Principio de las máquinas diferenciales
Las máquinas diferenciales se llaman así por el principio matemático en el que se basan, es decir, el método de las diferencias finitas. En general, el cálculo del valor de un polinomio puede requerir alguna o todas las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
Una de las ventajas del método de las diferencias finitas es que elimina la necesidad de la multiplicación y la división, y permite calcular los valores de un polinomio utilizando sólo la simple suma. La suma de dos números mediante ruedas dentadas es más fácil de implementar que la multiplicación o la división, por lo que el método simplifica un mecanismo que, de otro modo, sería complejo.
Si se conocen los primeros valores de un polinomio, el resto puede calcularse mediante una simple suma repetida. El método se ilustra en el diagrama anterior para la función F(x) = x2 + 4. Los valores de x se muestran en la primera columna incrementando en 1 cada vez (x = 1, 2, 3, 4 . . .). Los valores de la función x2 + 4 se muestran en la segunda columna con los cuatro primeros valores calculados por aritmética mental o a mano (5, 8, 13, 20).
El siguiente paso es calcular las primeras y segundas diferencias. Las primeras diferencias se muestran en la tercera columna y se calculan restando los valores sucesivos de la columna anterior, como muestran las flechas sólidas que fluyen de izquierda a derecha (8-5=3, 13-8=5, etc.). Las segundas diferencias se calculan restando los pares de primeras diferencias y se muestran en la última columna.
Con estos valores iniciales calculados se pueden calcular el resto de los valores de la función invirtiendo el proceso. Los valores que queremos calcular se muestran debajo de la línea punteada superior. Para este polinomio, la segunda diferencia es una constante (2). Para calcular el valor de la función para x=5, la diferencia constante (2) se añade a la primera diferencia (7) para obtener la siguiente primera diferencia (9) (flecha roja), que luego puede añadirse al último valor de la función (flecha azul) para obtener F(5) = 29. Este es el resultado deseado, conseguido sin realizar la multiplicación.
El proceso puede repetirse para obtener la siguiente primera diferencia (11), que puede sumarse al último valor de la función para obtener F(6) = 40, etc. Usando este método, cualquier polinomio de segundo grado puede ser calculado de esta manera y, más generalmente, cualquier polinomio de enésimo grado puede ser calculado, usando sólo la adición, comenzando con la enésima diferencia.
La Máquina Diferencial Nº 2 de Babbage tiene ‘registros’ para mantener un número de cada una de las columnas de la tabla (por ejemplo 20, 7, 2). Sumaba la segunda diferencia a la primera, y luego añadía ese resultado al valor de la función para calcular la siguiente entrada de la tabla. Había suficientes «registros» para siete diferencias, lo que le permitía calcular valores de 31 dígitos para polinomios con términos de hasta x7.