A distribuição binomial dá a distribuição discreta de probabilidade de obter exactamente
êxitos de
ensaios Bernoulli (onde o resultado de cada ensaio Bernoulli é verdadeiro com probabilidade
e falso com probabilidade
). A distribuição binomial é portanto dada por
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(1)
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(2)
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where é um coeficiente binomial. O gráfico acima mostra a distribuição de
êxitos de
ensaios com
.
p> A distribuição binomial é implementada na Linguagem Wolfram como BinomialDistribuição.
A probabilidade de obter mais sucessos do que o observado numa distribuição binomial é
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(3)
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where
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(4)
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é a função beta, e
é a função beta incompleta.
A função característica para a distribuição binomial é
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(Papoulis 1984, p. 154). O momento…função geradora para a distribuição é
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(6)
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A média é
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Os momentos cerca de 0 são
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sob os momentos sobre o meanare
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A skewness e o kurtosisexcess são
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O primeiro cumulante é
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e os cumulantes subsequentes são dado pela recurrencerelação
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The o desvio médio é dado por
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Para o caso especial , isto é igual a
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where é um factorial duplo. Para
, 2, …, os primeiros valores são portanto 1/2, 1/2, 3/4, 3/4, 15/16, 15/16, … (OEIS A086116 e A086117). O caso geral é dado por
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Steinhaus (1999, pp. 25-28) considera o número esperado de quadrados contendo um dado número de grãos
a bordo de tamanho
após distribuição aleatória de
de grãos,
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Taking dá os resultados resumidos na tabela seguinte.
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0 | 23.3591 |
1 | 23.7299 |
2 | 11.8650 |
3 | 3.89221 |
4 | 0.942162 |
5 | 0.179459 |
6 | 0.0280109 |
7 | 0.0036840 |
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Uma aproximação à distribuição binomial para grandes pode ser obtido através da expansão sobre o valor
onde
é um máximo, i.e., onde
. Uma vez que a função logarítmica é monotónica, podemos, em vez disso, optar por expandir o logaritmo. Let
, then
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where
(34)
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Mas estamos a expandir ao máximo, portanto, por definição,
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Isto também significa que é negativo, para que possamos escrever
. Agora, tomando o logaritmo de (◇) dá
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Para grande e
podemos usar a aproximação de Stirling
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so
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and
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Para encontrar , definir esta expressão para 0 e resolver para
,
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desde . Podemos agora encontrar os termos na expansão
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Agora, tratando a distribuição como contínua,
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Desde que cada termo seja de ordem menor que o anterior, podemos ignorar termos superiores a
, so
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A probabilidade deve ser normalizada, so
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and
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Definindo ,
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que é uma distribuição normal. A distribuição binomial é portanto aproximada por uma distribuição normal para qualquer distribuição fixa (mesmo que
seja pequena) como
seja levada ao infinito.
se e
de tal forma que
, então a distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson com média
.
p>Let e
ser variáveis binomiais aleatórias independentes caracterizadas por parâmetros
e
. A probabilidade condicional de
dado que
é
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Nota que esta é uma distribuição hipergeométrica.