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Was ist eine Monte-Carlo-Simulation?

Monte-Carlo-Simulationen werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse in einem Prozess zu modellieren, der aufgrund des Eingreifens von Zufallsvariablen nicht einfach vorhergesagt werden kann. Es ist eine Technik, die verwendet wird, um die Auswirkungen von Risiken und Unsicherheiten in Vorhersage- und Prognosemodellen zu verstehen.

Eine Monte-Carlo-Simulation kann verwendet werden, um eine Reihe von Problemen in praktisch jedem Bereich wie Finanzen, Technik, Lieferketten und Wissenschaft zu lösen. Sie wird auch als Mehrfachwahrscheinlichkeitssimulation bezeichnet.

Verständnis einer Monte-Carlo-Simulation

Wenn bei der Erstellung einer Prognose oder Schätzung erhebliche Unsicherheiten bestehen, kann sich die Monte-Carlo-Simulation als bessere Lösung erweisen, indem mehrere Werte verwendet werden, anstatt die unsichere Variable einfach durch eine einzelne Durchschnittszahl zu ersetzen.

Da Wirtschaft und Finanzen von Zufallsvariablen geplagt sind, haben Monte-Carlo-Simulationen in diesen Bereichen eine Vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten. Sie werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Kostenüberschreitungen bei großen Projekten abzuschätzen und die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis eines Vermögenswertes in eine bestimmte Richtung bewegt.

Telekommunikationsunternehmen nutzen sie, um die Netzwerkleistung in verschiedenen Szenarien zu bewerten, was ihnen hilft, das Netzwerk zu optimieren. Analysten nutzen sie, um das Risiko des Zahlungsausfalls eines Unternehmens abzuschätzen und um Derivate wie Optionen zu analysieren.

Versicherer und Ölbohrer nutzen sie ebenfalls. Monte-Carlo-Simulationen haben unzählige Anwendungen außerhalb der Wirtschaft und des Finanzwesens, zum Beispiel in der Meteorologie, Astronomie und Teilchenphysik.

Geschichte der Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulationen sind nach dem beliebten Glücksspielort Monaco benannt, da Zufall und zufällige Ergebnisse bei der Modellierungstechnik eine zentrale Rolle spielen, ähnlich wie bei Spielen wie Roulette, Würfeln und Spielautomaten.

Die Technik wurde zuerst von Stanislaw Ulam entwickelt, einem Mathematiker, der am Manhattan-Projekt arbeitete. Nach dem Krieg, während er sich von einer Gehirnoperation erholte, unterhielt sich Ulam mit unzähligen Solitär-Spielen. Er interessierte sich dafür, den Ausgang jeder dieser Partien aufzuzeichnen, um ihre Verteilung zu beobachten und die Gewinnwahrscheinlichkeit zu bestimmen. Nachdem er seine Idee mit John Von Neumann geteilt hatte, entwickelten die beiden gemeinsam die Monte-Carlo-Simulation.

Monte-Carlo-Simulationsmethode

Die Grundlage einer Monte-Carlo-Simulation ist, dass die Wahrscheinlichkeit unterschiedlicher Ergebnisse aufgrund der Interferenz von Zufallsvariablen nicht bestimmt werden kann. Daher konzentriert sich eine Monte-Carlo-Simulation auf die ständige Wiederholung von Zufallsstichproben, um bestimmte Ergebnisse zu erzielen.

Eine Monte-Carlo-Simulation nimmt die Variable, die mit Unsicherheit behaftet ist, und weist ihr einen Zufallswert zu. Dann wird das Modell durchlaufen und ein Ergebnis geliefert. Dieser Vorgang wird immer wieder wiederholt, wobei die betreffende Variable mit vielen verschiedenen Werten belegt wird. Sobald die Simulation abgeschlossen ist, werden die Ergebnisse gemittelt, um eine Schätzung zu erhalten.

Berechnen einer Monte-Carlo-Simulation

Eine Möglichkeit, eine Monte-Carlo-Simulation einzusetzen, ist die Modellierung möglicher Bewegungen von Asset-Preisen mit Excel oder einem ähnlichen Programm. Es gibt zwei Komponenten für die Preisbewegung eines Vermögenswerts: die Drift, die eine konstante Richtungsbewegung darstellt, und den Zufallsinput, der die Marktvolatilität repräsentiert.

Durch die Analyse historischer Preisdaten können Sie die Drift, Standardabweichung, Varianz und durchschnittliche Preisbewegung eines Wertpapiers bestimmen. Dies sind die Bausteine einer Monte-Carlo-Simulation.

Um einen möglichen Kursverlauf zu projizieren, verwenden Sie die historischen Kursdaten des Vermögenswerts, um eine Reihe von periodischen Tagesrenditen unter Verwendung des natürlichen Logarithmus zu generieren (beachten Sie, dass sich diese Gleichung von der üblichen Formel für die prozentuale Veränderung unterscheidet):

Periodische Tagesrendite=ln(TageskursVortageskurs)\begin{aligned} &\text{Periodische Tagesrendite} = ln \left ( \frac{ \text{Tageskurs} }{ \text{Vortageskurs} } \right ) \\\end{aligned}Periodische Tagesrendite=ln(VortageskursTageskurs)

Nächste Verwendung der AVERAGE, STDEV.P und VAR.P auf die gesamte resultierende Serie, um die durchschnittliche tägliche Rendite, die Standardabweichung bzw. die Varianz zu erhalten. Die Drift ist gleich:

Drift=Durchschnittliche tägliche Rendite-Varianz2wobei:Durchschnittliche tägliche Rendite=Erzeugt von der FunktionAVERAGE von Excel aus den periodischen täglichen RenditereihenVarianz=Erzeugt von der FunktionVAR.P von Excel aus den periodischen täglichen Renditereihen\begin{aligned} &\text{Drift} = \text{Durchschnittliche Tagesrendite} – \frac{ \text{Varianz} }{ 2 } \\ &\textbf{where:} \\ &\text{Durchschnittliche Tagesrendite} = \text{Erzeugt aus Excel’s} \\ &\text{AVERAGE-Funktion aus periodischen Tagesertragsreihen} \\ &\text{Varianz} = \text{Erzeugt aus Excel’s} \\ &\text{VAR.P-Funktion aus periodischen Tagesrenditenreihen} \\end{aligned}Drift=Durchschnittliche Tagesrendite-2Varianzwo:Durchschnittliche Tagesrendite=Erzeugt aus ExcelsAVERAGE -Funktion aus periodischen täglichen RenditereihenVarianz=Erzeugt aus ExcelsVAR.P -Funktion aus periodischen täglichen Renditereihen

Alternativ kann die Drift auf 0 gesetzt werden; diese Wahl spiegelt eine gewisse theoretische Orientierung wider, aber der Unterschied wird nicht groß sein, zumindest für kürzere Zeitrahmen.

Als Nächstes erhalten Sie eine zufällige Eingabe:

Random Value=σ×NORMSINV(RAND())wobei:σ=Standardabweichung, erzeugt von der Excel-FunktionSTDEV.P aus periodischen TagesrenditenreihenNORMSINV und RAND=Excel-Funktionen &\text{Zufallswert} = \sigma \times \text{NORMSINV(RAND())} \\\ &\textbf{wo:} \\ &\sigma = \text{Standardabweichung, erzeugt aus Excel’s} \\ &\text{STDEV.P-Funktion aus periodischen Tagesrenditenreihen} \\ &\text{NORMSINV und RAND} = \text{Excel-Funktionen} \\end{aligned}Random Value=σ×NORMSINV(RAND())wobei:σ=Standardabweichung, erzeugt von der Excel-FunktionSTDEV.P aus periodischen täglichen RenditereihenNORMSINV und RAND=Excel-Funktionen

Die Gleichung für den Kurs des nächsten Tages lautet:

Kurs des nächsten Tages=Kurs des heutigen Tages×e(Drift+Random Value)\begin{aligned} &\text{Kurs des nächsten Tages} = \text{Kurs des heutigen Tages} \times e^{ ( \text{Drift} + \text{Zufallswert} ) }\\ \end{aligned}Nächster Tageskurs=heutiger Kurs×e(Drift+Zufallswert)

Um e zu einer gegebenen Potenz x in Excel zu nehmen, verwenden Sie die EXP-Funktion: EXP(x). Wiederholen Sie diese Berechnung beliebig oft (jede Wiederholung entspricht einem Tag), um eine Simulation der zukünftigen Preisbewegung zu erhalten. Indem Sie eine beliebige Anzahl von Simulationen erzeugen, können Sie die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass der Kurs eines Wertpapiers einem bestimmten Verlauf folgt.

Hier ist ein Beispiel, das etwa 30 Projektionen für die Aktie von Time Warner Inc. für einen Teil des Monats November 2015 zeigt:

Die Häufigkeiten der verschiedenen Ergebnisse, die durch diese Simulation erzeugt werden, bilden eine Normalverteilung, d. h. eine Glockenkurve. Die wahrscheinlichste Rendite liegt in der Mitte der Kurve, d.h. es besteht die gleiche Chance, dass die tatsächliche Rendite höher oder niedriger als dieser Wert ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Rendite innerhalb einer Standardabweichung der wahrscheinlichsten („erwarteten“) Rate liegt, beträgt 68 %; dass sie innerhalb von zwei Standardabweichungen liegt, beträgt 95 %, und dass sie innerhalb von drei Standardabweichungen liegt, beträgt 99,7 %. Dennoch gibt es keine Garantie, dass das am meisten erwartete Ergebnis eintritt oder dass die tatsächlichen Bewegungen nicht die wildesten Prognosen übertreffen.

Besonders wichtig ist, dass Monte-Carlo-Simulationen alles ignorieren, was nicht in die Kursbewegung eingebaut ist (Makrotrends, Unternehmensführung, Hype, zyklische Faktoren); mit anderen Worten, sie gehen von perfekt effizienten Märkten aus.

Zum Beispiel wird die Tatsache, dass Time Warner am 4. November seine Jahresprognose gesenkt hat, hier nicht berücksichtigt, außer in der Kursbewegung für diesen Tag, dem letzten Wert in den Daten; wenn diese Tatsache berücksichtigt würde, würde der Großteil der Simulationen wahrscheinlich keinen bescheidenen Kursanstieg vorhersagen.