Masa efectiva (sistema muelle-masa)

Sistema muelle-masa vertical

La masa efectiva del muelle en un sistema muelle-masamasa cuando se utiliza un muelle ideal de densidad lineal uniforme es 1/3 de la masa del muelle y es independiente de la dirección del sistema muelle-masa (es decire., los sistemas horizontales, verticales y oblicuos tienen todos la misma masa efectiva). Esto se debe a que la aceleración externa no afecta al periodo de movimiento alrededor del punto de equilibrio.

La masa efectiva del muelle puede determinarse hallando su energía cinética. Esto requiere sumar la energía cinética de todos los elementos de masa, y requiere la siguiente integral, donde u {\displaystyle u}

$u$

es la velocidad del elemento de masa: T = ∫ m 1 2 u 2 d m {\displaystyle T=int _{m}{tfrac {1}{2}}u^{2}{dm}

${displaystyle T=int _{m}{tfrac {1}{2}}u^{2},dm}$

Como el muelle es uniforme, d m = ( d y L ) m {{displaystyle dm=left({\frac {dy}{L}\right)m}

$dm=\a la izquierda({\frac {dy}{L}}\a la derecha)m$

, donde L {\a la izquierda L}

$L$

es la longitud del muelle. Por lo tanto, T = ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {\displaystyle T={int _{0}^{L}{tfrac {1}{2}}u^{2}{left({\frac {dy}{L}{right)}

${displaystyle T=int _{0}^{L}{tfrac {1}{2}}u^{2}}left({\frac {dy}{L}right)}}$

= 1 2 m L ∫ 0 L u 2 d y {\displaystyle ={tfrac {1}{2}}{frac {m}{L}}int _{0}^{L}u^{2}},dy}

${displaystyle ={tfrac {1}{2}}{frac {m}{L}}int _{0}^{L}u^{2}{dy}$

La velocidad de cada elemento de masa del muelle es directamente proporcional a la longitud desde la posición en la que está fijado (si está cerca del bloque entonces más velocidad y si está cerca del techo entonces menos velocidad), es decires decir, u = v y L {\displaystyle u={frac {vy}{L}}

$u={\frac {vy}{L}$

, de lo que se deduce: T = 1 2 m L ∫ 0 L ( v y L ) 2 d y {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L}}int _{0}^{L}[izquierda({\frac {vy}}{derecha)^{2},dy}

${displaystyle T={tfrac {1}{2}} {{m}{L}}int _{0}^{L}}left({\frac {vy}{L}right)^{2}{dy},dy}$

= 1 2 m L 3 v 2 ∫ 0 L y 2 d y {\displaystyle ={tfrac {1}{2}}{frac {m}{L^{3}}v^{2}{int _{0}^{L}y^{2}},dy}

${displaystyle ={tfrac {1}{2}}{frac {m}{L^{3}}v^{2}{int _{0}{L}y^{2}{,}dy}$

= 1 2 m L 3 v 2 0 L {{displaystyle ={tfrac {1}{2}}{{frac {m}{L^{3}}v^{2}{left_{0}^{L}}

${displaystyle ={tfrac {1}{2}{frac {m}{L^{3}}v^{2}{left_{0}^{L}$

= 1 2 m 3 v 2 {{displaystyle ={tfrac {1}{2}{frac {m}{3}v^{2}}

${displaystyle ={tfrac {1}{2}{frac {m}{3}v^{2}}$

Comparando con la fórmula de energía cinética original esperada 1 2 m v 2 , {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2},}

${\tfrac {1}{2}}mv^{2},$

la masa efectiva del muelle en este caso es m/3. Utilizando este resultado, la energía total del sistema puede escribirse en términos del desplazamiento x {\displaystyle x}

$x$

desde la posición no estirada del muelle (ignorando los términos de potencial constante y tomando la dirección hacia arriba como positiva): T {\displaystyle T}

$T$

(Energía total del sistema) = 1 2 ( m 3 ) v 2 + 1 2 M v 2 + 1 2 k x 2 – 1 2 m g x – M g x {\displaystyle ={tfrac {1}{2}}({\frac {m}{3}})\ v^{2}+{\tfrac {1}{2}Mv^{2}+{\tfrac {1}{2}kx^{2}-{\tfrac {1}{2}}mgx-Mgx}

${displaystyle ={tfrac {1}{2}({\frac {m}{3})\f v^{2}+{tfrac {1}{2}Mv^{2}+{tfrac {1}{2}kx^{2}-{tfrac {1}{2}mgx-Mgx}$

Nota que g {{displaystyle g}

$g$

aquí es la aceleración de la gravedad a lo largo del muelle. Por diferenciación de la ecuación con respecto al tiempo, la ecuación del movimiento es: ( – m 3 – M ) a = k x – 1 2 m g – M g {\displaystyle \left({\frac {m}{3}}-M\right)\a=kx-{tfrac {1}{2}mg-Mg}

${displaystyle \left({\frac {-m}{3}}-M\right)\a=kx-{tfrac {1}{2}mg-Mg}$

El punto de equilibrio x e q {{displaystyle x_{mathrm {eq}} }}

$x_{mathrm {eq} } Se puede encontrar dejando que la aceleración sea cero: x e q = 1 k ( 1 2 m g + M g ) }={frac {1}{k}}left({\tfrac {1}{2}mg+Mg\right)}$ ${displaystyle x_{mathrm {eq}} }={frac {1}{k}}left({\tfrac {1}{2}mg+Mg\right)}$