La distribuzione binomiale fornisce la distribuzione di probabilità discreta di ottenere esattamente
successi su
prove di Bernoulli (dove il risultato di ogni prova di Bernoulli è vero con probabilità
e falso con probabilità
). La distribuzione binomiale è quindi data da
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(1)
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(2)
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dove è un coefficiente binomiale. Il grafico sopra mostra la distribuzione di
successi su
prove con
.
La distribuzione binomiale è implementata nel linguaggio Wolfram come BinomialDistribution.
La probabilità di ottenere più successi del osservato in una distribuzione binomiale è
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(3)
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dove
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(4)
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è la funzione beta, e
è la funzione beta incompleta.
La funzione caratteristica della distribuzione binomiale è
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(5)
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(Papoulis 1984, p. 154). Il momento-generatrice di momenti per la distribuzione è
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(6)
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La media è
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I momenti intorno a 0 sono
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così i momenti sulla media sono
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L’asimmetria e la curtosi sono
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La prima cumulante è
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e le cumulanti successive sono dati dalla relazione di ricorrenza
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La deviazione media è data da
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Per il caso speciale , questo è uguale a
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dove è un fattoriale doppio. Per
, 2, …, i primi valori sono quindi 1/2, 1/2, 3/4, 3/4, 15/16, 15/16, … (OEIS A086116 e A086117). Il caso generale è dato da
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(31)
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Steinhaus (1999, pp. 25-28) considera il numero atteso di quadrati contenenti un dato numero di grani
su tavola di dimensioni
dopo una distribuzione casuale di
di grani,
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Prendendo si hanno i risultati riassunti nella seguente tabella.
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0 | 23.3591 | |
1 | 23.7299 | |
2 | 11.8650 | |
3 | 3.89221 | |
4 | 0,942162 | |
5 | 0.179459 | |
6 | 0.0280109 | |
7 | 0.0036840 | |
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10 |
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Un’approssimazione alla distribuzione binomiale per grandi può essere ottenuta espandendo intorno al valore
dove
è un massimo, i.e., dove
. Poiché la funzione logaritmo è monotona, possiamo invece scegliere di espandere il logaritmo. Sia
, allora
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dove
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Ma stiamo espandendo sul massimo, quindi, per definizione,
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Questo significa anche che è negativo, quindi possiamo scrivere
. Ora, prendendo il logaritmo di (◇) si ottiene
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Per grandi e
possiamo usare l’approssimazione di Stirling
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così
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e
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Per trovare , impostare questa espressione su 0 e risolvere per
,
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siccome . Possiamo ora trovare i termini dell’espansione
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Ora, trattando la distribuzione come continua,
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Siccome ogni termine è di ordine minore del precedente, possiamo ignorare i termini superiori a
, quindi
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La probabilità deve essere normalizzata, quindi
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e
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Definendo ,
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che è una distribuzione normale. La distribuzione binomiale è quindi approssimata da una distribuzione normale per qualsiasi fisso (anche se
è piccolo) come
è portato a infinito.
Se e
in modo tale che
, allora la distribuzione binomiale converge alla distribuzione Poisson con media
.
Lasciamo che e
siano variabili casuali binomiali indipendenti caratterizzate dai parametri
e
. La probabilità condizionata di
dato che
è
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Nota che questa è una distribuzione ipergeometrica.