Objectivos de Aprendizagem
No final desta secção, poderá fazê-lo:
- Descrever o movimento do movimento harmónico amortecido
- Escrever as equações de movimento para oscilações harmónicas amortecidas
- Descrever o movimento do movimento harmónico conduzido, ou forçado, amortecido
- Escrever as equações de movimento para movimento harmónico forçado, amortecido
No mundo real, as oscilações raramente seguem o verdadeiro SHM. A fricção de algum tipo geralmente actua para amortecer o movimento, de modo que este morre, ou precisa de mais força para continuar. Nesta secção, examinamos alguns exemplos de movimento harmónico amortecido e vemos como modificar as equações de movimento para descrever este caso mais geral.
Uma corda de guitarra deixa de oscilar alguns segundos depois de ser depenada. Para continuar a oscilar no balanço de um playground, é preciso continuar a empurrar ((Figura)). Embora possamos frequentemente tornar o atrito e outras forças não conservadoras pequenas ou insignificantes, o movimento completamente não amortecido é raro. De facto, podemos até querer amortecer oscilações, tais como com amortecedores de choque de automóveis.
Figure 15.24 Para contrariar as forças amortecedoras, é necessário continuar a bombear um baloiço. (crédito: Bob Mical)
(Figura) mostra uma massa m ligada a uma mola com uma constante de força k. A massa é elevada a uma posição {A}_{0} , a amplitude inicial, e depois libertada. A massa oscila em torno da posição de equilíbrio num fluido com viscosidade, mas a amplitude diminui para cada oscilação. Para um sistema que tem uma pequena quantidade de amortecimento, o período e frequência são constantes e são quase os mesmos que para o SHM, mas a amplitude diminui gradualmente como mostrado. Isto ocorre porque a força de amortecimento não conservadora remove energia do sistema, geralmente sob a forma de energia térmica.
Figure 15.25 Para uma massa sobre uma mola oscilante num fluido viscoso, o período permanece constante, mas a amplitude das oscilações diminui devido ao amortecimento causado pelo fluido.
Considerar as forças que actuam sobre a massa. Note-se que a única contribuição do peso é a alteração da posição de equilíbrio, tal como discutido anteriormente no capítulo. Portanto, a força líquida é igual à força da mola e à força de amortecimento ({F}_{D}) . Se a magnitude da velocidade é pequena, o que significa que a massa oscila lentamente, a força de amortecimento é proporcional à velocidade e actua contra a direcção do movimento ({F}_{D}=\texto{-}bv) . A força líquida sobre a massa é portanto
Escrevendo isto como uma equação diferencial em x, obtemos
Para determinar a solução para esta equação, considerar o gráfico de posição versus tempo mostrado em (Figura). A curva assemelha-se a uma curva cosina oscilando no envelope de uma função exponencial {A}_{0}{e}^^texto{-}{-}alpha t} onde {alpha = ^frac{b}{2m} . A solução é
É deixado como um exercício para provar que esta é, de facto, a solução. Para provar que é a solução certa, tomar a primeira e a segunda derivadas em relação ao tempo e substituí-las (Figura). Descobre-se que (Figura) é a solução se
Recordar que a frequência angular de uma massa submetida a SHM é igual à raiz quadrada da constante de força dividida pela massa. Isto é frequentemente referido como a frequência angular natural, que é representada por
A frequência angular para o movimento harmónico amortecido torna-se
Figure 15.26 Posição versus tempo para a massa oscilante sobre uma mola num fluido viscoso. Notar que a curva parece ser uma função co-seno dentro de um envelope exponencial.
Recordar que quando começámos esta descrição de movimento harmónico amortecido, afirmámos que o amortecimento deve ser pequeno. Duas perguntas nos vêm à mente. Porque é que o amortecimento tem de ser pequeno? E quão pequeno é pequeno? Se se aumentar gradualmente a quantidade de amortecimento num sistema, o período e a frequência começam a ser afectados, porque o amortecimento se opõe e, portanto, retarda o movimento de ida e volta. (A força da rede é menor em ambos os sentidos). Se houver um amortecimento muito grande, o sistema nem sequer oscilar – move-se lentamente em direcção ao equilíbrio. A frequência angular é igual a
À medida que a b aumenta, a frac{k}{m}-{(\frac{b}{2m})^{2}^^^^ torna-se mais pequena e eventualmente atinge zero quando b=sqrt{4mk} . Se b se torna maior, o b=frac{k{m}-{(=frac{b}{2m})^{2}^^^ se torna um número negativo e o b=sqrt{frac{k}{m}-{(=frac{b}{2m})^{2}} é um número complexo.
(Figura) mostra o deslocamento de um oscilador harmónico para diferentes quantidades de amortecimento. Quando a constante de amortecimento é pequena, b<\sqrt{4mk}} o sistema oscila enquanto a amplitude do movimento decai exponencialmente. Diz-se que este sistema está pouco amortecido, como na curva (a). Muitos sistemas estão subamortecidos, e oscilam enquanto a amplitude diminui exponencialmente, tal como a massa oscila numa mola. O amortecimento pode ser bastante pequeno, mas eventualmente a massa vem a descansar. Se a constante de amortecimento for b=\sqrt{4mk}. o sistema é dito estar gravemente humedecido, como na curva (b). Um exemplo de um sistema gravemente humedecido são os amortecedores de choque num carro. É vantajoso que as oscilações se decomponham o mais rápido possível. Aqui, o sistema não oscila, mas aproxima-se assimmptoticamente da condição de equilíbrio o mais rapidamente possível. A curva (c) em (Figura) representa um sistema sobre amortecido onde b>\sqrt{4mk}. Um sistema sobrealimentado aproximar-se-á do equilíbrio durante um período de tempo mais longo.
Figure 15,27 A posição versus tempo para três sistemas constituídos por uma massa e uma mola num fluido viscoso. (a) Se o amortecimento for pequeno (b<\sqrt{4mk}) , a massa oscila, perdendo lentamente amplitude à medida que a energia é dissipada pela(s) força(s) não-conservadora(s). O caso limite é (b) onde o amortecimento é (b=\sqrt{4mk}) . (c) Se o amortecimento for muito grande (b>\sqrt{4mk}) , a massa não oscila quando deslocada, mas tenta regressar à posição de equilíbrio.
O amortecimento crítico é frequentemente desejado, porque tal sistema regressa rapidamente ao equilíbrio e permanece também em equilíbrio. Além disso, uma força constante aplicada a um sistema gravemente amortecido move o sistema para uma nova posição de equilíbrio no menor tempo possível, sem exagerar ou oscilar sobre a nova posição.
Check Your Understanding
Porque são osciladores harmónicos completamente não amortecidos tão raros?
Sumário
- Osciladores harmónicos amortecidos têm forças não conservadoras que dissipam a sua energia.
- O amortecimento crítico devolve o sistema ao equilíbrio o mais rápido possível sem exagerar.
- Um sistema subamortecido oscilará através da posição de equilíbrio.
- Um sistema sobreamortecido move-se mais lentamente em direcção ao equilíbrio do que um que está gravemente amortecido.
Perguntas conceptuais
Dê um exemplo de um oscilador harmónico amortecido. (São mais comuns que osciladores harmónicos não amortecidos ou simples.)
Como é que um carro saltaria após uma colisão sob cada uma destas condições?
(a) amortecimento excessivo
(b) amortecimento insuficiente
(c) amortecimento crítico
Os osciladores mais harmónicos são amortecidos e, se não forem accionados, acabam por parar. Why?
Problemas
A amplitude de um oscilador ligeiramente humedecido diminui 3,0% durante cada ciclo. Que percentagem da energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo?
Glossary
condição criticamente amortecida em que o amortecimento de um oscilador faz com que este regresse o mais rapidamente possível a a sua posição de equilíbrio sem oscilação para a frente e para trás sobre esta posição frequência angular natural de um sistema que oscila em SHM em condições de humidade excessiva, em que o amortecimento de um oscilador faz com que este regresse ao equilíbrio sem oscilação; o oscilador move-se mais lentamente em direcção ao equilíbrio do que no sistema gravemente humedecido, em que o amortecimento de um oscilador faz com que a amplitude de oscilações de um oscilador harmónico humedecido diminua ao longo do tempo, eventualmente aproximando-se de zero