Abstract
Neste artigo, apresenta-se a condição de existência de amortecimento crítico em 1 sistemas DOF com amortecimento fraccionário, e deriva a relação entre o coeficiente de amortecimento crítico e a ordem da derivada fraccional. Apenas quando a ordem do amortecimento fraccionário e o seu coeficiente cumprem determinadas condições, o sistema está no caso do amortecimento crítico. Depois são discutidas as características de vibração dos sistemas com diferentes ordens localizadas no conjunto de amortecimento crítico. Com base nos resultados, a estratégia clássica de controlo de amortecimento do gancho de céu é alargada à fracionária, onde uma lei de controlo de comutação é concebida para obter um efeito de controlo mais ideal. Com base no princípio da transformação modal de coordenadas, é dado um novo método de concepção do controlo de amortecimento do gancho de céu fracionário para suspensão total do automóvel. Os resultados da simulação mostram que o método de controlo proposto tem um bom efeito de controlo, mesmo em alguns casos especiais, tais como colisões de estradas.
1. Introdução
As vibrações dos sistemas lineares 1 DOF com amortecimento normal podem ser classificadas como subamortecidos, gravemente amortecidos, e sobreamortecidos de acordo com a magnitude do coeficiente de amortecimento. O amortecimento crítico é definido como o limiar entre o sobreamortecimento e o subamortecimento. No caso de amortecimento crítico, o oscilador regressa à posição de equilíbrio o mais rapidamente possível, sem oscilar, e passa-o no máximo uma vez . Considerando a particularidade do amortecimento crítico, ele é frequentemente estudado noutros sistemas. O critério de amortecimento crítico dos sistemas viscamente amortecidos de vários graus de liberdade é fornecido por Bulatovic . As condições de existência para o amortecimento crítico em sistemas semelhantes a pêndulos de segunda ordem são estabelecidas por Li et al. . Um método geral que determina as “superfícies de amortecimento críticas” de um certo sistema linear dinâmico contínuo é proposto por Beskos e Boley . No entanto, até agora, existem apenas algumas investigações sobre o amortecimento crítico em sistemas fracamente amortecidos. Em 1984, Torvik e Bagley propuseram um modelo mecânico com derivados fraccionários no estudo do movimento de uma placa rígida imersa num fluido Newton, e os resultados do estudo tornam o cálculo fraccionário atraente para muitos engenheiros e técnicos .
A suspensão do veículo é um componente importante para melhorar o conforto de condução e o desempenho de manuseamento , a investigação sobre a sua estratégia de controlo é um ponto quente. Nestas abordagens de controlo, a estratégia de controlo do gancho do céu proposta por Karnopp et al. é amplamente aplicada devido ao seu algoritmo simples e bom desempenho de controlo. O princípio clássico do controlo do gancho de cabeça é baseado num sistema de vibração SDOF, que é adequado para o controlo vertical da vibração de dois modelos DOF de quarto de carro. Nos últimos anos, muitos estudiosos têm estudado a aplicação do algoritmo skyhook em modelo de suspensão total de automóvel. As principais estratégias de controlo do gancho skyhook para sistemas de suspensão de carro completo baseiam-se no pensamento físico; estas estratégias são as extensões de aplicação do método clássico do gancho skyho que é amplamente utilizado para controlar os sistemas de suspensão de um quarto de veículo. O modelo de suspensão de veículo completo é considerado como uma combinação simples de quatro modelos de suspensão 1/4, e assume-se que existe um “skyhook” ligado a cada 1/4 da carroçaria por quatro amortecedores skyhook para controlar a vibração da carroçaria do veículo, enquanto que a suspensão de veículo completo tem requisitos de desempenho de suspensão multiobjectivo envolvendo os movimentos verticais, de passo, e de rotação. Portanto, o problema de como coordenar as forças dos quatro controladores independentes para manter uma boa postura da carroçaria precisa de ser resolvido e a solução típica é adicionar um sistema de tomada de decisão.
Embora os algoritmos principais possam alcançar um bom desempenho de controlo, é inconsistente com o princípio original de controlo do gancho de céu. Da perspectiva dos princípios matemáticos, o princípio clássico de controlo do gancho de céu é utilizado para controlar um sistema SDOF com um amortecedor de gancho de céu. Enquanto que a suspensão do veículo é um sistema com multi-DOFs (os modelos existentes têm sete ou mais DOFs), é necessário, portanto, o mesmo número de controladores. No entanto, na realidade, existem apenas quatro controladores. Como resolver este problema?
Este trabalho está dividido em duas partes. Na primeira parte, é estudado o amortecimento crítico em sistema de ordem fraccional. As condições de existência do amortecimento crítico são dadas, e a ordem de relação é derivada. Em seguida, são discutidas as características de atenuação das vibrações dos sistemas de amortecimento crítico fracionário com ordem diferente. Na segunda parte, o amortecimento crítico fracionário é aplicado à estratégia de controlo do sistema de suspensão do veículo. O método de desacoplamento modal é utilizado para resolver o problema de que o número de controladores necessários não é consistente com o dos controladores reais. No espaço modal, a estratégia clássica de controlo do gancho do céu é utilizada para deprimir a vibração do modo único desacoplado. Aqui, os coeficientes de amortecimento críticos fracionários são escolhidos como os coeficientes de amortecimento do gancho de céu. Desta forma, o número de controladores concebidos é consistente com o dos DOFs do sistema, depois estes modos são recuperados e os controladores reais são utilizados para controlar a suspensão. Um modelo de domínio de tempo de estrada aleatório relacionado com quatro rodas é construído para testar o efeito da estratégia de controlo do gancho do céu derivado fracionário; um choque de estrada é especialmente concebido para demonstrar as vantagens do amortecimento crítico do amortecedor derivado fracionário.
A organização do papel é a seguinte. Na Secção 2, as condições dos sistemas fracionários amortecidos em caso de amortecimento crítico são dadas em primeiro lugar. Depois são estudadas as propriedades da vibração com amortecimento crítico. Na Secção 3, é proposto um novo algoritmo de controlo de gancho de céu fracionado para sistemas de suspensão de automóvel completo. Na Secção 4, são discutidos os resultados da simulação. As conclusões são dadas na Secção 5.
2. Amortecimento crítico do sistema com amortecimento fraccionário de derivação
2.1. Fórmula de Derivação
A equação diferencial de vibração livre de um sistema SDOF com amortecimento de derivados fracionários tem a forma onde está o deslocamento, é a derivada do tempo fracionário de , e , e são a massa, amortecimento, e coeficiente de rigidez, respectivamente.
Existem muitas definições para derivados fracionários, entre os quais a definição de Riemann-Liouville e as definições de Caputo são mais amplamente utilizadas . A primeira é frequentemente utilizada para a descrição de problemas devido à sua exigência moderada para a continuidade da função. A última tem a mesma transformação de Laplace que a de ordem inteira, pelo que é amplamente utilizada na teoria do controlo. Neste artigo, a força de amortecimento da derivada fraccionada é considerada como uma força de controlo para estudar as propriedades da vibração livre amortecida do sistema, pelo que a definição de Caputo é usada aqui.
Pelo método da transformação de Laplace, a equação característica do sistema toma a forma em qualquer lugar é a variável complexa. Ao substituir a sua forma polar por (2), temos
Considerando a fórmula de Euler , (3) toma a forma
A condição de estabelecimento de (4) é que tanto a parte real como a imaginária sejam iguais a zero, pelo que obtemos
Sabe-se que quando a parte imaginária das raízes de (2) não é zero, o movimento livre amortecido do sistema é sempre oscilante. Para evitar a oscilação, as raízes características devem estar no eixo real negativo. Assumir que onde está um inteiro, assim e são obtidos, então (5) pode ser simplificado como
A condição de estabelecimento para (7) é , o que significa que . Portanto, pode obter-se que onde está um número inteiro. Como resultado, temos
Verificamos que o conjunto de é denso, mas a densidade de probabilidade de qualquer localização neste domínio é pequena, pelo que a condição de existência de amortecimento crítico é estrita.
De (6), obtém-se um coeficiente de amortecimento negativo quando , o que representa uma entrada de energia para o sistema. Neste caso, a oscilação do sistema é reforçada, e não há um amortecimento crítico, enquanto que é o oposto quando ; ou seja, é estranho, substituindo-se em (6) e depois (10) é obtido. Em resumo, em (9) é um número inteiro, é estranho, e . São apresentadas as condições de existência de amortecimento crítico nos sistemas de vibração com amortecimento fraccionário derivado e a sua fórmula de cálculo.
Para sistemas lineares com amortecimento fraccionário 1 DOF, apenas quando (9) é satisfeito pela ordem do operador fraccionário, existe um valor crítico de coeficientes de amortecimento. Para que as soluções de (1) sejam sem oscilação, a relação entre o coeficiente de amortecimento e a ordem está em outro lugar . Em (10), quando , ou seja , temos o valor mínimo do coeficiente de amortecimento que representa o coeficiente de amortecimento crítico cc.
As curvas que representam a relação entre as variáveis em (10) são traçadas na Figura 1. Tomemos , por exemplo, o ponto mais baixo da curva representa o ponto crítico de amortecimento e o seu correspondente coeficiente de amortecimento é o valor crítico do coeficiente de amortecimento. Vale a pena notar que muitas pesquisas anteriores sobre 1 DOF fraccionadamente amortecido focam as soluções das equações características. Nesta perspectiva, encontramos quando , as equações características só têm raízes complexas ou conjugadas e têm raízes reais negativas quando . Portanto, quando , representa o coeficiente de sobreamortecimento, e quando , é o coeficiente de subamortecimento. No caso de amortecimento crítico, a equação característica tem a raiz , que representa a taxa de convergência. Quando aumenta de 0 para 2, o ponto de amortecimento crítico é deslocado para a direita inferior na figura, o que indica que com maior , torna-se cada vez menor; ou seja, com um valor próprio menor, o sistema é um convergente mais rápido.
É de notar também que Sakakibara estudou as propriedades da vibração com amortecimento de derivada fraccional de ordem 1/2. Pela análise das soluções de (1), conclui-se que não existe um valor crítico do coeficiente de amortecimento, o que não é contrário às conclusões deste trabalho porque não está localizado no conjunto representado por (9). De facto, é fácil de compreender que por redução ao absurdo, ou seja, quando as raízes s são reais negativas, não se mantêm através da substituição por (2). Isto significa que quando , os valores próprios não podem ser reais negativos e contêm sempre uma parte imaginária. Além disso, verificamos que quando , os coeficientes de amortecimento críticos , e são obtidos, que são consistentes com o amortecimento crítico num sistema de ordem inteira. Como não é nosso objectivo principal resolver a equação e os coeficientes de amortecimento crítico podem ser obtidos sem analisar as soluções, não voltaremos a estas questões aqui e remeteremos o leitor interessado para . Como é mostrado na Figura 2, quando , o coeficiente de amortecimento crítico é calculado de acordo com a análise acima.
2.2. Propriedades da Vibração com Derivação Crítica Fracionária
Quando , o amortecimento fracionário desempenha não só o papel de um amortecimento convencional, mas também o papel de uma mola suplementar . Se ou , o efeito amortecedor do sistema será enfraquecido, e há um comportamento típico da oscilação. Além disso, os sistemas de ordem fracionária são facilmente afectados pelo estado inicial. Portanto, na prática, devem estar dentro da gama de interesse de engenharia.
Figure 3 mostra as curvas de movimentos livres decadentes de sistemas de amortecimento críticos com diferentes ordens sob o estado inicial , . Mostra que, no caso dos mesmos outros parâmetros, os sistemas com um grande retorno à posição de equilíbrio mais rapidamente. Quando , os sistemas são relativamente lentos, pois regressam à posição de equilíbrio e não a atravessam. Caso contrário, os sistemas são relativamente rápidos e atravessam a posição de equilíbrio estático uma vez (o excesso ocorre), o que é diferente do amortecimento crítico comum. Embora os sistemas com um grande retorno à posição de equilíbrio a uma velocidade mais rápida, é fácil de ser despertado pela excitação externa, tal como a entrada de passos; as curvas de resposta são mostradas na Figura 4.
br>>>/div>Espera-se que sob a premissa de não oscilatório, o sistema não seja fácil de ser excitado por excitação externa e possa voltar à posição de equilíbrio o mais rapidamente possível quando não houver força externa. Uma lei de controlo do interruptor foi concebida para tornar o deslocamento tão pequeno quanto possível quando o sistema está afastado da posição de equilíbrio e para limitar o tempo necessário para alcançar a posição assimptóticamente estável quando não há força externa. A lei de controlo concebida é onde está a força de controlo, e são as ordens de derivados fracionários, e são os correspondentes coeficientes de amortecimento críticos de derivados fracionários, é o deslocamento. A eficácia da estratégia de controlo proposta é testada por uma excitação de pulso. A figura 5 mostra que, sob entrada de impulso, a lei de controlo de comutação torna o desempenho da vibração do sistema de ordem fraccional melhor do que o da ordem inteira.
br>>3. Estratégia de Controlo do Gancho do Céu do Veículo
De acordo com a teoria da dinâmica do veículo, o modelo dinâmico do veículo com sete DOFs é estabelecido. Os sete DOFs , , , , , , , e são, respectivamente, a roda, o passo, o deslocamento da carroçaria, e o deslocamento das quatro rodas. Este modelo é semelhante aos utilizados por , aqui a equação diferencial da matriz do modelo pode ser descrita, onde está um vector constituído por , , , , , , , e . , e são a matriz de massa, amortecimento, e rigidez, respectivamente. é a matriz de entrada e é um vector que representa a excitação rodoviária relacionada com as quatro rodas. é o vector de controlo e é o vector da força de controlo activa. A equação (12) representa uma suspensão passiva quando é um vector zero.
De acordo com a teoria da vibração linear, o sistema de suspensão desacoplado transforma-se em subsistemas lineares isolados que podem ser controlados independentemente . Portanto, é considerado um método sistemático de desacoplamento modal, com o qual a matriz de massa e rigidez pode ser completamente desacoplada; contudo, a matriz amortecedora não pode ser completamente desacoplada em geral. Aqui apenas os elementos diagonais da matriz amortecedora são controlados para verificar a eficácia da estratégia de controlo. A equação diferencial da matriz do sistema completamente desacoplado é considerada onde está o vector das coordenadas principais, é a matriz de características, e é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são iguais aos do vector . Em (13), , , e são matrizes diagonais de sete ordens e, assumindo que é também uma matriz diagonal de sete ordens, são obtidas sete equações diferenciais de função escalar independente; o controlo do gancho de céu fracionário é aqui utilizado para deprimir cada vibração modal independente. Let , assim as sete equações diferenciais independentes têm a forma onde se encontra a excitação externa dos sistemas de vibração modal, representa a força de amortecimento do gancho de céu fracionário.
As equações de vibração livre dos sistemas modais são consideradas, nomeadamente, onde a força de controlo é utilizada para manter o sistema no caso de amortecimento crítico. De acordo com o método da Secção 2, a relação entre o coeficiente de amortecimento e a ordem é obtida
Quando , o coeficiente de amortecimento do gancho de céu derivado fracionário é igual ao coeficiente de amortecimento crítico da derivada fracionária. Da mesma forma, espera-se que com a força de amortecimento fraccional, o sistema modal não seja facilmente excitado pela força externa e regresse à posição de equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar quando não há força. Aqui, uma lei de controlo de comutação é dada da seguinte forma:
Na prática, com um maior ou menor, estes problemas, tais como a limitação da força do actuador e a eficiência do trabalho do actuador, surgem. A fim de conseguir um efeito de controlo relativamente bom, apenas a limitação da força do actuador é considerada. São obtidos sete coeficientes de amortecimento do sistema. Por redução de coordenadas, o vector final da força de controlo está onde = (). A equação (19) representa a força da estratégia de controlo de amortecimento do gancho do céu de ordem inteira quando . A matriz inversa generalizada de é usada aqui porque não é uma matriz quadrada.
4. Resultados da simulação e discussões
Um modelo de domínio de tempo de estrada aleatório relacionado com quatro rodas é usado aqui e o perfil da estrada é de grau C. Para verificar as características de amortecimento crítico fracionário, uma condição de trabalho é concebida da seguinte forma: quando a simulação vai para , no lado esquerdo do veículo, as rodas dianteiras e traseiras foram levantadas sucessivamente por um choque de estrada em forma de onda sinusoidal com uma altura de 0,1 m. Os parâmetros de suspensão do veículo são mostrados em Notas. Para validar a superioridade do amortecimento crítico derivado fracionário, evitando entretanto os seguintes efeitos negativos com um grande ou pequeno, na lei de controlo de comutação, as ordens são escolhidas como e .
Figuras 6 e 7 mostram que a estratégia proposta de controlo do gancho de cabeça do veículo pode efectivamente suprimir a vibração da carroçaria; tanto a amplitude de vibração como a aceleração são reduzidas significativamente; o desempenho é especialmente bom depois de atravessar a lomba da estrada. A Figura 6 mostra que a vibração com amortecimento crítico derivado fracionário tem um melhor desempenho nas respostas de amplitude do que a resposta com um inteiro. E a Figura 7 mostra que a estratégia de controlo do amortecimento do gancho de cabeça de ordem fraccionada não tem deterioração significativa na resposta à aceleração. Mas para um grande ou pequeno , as respostas de aceleração tornam-se piores do que as da estratégia de controlo de ordem inteira, e é por isso que a ordem deve situar-se dentro de um domínio razoável na aplicação de engenharia.
br>(a) Deslocamento por efeito de aquecimento 
br>(b) Deslocamento de inclinação 
br>(c) Deslocamento de rotação br>(a) Deslocamento de inclinaçãobr>(b) Deslocamento de inclinaçãobr>(c) Deslocamento do rolo 
br>(a) Aceleração de elevação 
br>(b) Aceleração de inclinação 
br>(c) Aceleração de rotação br>(a) Aceleração do passobr>(b) Aceleração do passobr>(c) Aceleração do rolo Comparado com muitas outras estratégias de controlo da suspensão total do automóvel, há duas vantagens principais para o método neste trabalho. Em primeiro lugar, o método proposto é muito mais simples do que a maioria dos métodos de controlo. Por exemplo, estes métodos apresentados também são testados por uma lombada na estrada e podem melhorar o desempenho vibratório do veículo, mas são demasiado complicados. Na verdade, a estratégia de controlo do gancho do céu é um dos vários métodos simples e práticos que é amplamente aplicado. Entre os algoritmos de controlo do gancho celestial de carro completo, um controlador assíncrono assíncrono baseado no gancho celestial proposto por Zhang et al. pode controlar cada subsistema independentemente; os resultados mostram que as amplitudes de pico das acelerações da carroçaria aumentam mais do que as da suspensão passiva quando são testadas por uma excitação de pulso. Por conseguinte, não é fácil manter uma boa postura corporal, particularmente quando um carro atravessa uma lomba de estrada. A solução existente é introduzir novos controlos, tais como a modularização do controlo paralelo difuso e o controlo inteligente de tipo humano, o que torna as estratégias complexas e difíceis de aplicar. Em segundo lugar, existem muitas estratégias de controlo de suspensão activa que são concebidas com base numa utilização mais abrangente da informação de pré-visualização da estrada facilitada pela utilização de câmaras de bordo e sistemas de posicionamento global . Por exemplo, prevê-se que a pré-visualização da estrada esteja disponível no método de controlo em . Contudo, o nosso método de controlo não necessita de tais facilidades.
Numa palavra, o controlo do gancho de céu proposto tem um algoritmo simples e é consistente com o esquema original de amortecimento do gancho de céu em princípio. A estratégia com coeficientes de amortecimento críticos de ordem inteira tem um bom efeito, e o fracionário é visto como um suplemento, que fornece mais selecção de parâmetros e tem um melhor desempenho nas respostas de amplitude.
5. Conclusões
(1) O movimento de amortecimento livre dos sistemas SDOF com amortecimento de derivados fracionários é estudado em primeiro lugar. São dadas condições de amortecimento crítico existentes e é derivada a relação entre o coeficiente de amortecimento crítico e a derivada fraccional da ordem. Verifica-se também que quando a ordem aumenta de 0 para 2, o coeficiente de amortecimento crítico está a ficar pequeno, mas é mais rápido para voltar à posição de equilíbrio.
(2) Com base no pensamento matemático, é proposta uma nova estratégia de controlo de amortecimento de gancho de céu completo, que é diferente do pensamento lógico da maioria dos estudiosos. O algoritmo principal também pode alcançar um bom desempenho; aqui, não é o objectivo negar a sua eficácia, mas dar uma nova perspectiva aos estudiosos para reexaminarem a lógica matemática intrínseca do princípio clássico de amortecimento do gancho de cegonha. O coeficiente de amortecimento crítico de ordem fraccional é seleccionado como o coeficiente de amortecimento do gancho de céu para clarificar a superioridade do amortecimento crítico de ordem fraccional proposto na aplicação prática.
(3) Os resultados da simulação mostram que em comparação com a suspensão passiva, a suspensão activa controlada pelo gancho de céu tem um melhor desempenho na supressão de vibrações. Além disso, a suspensão controlada por gancho celestial fracionado tem melhores respostas de vibração da carroçaria, especialmente quando o veículo passa pela colisão com a estrada. Os resultados não só confirmam a superioridade do amortecimento crítico fracionário, como também validam a eficácia desta estratégia de controlo.
A abreviaturas
Parâmetros do veículo
| : | Massa suspensa, 810 kg |
| : | Momento de inércia do passo do veículo, 300 kg-m2 |
| : | |
| : | Distância do eixo a 1.14 m |
| : | Centro de gravidade, 1.22 m |
| : | |
| >>Rigidez da suspensão traseira, 15200 N/m | |
| Massagem da suspensão dianteira, 1570 N/m | |
| : | |
| Rigidez dos pneus, 138000 N/m | |
| : | |
| : | Massa do pneu traseiro, 24.4 kg |
| : | Distância entre dois pneus, 1,3 m |
| >/td>>Velocidade do veículo, 50 km/h. |
Conflitos de interesse
Os autores declaram que não existem conflitos de interesse relativamente à publicação deste artigo.
Agradecimentos
Este trabalho foi apoiado pela Fundação Nacional de Ciências Naturais da China (Subvenção nº 11272159) e (Subvenção nº 51605228).