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Comprendre une simulation de Monte Carlo

Lorsqu’on est confronté à une incertitude importante dans le processus de réalisation d’une prévision ou d’une estimation, plutôt que de remplacer la variable incertaine par un seul nombre moyen, la simulation de Monte Carlo pourrait s’avérer être une meilleure solution en utilisant plusieurs valeurs.

Puisque le commerce et la finance sont en proie à des variables aléatoires, les simulations de Monte Carlo ont un vaste éventail d’applications potentielles dans ces domaines. Elles sont utilisées pour estimer la probabilité de dépassement des coûts dans les grands projets et la probabilité que le prix d’un actif évolue d’une certaine manière.

Les télécoms les utilisent pour évaluer les performances du réseau dans différents scénarios, ce qui les aide à optimiser le réseau. Les analystes les utilisent pour évaluer le risque de défaillance d’une entité et pour analyser les produits dérivés tels que les options.

Les assureurs et les foreurs de puits de pétrole les utilisent également. Les simulations de Monte Carlo ont d’innombrables applications en dehors du commerce et de la finance, comme en météorologie, en astronomie et en physique des particules.

Historique des simulations de Monte Carlo

Les simulations de Monte Carlo portent le nom de la destination de jeu populaire de Monaco, car le hasard et les résultats aléatoires sont au cœur de la technique de modélisation, tout comme ils le sont pour des jeux tels que la roulette, les dés et les machines à sous.

La technique a d’abord été développée par Stanislaw Ulam, un mathématicien qui travaillait sur le projet Manhattan. Après la guerre, alors qu’il se remettait d’une opération du cerveau, Ulam se distrayait en jouant à d’innombrables parties de solitaire. Il s’est intéressé au tracé des résultats de chacune de ces parties afin d’observer leur distribution et de déterminer la probabilité de gagner. Après avoir partagé son idée avec John Von Neumann, les deux ont collaboré pour développer la simulation de Monte Carlo.

Méthode de simulation de Monte Carlo

La base d’une simulation de Monte Carlo est que la probabilité de résultats variables ne peut pas être déterminée en raison de l’interférence des variables aléatoires. Par conséquent, une simulation de Monte Carlo se concentre sur la répétition constante d’échantillons aléatoires pour obtenir certains résultats.

Une simulation de Monte Carlo prend la variable qui présente une incertitude et lui attribue une valeur aléatoire. Le modèle est ensuite exécuté et un résultat est fourni. Ce processus est répété encore et encore tout en attribuant à la variable en question de nombreuses valeurs différentes. Une fois la simulation terminée, on fait la moyenne des résultats pour obtenir une estimation.

Calcul d’une simulation de Monte Carlo

Une façon d’employer une simulation de Monte Carlo est de modéliser les mouvements possibles des prix des actifs en utilisant Excel ou un programme similaire. Le mouvement du prix d’un actif comporte deux composantes : la dérive, qui est un mouvement directionnel constant, et une entrée aléatoire, qui représente la volatilité du marché.

En analysant les données historiques sur les prix, vous pouvez déterminer la dérive, l’écart type, la variance et le mouvement moyen du prix d’un titre. Ce sont les éléments constitutifs d’une simulation de Monte Carlo.

Pour projeter une trajectoire de prix possible, utilisez les données historiques de prix de l’actif pour générer une série de rendements quotidiens périodiques à l’aide du logarithme naturel (notez que cette équation diffère de la formule habituelle de variation en pourcentage) :

Rendement quotidien périodique=ln(Prix du jourPrix du jour précédent)\begin{aligned}. &\text{Rendement quotidien périodique} = ln \left ( \frac{ \text{Prix du jour} }{ \text{Prix du jour précédent} } \right ) \end{aligned}Rendement quotidien périodique=ln(Prix du jour précédentPrix du jour)

Utiliser ensuite la formule AVERAGE, STDEV.P, et VAR.P sur l’ensemble de la série résultante pour obtenir respectivement le rendement quotidien moyen, l’écart-type et les entrées de variance. La dérive est égale à :

Dérive=Rendement quotidien moyen-Variance2où :Rendement quotidien moyen=Produit à partir de la fonctionAVERAGE d’Excel à partir des séries de rendements quotidiens périodiquesVariance=Produit à partir de la fonctionVAR.P d’Excel à partir des séries de rendements quotidiens périodiques\begin{aligned}. &\text{Drift} = \text{Rendement quotidien moyen} – \frac{ \text{Variance} }{ 2 } \\N &\textbf{où:} \\N &\text{Rendement quotidien moyen} = \text{Produit à partir d’Excel} \\N &\N{Fonction AVERAGE à partir de séries de rendements quotidiens périodiques} \\N &\text{Variance} = \text{Produit à partir d’Excel} \\N &\N{VAR.P function from periodic daily returns series} \\\N{aligned}Drift=Rendement quotidien moyen-2Varianceoù:Rendement quotidien moyen=Produit à partir de la fonctionAVERAGE d’Excel à partir de séries de rendements quotidiens périodiquesVariance=Produit à partir de la fonctionVAR.P d’Excel à partir de séries de rendements quotidiens périodiques

Alternativement, la dérive peut être fixée à 0 ; ce choix reflète une certaine orientation théorique, mais la différence ne sera pas énorme, du moins pour les périodes plus courtes.

Obtenir ensuite une entrée aléatoire :

Valeur aléatoire=σ×NORMSINV(RAND())où:σ=Écart-type, produit à partir de la fonctionSTDEV.P d’Excel à partir de séries de rendements quotidiens périodiquesNORMSINV et RAND=fonctions Excel\begin{aligned}. &\text{Valeur aléatoire} = \sigma \times \text{NORMSINV(RAND())} \\\ &\textbf{où:} \\N &\sigma = \text{Écart-type, produit à partir de l’Excel} \\N &\N-text{Fonction STDEV.P à partir de séries périodiques de rendements quotidiens} \N &\N{NORMSINV et RAND} = \N{Fonctions Excel} \\N\N\N\N\N\N\N\N- Valeur aléatoire=σ×NORMSINV(RAND())où:σ=Ecart-type, produit par la fonctionSTDEV.P d’Excel à partir de séries périodiques de rendements quotidiensNORMSINV et RAND=Fonctions Excel

L’équation pour le prix du jour suivant est:

Prix du jour suivant=Prix du jour×e(Drift+Valeur aléatoire)\begin{aligned} &\text{Prix du jour suivant} = \text{Prix d’aujourd’hui}. \times e^{ ( \text{Drift} + \text{Valeur aléatoire} ) }\\end{aligned}Prix du jour suivant=Prix d’aujourd’hui×e(Drift+Valeur aléatoire)

Pour porter e à une puissance x donnée dans Excel, utilisez la fonction EXP : EXP(x). Répétez ce calcul le nombre de fois souhaité (chaque répétition représente un jour) pour obtenir une simulation du mouvement futur des prix. En générant un nombre arbitraire de simulations, vous pouvez évaluer la probabilité que le prix d’un titre suive une trajectoire donnée.

Voici un exemple, montrant environ 30 projections pour l’action de Time Warner Inc pour une partie du mois de novembre 2015 :

Les fréquences des différents résultats générés par cette simulation formeront une distribution normale, c’est-à-dire une courbe en cloche. Le rendement le plus probable se situe au milieu de la courbe, ce qui signifie qu’il y a une chance égale que le rendement réel soit supérieur ou inférieur à cette valeur.

La probabilité que le rendement réel se situe dans un écart-type du taux le plus probable ( » attendu « ) est de 68 % ; qu’il se situe dans deux écarts-types est de 95 % et qu’il se situe dans trois écarts-types est de 99,7 %. Malgré tout, rien ne garantit que le résultat le plus attendu se produira, ou que les mouvements réels ne dépasseront pas les projections les plus folles.

Crucialement, les simulations de Monte Carlo ignorent tout ce qui n’est pas intégré dans le mouvement du prix (tendances macro, leadership de l’entreprise, battage publicitaire, facteurs cycliques) ; en d’autres termes, elles supposent des marchés parfaitement efficaces.

Par exemple, le fait que Time Warner ait abaissé ses prévisions pour l’année le 4 novembre n’est pas reflété ici, sauf dans le mouvement des prix pour ce jour-là, la dernière valeur dans les données ; si ce fait était pris en compte, la majeure partie des simulations ne prédirait probablement pas une modeste hausse des prix.

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