos outros dois lados.
6) Proporção Directa e Indirecta (a1/b1)=(a2/b2) e (a1a2 = b1b2), respectivamente
7) Média = (Total / Número de coisas)
8) Probabilidade = (Possibilidades desejadas / Possibilidades totais)
9) Área Superficial de um Cubo = 6s2
10) Distância = Taxa x Tempo (#38 C Teste 5, #9 C Teste 3)
Estas são as únicas fórmulas que precisava de conhecer para o SAT antigo, mas existem algumas fórmulas e conceitos adicionais que precisará para o novo SAT e PSAT. No novo SAT (a partir de Março de 2016) e no novo PSAT (a partir de Outubro de 2015) deverá também estar familiarizado com o seguinte:
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11) A Equação Quadrática (#14 NC Teste 3, #15 NC Teste 4). Saiba também o que é o discriminante. Se o discriminante é POSITIVO, então existem 2 raízes reais (“raízes” é outra palavra para “soluções” quando as equações são escritas em ax^2+por+c = forma 0). Se o discriminante é ZERO, então há 1 raiz real. Se o discriminante for NEGATIVO, então não há raízes reais. (#13 Teste C 6)
12) Compreensão (não calcular!) Desvio Padrão (#23 Teste C 4)
13) Divisão Binomial e Sintética
14) Médias ponderadas (#19 Teste NC 5)
15) Equações / Substituições Simultâneas (#19 Teste C 1)
16) Funções
17) Números imaginários (i) e iterações de i. Adição binomial envolvendo constantes e i combinando termos semelhantes (adição e subtracção de números complexos)
18) Multiplicação pelo conjugado do denominador com números complexos (#11 Teste 2)
19) Completando o quadrado
20) Pecado x = Cos (90-x) (#19 Teste NC 1)
21) Conceito: o vértice de uma parábola está localizado no ponto médio dos seus x-intercepções (#12 Teste NC 3)
22) A forma do vértice (h,k) de uma parábola: a(x-h)^2 + k
23) Área de um triângulo = 1/2 ab sin C
24) Conceito: quando um projéctil ascendente atinge o seu ponto mais alto, a sua velocidade é zero.
25) Conceito: quando um projéctil ascendente aterra, a sua altura é zero.
26) Conceito: os lados de triângulos semelhantes têm todos as mesmas proporções respectivas. (#17 Teste NC 1, #18 Teste NC 2)
27) Conceito: num sistema de equações lineares, não há solução se as inclinações das duas linhas forem as mesmas (paralelas) e o conceito y for diferente. (ver #9 Teste 3) Inversamente, há infinitas soluções se as inclinações das duas linhas forem as mesmas e se o conceito y for também o mesmo (#20 Teste NC 2)
28) Conceito: para encontrar as intersecções de duas linhas, estabeleça-as iguais uma à outra (#13 teste 4)
29) Conceito: os “zeros” ou “raízes” de uma função são as coordenadas-x onde atravessa o eixo x (e onde o valor y produz zero).
30) Conceito: a medida do arco formado por um ângulo com o seu vértice sobre um círculo é o dobro da medida do ângulo. (#36 C Teste 5)
31) Conceito: o valor de uma função é indefinido quando o denominador é igual a zero (#36 C Teste 1)
32) Conceito: a proporção da distância que viaja ao longo da hipotenusa de um triângulo direito é igual à proporção da distância que viaja ao longo das duas pernas. (#16 Teste NC 4)
33) Conceito: um polinómio de grau N-ésimo tem no máximo mudanças de direcção N-1.
34) A equação de um círculo com centro (h,k) e raio r: (x-h)2 + (y-k)2= r2 (#24 Teste C 1)
35) Teorema do Polinómio Restante (#29 Teste C 1) (#7 Teste NC 3)
36) Domínio e Alcance
37) Manipulando Desigualdades de Valor Absoluto
38) Exponentes Negativos e Fracionários (#3 Teste NC 3)
39) Regras dos expoentes: Truques “Same Root” (multiplicação = adicionar os expoentes, divisão = subtrair os expoentes, levando a um poder = multiplicar os expoentes). Truque “Mesmo expoente” (realizar a operação na base e manter o expoente igual para operações de multiplicação e divisão)
40) Linhas paralelas e transversais (#36 C Teste 1)
41) Associações Positivas e Negativas em Gráficos (#5 Teste C #1)
42) π radians = 180 graus (#19 Teste NC 2)
43) Box and whisker plots (apareceu em Março de 2018 SAT)
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É tudo o que precisa de saber no que respeita a fórmulas e conceitos!
SÓ DEVEM TAMBÉM SABER AS DEFINIÇÕES DOS SEGUINTES TERMOS:
-PEMDAS E A ORDEM DAS OPERAÇÕES. Se não sabe do que estou a falar aqui, fale com o seu professor de matemática, imediatamente! Apenas um lembrete…Parênteses, Exponentes, Multiplicação, Divisão, Adição, Subtracção. Lembre-se também que uma TI-83 (perfeitamente legal neste teste) executa automaticamente PEMDAS desde que introduza correctamente a expressão.
– MEAN, MEDIAN, MODE. A média é a mesma que a média. Mediana é o número no meio, depois de reordenado de baixo para alto. No caso da lista não ter um verdadeiro meio porque tem um número par de termos, encontrar a média dos dois médios. Assim, a mediana da lista { 1 1 5 5 } é (1+5)/2 o que equivale a 3. MODE é muito simplesmente o número que aparece como o MAIS. Os modos múltiplos são possíveis se houver um empate para a maior frequência: o exemplo que acabei de listar, por exemplo, tem dois modos, 1 e 5.
-INTEGERS. Os inteiros são números inteiros, incluindo zero e números inteiros negativos. Pense neles como marcas de hash na linha do número. (Para aqueles que não sabem o que são marcas de hash, imaginem as marcas de jardinagem na relva de um campo de futebol). Não esquecer que zero é um número inteiro e que os números inteiros negativos também são números inteiros. Lembre-se de que -3 é menos de -2, não o contrário (parece simples, mas é um erro comum. Se o enganei inicialmente com esse, pense em “maior que” como “mais para a direita” numa linha de números, e “menos que” como “mais para a esquerda”
-PRIME NUMBERS. Os números primos são números inteiros positivos que só são divisíveis por si mesmos e o número 1. Seja capaz de listar todos os números primos entre 1 e 50…lembre-se que 1 não é um primo e que não há primos negativos. A propósito, 51 não é primo…essa questão apareceu num SAT recente. 17 x 3 = 51. O quê, esqueceu-se das tabelas de tempos para 17? 😉
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53, etc….
Também, ser capaz de usar uma árvore de factores e encontrar todos os factores de um número e realizar uma “factorização prime” de um número (isto significa que se encontra uma série de números prime que se multiplica para igualar esse número). A factorização principal de 18, por exemplo, é 3 x 3 x 2,
-PYTHAGOREAN TRIPLES. Estes são tipos particulares de triângulos rectos que, por acaso, têm apenas inteiros exactos como lados. O SAT adora usá-los, por isso conheça-os de cor e poupe-se ao trabalho de calcular todas essas raízes. Aqui estão as que eles usam:
3/4/5, 5/12/13, 6/8/10, 7/24/25, 8/15/17
Por favor note que os triângulos pitagóricos não são os mesmos que os triângulos 45/45/90 e 30/60/90, que lhe são fornecidos no início de cada secção Matemática.)
-“Y MENOS QUE X”
(por exemplo, “x-7” é a tradução matemática correcta de “7 menos que x”. Tenha cuidado porque muitos estudantes irão escrever isto como “7-x”, o que é incorrecto.)
– A PALAVRAGEM “OF”. (“de” significa sempre multiplicar.)
-DIGITOS. Os dígitos são para os números que as letras são para as palavras. Há apenas 10 dígitos possíveis, de 0 a 9,
-MULTIPLES. Os MÚLTIPLOS de x são as RESPOSTAS que recebo quando MÚLTIPLOS x por outro INTEGER. Por exemplo, os múltiplos de 5 são 5,10,15,20, etc. assim como 0 (um múltiplo de tudo porque qualquer coisa vezes zero é zero) assim como -5, -10, -15 e outros MÚLTIPLOS NEGATIVOS.
-FACTORES. Os factores de x são as respostas que recebo quando divido x por outro inteiro. Por exemplo, os factores de 60 são 30, 20,15,12,10,6,5,4,3,2,1, bem como -5,-6,-10 etc.
-REMAINDER. Restante é o número inteiro que resta após a divisão. Por exemplo 8/3 é igual a 2 restantes 2. O resto é particularmente útil em problemas de padrão e sequência.
-CONSECUTIVE INTEGERS. Os inteiros consecutivos são inteiros em ordem do menor para o maior, por exemplo 1,2,3. O SAT pode também pedir inteiros consecutivos pares ou ímpares. Por exemplo -6,-4,-2, 0, 2, 4 etc. (sim zero é igual) ou 1, 3, 5 etc.
-SUM. Soma significa o resultado da adição. A soma de 3 e 5 é 8. Eu sei, duh, mas surpreender-se-ia quantos estudantes dirão “15” se não prestarem muita atenção.
-DIFERENÇA. A diferença é o resultado da subtracção.
-PRODUCT. O resultado da multiplicação. Não confundir com soma!
-ODD E NÚMEROS DE EVENTOS. Os números pares são todos os números inteiros divisíveis por 2, e os números ímpares são todos os outros números inteiros.
-POSITIVO e NÚMEROS NEGATIVOS. Tenha em atenção que se o problema pedir “um número negativo”, isso não significa necessariamente um INTEGRO negativo. -1,5 servirá muito bem. Zero não é nem negativo nem positivo. Esteja ciente de truques estranhos com negativos, e que os negativos levados para EVEN poderes são positivos e que os negativos levados para ODD poderes são negativos.
p>-POSITIVO E NEGATIVO ROOTS. Embora se possa pensar que a raiz de 9 é “positiva ou negativa” 3, as regras da matemática dizem que na realidade é apenas positiva 3. Eis como recordá-lo: se vir o símbolo da raiz, então quer apenas a resposta positiva. No entanto, se a pergunta diz x2 = 9, então a resposta pode ser ou positiva ou negativa 3. Estranho, eu sei, mas essa é a regra. Cuidado: este conceito apareceu tanto nos exames de Outubro como nos de Novembro de 2018!
Além disso, terá de se lembrar de conceitos geométricos básicos (os ângulos verticais são congruentes, as linhas perpendiculares têm declives que são recíprocos negativos umas das outras, etc.), e como reescrever expressões com poderes negativos ou fracionários. Quanto menos fórmulas precisar de recordar, mais se pode concentrar na técnica, e uma boa técnica é a verdadeira chave para uma excelente pontuação no SAT. Não ensino aos meus alunos fórmulas desnecessárias porque posso ensiná-los a encontrar as respostas usando uma abordagem mais lógica ao problema.
“Então porque passei todos aqueles anos na aula de matemática, memorizando fórmulas”, pode perguntar, “quando a maioria destas fórmulas são desnecessárias para o SAT? Bem, como mencionei anteriormente, as fórmulas são desvalorizadas no SAT porque o SAT pretende ser mais um teste de lógica do que um teste de factos em bruto. Todas as fórmulas que aprendeu na aula de matemática são boas de saber, e sim, o novo SAT exige que memorize mais fórmulas e equações do que nunca, mas se responder a todos os problemas de Matemática do SAT exactamente da mesma forma que o seu professor de matemática lhe ensinou, provavelmente vai ficar sem tempo, e muito provavelmente não vai obter uma pontuação muito boa.
Não é uma aula de matemática, onde tem de mostrar o seu trabalho ou usar a técnica “adequada”. Isto é o SAT, onde a única coisa que importa é que obtenha a resposta correcta o mais rapidamente possível. Assim, pode sair impune com atalhos em abundância. É por isso que os melhores tutores de matemática do SAT concentram-se mais no reconhecimento de problemas, técnica e lógica do que na memorização pura.
-Brian