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La relación entre la longitud efectiva de un pilar y el menor radio de giro de su sección transversal se denomina relación de esbeltez (a veces expresada con la letra griega lambda, λ). Esta relación permite clasificar los pilares y su modo de fallo. La relación de esbeltez es importante para las consideraciones de diseño. Todos los siguientes son valores aproximados utilizados por conveniencia.

Si la carga sobre un pilar se aplica a través del centro de gravedad (centroide) de su sección transversal, se denomina carga axial. Una carga en cualquier otro punto de la sección transversal se conoce como carga excéntrica. Un pilar corto bajo la acción de una carga axial fallará por compresión directa antes de pandearse, pero un pilar largo cargado de la misma manera fallará saltando repentinamente hacia fuera lateralmente (pandeo) en un modo de flexión. El modo de deformación por pandeo se considera un modo de fallo, y generalmente se produce antes de que los esfuerzos de compresión axial (compresión directa) puedan provocar el fallo del material por cesión o fractura de ese miembro de compresión. Sin embargo, los pilares de longitud intermedia fallarán por una combinación de esfuerzos de compresión directa y flexión.

En particular:

• Un pilar de acero corto es aquel cuya relación de esbeltez no excede de 50; un pilar de acero de longitud intermedia tiene una relación de esbeltez que oscila entre 50 y 200 aproximadamente, y su comportamiento está dominado por el límite de resistencia del material, mientras que un pilar de acero largo puede suponerse que tiene una relación de esbeltez superior a 200 y su comportamiento está dominado por el módulo de elasticidad del material.
• Un pilar corto de hormigón es aquel que tiene una relación entre la longitud no soportada y la menor dimensión de la sección transversal igual o inferior a 10. Si la relación es superior a 10, se considera un pilar largo (a veces denominado pilar esbelto).
• Los pilares de madera pueden clasificarse como pilares cortos si la relación entre la longitud y la menor dimensión de la sección transversal es igual o inferior a 10. La línea divisoria entre los pilares de madera intermedios y largos no se puede evaluar fácilmente. Una forma de definir el límite inferior de los pilares de madera largos sería establecerlo como el valor más pequeño de la relación entre la longitud y la menor dimensión de la sección transversal que acaba de superar una determinada constante K del material. Dado que K depende del módulo de elasticidad y de la tensión de compresión admisible paralela a la fibra, puede verse que este límite arbitrario variaría con la especie de la madera. El valor de K se indica en la mayoría de los manuales de estructuras.

La teoría del comportamiento de los pilares fue investigada en 1757 por el matemático Leonhard Euler. Derivó la fórmula, la fórmula de Euler, que da la carga axial máxima que una columna larga, esbelta e ideal puede soportar sin pandearse. Una columna ideal es aquella que es perfectamente recta, hecha de un material homogéneo y libre de tensiones iniciales. Cuando la carga aplicada alcanza la carga de Euler, a veces llamada carga crítica, la columna pasa a estar en un estado de equilibrio inestable. Con esa carga, la introducción de la más mínima fuerza lateral hará que la columna falle al «saltar» repentinamente a una nueva configuración, y se dice que la columna se ha pandeado. Esto es lo que ocurre cuando una persona se pone de pie sobre una lata de aluminio vacía y luego golpea brevemente los lados, lo que hace que se aplaste instantáneamente (los lados verticales de la lata pueden entenderse como una serie infinita de columnas extremadamente delgadas). La fórmula derivada por Euler para las columnas largas y delgadas se da a continuación.

F = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

Para obtener la demostración matemática leer: La carga crítica de Euler

donde

F {\displaystyle F} , fuerza máxima o crítica (carga vertical en la columna), E {\displaystyle E} módulo de elasticidad, I, momento de inercia del área más pequeña (segundo momento del área) de la sección transversal de la columna, L, longitud no soportada de la columna. K, factor de longitud efectiva del pilar, cuyo valor depende de las condiciones de apoyo de los extremos del pilar, como se indica a continuación. Para ambos extremos fijados (articulados, libres de giro), K = 1,0 {\displaystyle K=1,0} . Para ambos extremos fijos, K = 0,50 {\displaystyle K=0,50} . Para un extremo fijo y el otro fijo, K = 2 / 2 ≈ 0,7071 {\displaystyle K={cuadrado {2}}/2\approx 0,7071} . Para un extremo fijo y el otro libre para moverse lateralmente, K = 2,0 {\displaystyle K=2,0} . K L {\displaystyle KL} es la longitud efectiva de la columna.

El examen de esta fórmula revela los siguientes hechos con respecto a la capacidad de carga de los pilares esbeltos.

• La elasticidad del material del pilar y no la resistencia a la compresión del material del pilar determina la carga de pandeo del pilar.
• La carga de pandeo es directamente proporcional al segundo momento del área de la sección transversal.
• Las condiciones de contorno tienen un efecto considerable en la carga crítica de los pilares esbeltos. Las condiciones de contorno determinan el modo de flexión de la columna y la distancia entre los puntos de inflexión en la curva de desplazamiento de la columna deflectada. Los puntos de inflexión en la forma de flexión del pilar son los puntos en los que la curvatura del pilar cambia de signo y son también los puntos en los que los momentos flectores internos del pilar son nulos. Cuanto más cerca estén los puntos de inflexión, mayor será la capacidad de carga axial resultante (carga de pandeo) de la columna.
Un modelo de demostración que ilustra los diferentes modos de pandeo «Euler». El modelo muestra cómo las condiciones de contorno afectan a la carga crítica de una columna esbelta. Obsérvese que los pilares son idénticos, aparte de las condiciones de contorno.

Una conclusión de lo anterior es que la carga de pandeo de un pilar puede aumentarse cambiando su material a uno con un módulo de elasticidad (E) más alto, o cambiando el diseño de la sección transversal del pilar para aumentar su momento de inercia. Esto último puede hacerse sin aumentar el peso de la columna, distribuyendo el material lo más lejos posible del eje principal de la sección transversal de la columna. Para la mayoría de los propósitos, el uso más efectivo del material de una columna es el de una sección tubular.

Otra idea que puede extraerse de esta ecuación es el efecto de la longitud sobre la carga crítica. Si se duplica la longitud no soportada del pilar, se cuadra la carga admisible. La restricción ofrecida por las conexiones finales de un pilar también afecta a su carga crítica. Si las conexiones son perfectamente rígidas (no permiten la rotación de sus extremos), la carga crítica será cuatro veces mayor que la de un pilar similar en el que los extremos estén sujetos con pasadores (permitiendo la rotación de sus extremos).

Dado que el radio de giro se define como la raíz cuadrada de la relación entre el momento de inercia de la columna alrededor de un eje y su área transversal, la fórmula de Euler anterior puede reformularse sustituyendo el radio de giro A r 2 {\displaystyle Ar^{2}} por I {\displaystyle I} :

σ = F A = π 2 E ( l / r ) 2 {\displaystyle \sigma ={{frac {F}{A}}={{frac {\pi ^{2}E}{(l/r)^{2}}}}

Dado que los pilares estructurales son comúnmente de longitud intermedia, la fórmula de Euler tiene poca aplicación práctica para el diseño ordinario. Los problemas que provocan la desviación del comportamiento puro de la columna de Euler incluyen imperfecciones en la geometría de la columna en combinación con la plasticidad/comportamiento no lineal de tensión-deformación del material de la columna. En consecuencia, se han desarrollado una serie de fórmulas empíricas para los pilares que concuerdan con los datos de las pruebas, todas las cuales incorporan la relación de esbeltez. Debido a la incertidumbre en el comportamiento de los pilares, para el diseño se introducen factores de seguridad adecuados en estas fórmulas. Una de estas fórmulas es la de Perry Robertson, que estima la carga crítica de pandeo basándose en una supuesta pequeña curvatura inicial, y por tanto una excentricidad de la carga axial. La fórmula de Rankine Gordon (llamada así por William John Macquorn Rankine y Perry Hugesworth Gordon (1899 – 1966)) también se basa en resultados experimentales y sugiere que una columna se doblará con una carga Fmax dada por:

1 F max = 1 F e + 1 F c {\displaystyle {\frac {1}{F_{\max }}={{frac {1}{F_{e}}+{{F_{c}}}}

AutoabrochadoEditar

Para obtener la demostración matemática leer: Auto-doblado

h crit = ( 9 B 2 4 E I ρ g A ) 1 3 {\displaystyle h_{{text{crit}}=\left({\frac {9B^{2}}{4}},{\frac {EI}{rho gA}}right)^{{frac {1}{3}}

Donde g {\displaystyle g} es la aceleración debida a la gravedad, I {\displaystyle I} es el segundo momento del área de la sección transversal de la viga, y B {\displaystyle B} es el primer cero de la función de Bessel del primer tipo de orden -1/3, que es igual a 1.86635086…

Deflexión de placasEditar

Una placa es una estructura tridimensional que se define por tener una anchura de tamaño comparable a su longitud, con un espesor muy pequeño en comparación con sus otras dos dimensiones. Al igual que las columnas, las placas delgadas experimentan deformaciones de pandeo fuera del plano cuando se someten a cargas críticas; sin embargo, a diferencia del pandeo de las columnas, las placas sometidas a cargas de pandeo pueden seguir soportando cargas, lo que se denomina pandeo local. Este fenómeno es increíblemente útil en numerosos sistemas, ya que permite diseñar sistemas para proporcionar mayores capacidades de carga.

Para una placa rectangular, apoyada a lo largo de cada arista, cargada con una fuerza de compresión uniforme por unidad de longitud, la ecuación de gobierno derivada puede enunciarse por:

∂ 4 w ∂ x 4 + 2 ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 = 12 ( 1 – ν 2 ) E t 3 ( – N x ∂ 2 w ∂ x 2 ) {\displaystyle {\frac {{parcial ^{4}w}{parcial x^{4}}+2{\frac {{parcial ^{4}w}{parcial x^{2}{parcial y^{2}}+{\frac {{parcial ^{4}w}{parcial y^{4}}={\frac {12\left(1-\^{nu ^{2}}} {{Et^{3}} {{N_{x}} {{parcial ^{2}}} {{parcial x^{2}}} {{d}}}

donde

w {\displaystyle w} , la deflexión fuera del plano N x {\displaystyle N_{x}} , la carga de compresión uniformemente distribuida ν {\displaystyle \nu } , la relación de Poisson E {\displaystyle E} , módulo de elasticidad t {\displaystyle t} , espesor

La solución a la deflexión se puede expandir en dos funciones armónicas mostradas:

w = ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ w m n sin ( m π x a ) sin ( n π y b ) {\displaystyle w=\sum w=suma _{m=1}^{infty}} w{{mn}}sin \\\N a la izquierda({\frac {m\pi x}{a}} a la derecha)\Nsin \N a la izquierda({\frac {n\pi y}{b} a la derecha)}

Donde

m {\displaystyle m} , número de medias curvaturas senoidales que ocurren longitudinalmente n {\displaystyle n} La ecuación anterior puede ser sustituida en la ecuación diferencial anterior, donde n es igual a 1. N x {\displaystyle N_{x}} se puede separar proporcionando la ecuación de la carga crítica de compresión de una placa:

N x , c r = k c r π 2 E t 3 12 ( 1 – ν 2 ) b 2 {{displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}{frac {pi ^{2}Et^{3}} {12\left(1-\nu ^{2}\right)b^{2}}}}

donde

k c r {\displaystyle k_{cr}}

El coeficiente de pandeo, dado por: k c r = ( m b a + a m b ) 2 {\displaystyle k_{cr}=\left({\frac {mb}{a}+{\frac {a}{mb}}right)^{2}

El coeficiente de pandeo está influenciado por el aspecto de la probeta, a {\displaystyle a} / b {\displaystyle {b}} y el número de curvaturas longitudinales. Para un número creciente de dichas curvaturas, la relación de aspecto produce un coeficiente de pandeo variable; pero cada relación proporciona un valor mínimo para cada m {\displaystyle m} . Este valor mínimo puede entonces ser utilizado como una constante, independiente tanto de la relación de aspecto como de m {\displaystyle m} .

Dada la tensión se encuentra la carga por unidad de superficie, se encuentra la siguiente expresión para la tensión crítica:

σ c r = k c r π 2 E 12 ( 1 – ν 2 ) ( b t ) 2 {\displaystyle \sigma _{cr}=k_{cr} {\frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b}{t}\right)^{2}}}}

A partir de las ecuaciones derivadas, se observa la estrecha similitud entre la tensión crítica para una columna y para una placa. A medida que la anchura b {\displaystyle b} se reduce, la placa actúa más como una columna, ya que aumenta la resistencia al pandeo a lo largo de la anchura de la placa. El aumento de a {\displaystyle a} permite aumentar el número de ondas sinusoidales producidas por el pandeo a lo largo, pero también aumenta la resistencia del pandeo a lo largo del ancho. Esto crea la preferencia de que la placa se doble de tal manera que se iguale el número de curvaturas tanto a lo largo de la anchura como de la longitud. Debido a las condiciones de contorno, cuando una placa se carga con una tensión crítica y se dobla, los bordes perpendiculares a la carga no pueden deformarse fuera del plano y, por tanto, seguirán soportando las tensiones. Esto crea una carga de compresión no uniforme a lo largo de los extremos, donde las tensiones se imponen en la mitad de la anchura efectiva a cada lado de la probeta, dada por lo siguiente:

b eff b ≈ σ c r σ y ( 1 – 1.022 σ c r σ y ) {\displaystyle {\frac {b_{text{eff}}{b}approx {{sqrt {{frac {\sigma _{cr}}{sigma _{y}}left(1-1.022{sqrt {\frac {\sigma _{cr}}{sigma _{y}}}}\ right)}}

donde

b eff {{displaystyle b_{text{eff}}

Amplitud efectiva σ y {\displaystyle \sigma _{y}}

A medida que la tensión cargada aumenta, la anchura efectiva sigue disminuyendo; si las tensiones en los extremos alcanzan alguna vez el límite elástico, la placa fallará. Esto es lo que permite que la estructura pandeada siga soportando cargas. Cuando se representa la carga axial sobre la carga crítica frente al desplazamiento, se muestra la trayectoria fundamental. Demuestra la similitud de la placa con una columna sometida a pandeo; sin embargo, más allá de la carga de pandeo, la trayectoria fundamental se bifurca en una trayectoria secundaria que se curva hacia arriba, proporcionando la capacidad de ser sometida a cargas más altas más allá de la carga crítica.

Deformación por flexión-torsiónEditar

La deformación por flexión-torsión puede describirse como una combinación de respuesta de flexión y torsión de un miembro en compresión. Este modo de deformación debe considerarse a efectos de diseño. Esto ocurre principalmente en los pilares con secciones transversales «abiertas» y, por tanto, con una baja rigidez a la torsión, como los canales, las tes estructurales, las formas de doble ángulo y los ángulos simples de pata igual. Las secciones transversales circulares no experimentan este modo de pandeo.

Flexión lateral-torsionalEditar

Flexión lateral-torsional de una viga I con fuerza vertical en el centro: a) vista longitudinal, b) sección transversal cerca del apoyo, c) sección transversal en el centro con pandeo lateral-torsional

Cuando una viga simplemente apoyada está cargada a flexión, el lado superior está en compresión, y el lado inferior está en tensión. Si la viga no está apoyada en la dirección lateral (es decir, perpendicular al plano de flexión), y la carga de flexión aumenta hasta un límite crítico, la viga experimentará una deflexión lateral del ala de compresión al pandearse localmente. La deflexión lateral del ala de compresión está restringida por el alma de la viga y el ala de tracción, pero para una sección abierta el modo de torsión es más flexible, por lo que la viga se tuerce y se deforma lateralmente en un modo de fallo conocido como pandeo lateral-torsional. En las secciones de ala ancha (con alta rigidez lateral a la flexión), el modo de deflexión será principalmente la torsión en torsión. En las secciones de ala estrecha, la rigidez a la flexión es menor y la deflexión del pilar se acercará más a la del modo de deflexión lateral en torsión.

El uso de secciones cerradas, como la sección hueca cuadrada, mitigará los efectos del pandeo lateral-torsional en virtud de su alta rigidez a la torsión.

Cb es un factor de modificación utilizado en la ecuación de la resistencia nominal a la flexión cuando se determina el pandeo lateral-torsional. La razón de este factor es permitir diagramas de momentos no uniformes cuando los extremos de un segmento de viga están arriostrados. El valor conservador de Cb puede tomarse como 1, independientemente de la configuración o carga de la viga, pero en algunos casos puede ser excesivamente conservador. Cb es siempre igual o mayor que 1, nunca menor. Para ménsulas o voladizos en los que el extremo libre no está arriostrado, Cb es igual a 1. Existen tablas de valores de Cb para vigas simplemente apoyadas.

Si no se da un valor adecuado de Cb en las tablas, puede obtenerse mediante la siguiente fórmula:

C b = 12,5 M máx 2,5 M máx + 3 M A + 4 M B + 3 M C {{displaystyle C_{b}={frac {12,5M_{\max }}{2,5M_{\max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}}

donde

M max {\displaystyle M_{\max }} , valor absoluto del momento máximo en el segmento no arriostrado, M A {{displaystyle M_{A}} valor absoluto del momento máximo en el cuarto punto del segmento no arriostrado, M B {displaystyle M_{B}} valor absoluto del momento máximo en la línea central del segmento no arriostrado, M C {displaystyle M_{C}} , valor absoluto del momento máximo en el punto de los tres cuartos del segmento no arriostrado,

El resultado es el mismo para todos los sistemas de unidades.

Perforación plásticaEditar

La resistencia a la compresión de un miembro es menor que la resistencia a la compresión elástica de una estructura si el material del miembro se esfuerza más allá del rango de material elástico y en el rango de comportamiento de material no lineal (plástico). Cuando la carga de compresión se acerca a la carga de pandeo, la estructura se doblará significativamente y el material de la columna se apartará de un comportamiento lineal de tensión-deformación. El comportamiento tensión-deformación de los materiales no es estrictamente lineal ni siquiera por debajo del límite elástico, por lo que el módulo de elasticidad disminuye a medida que aumenta la tensión, y de forma significativa cuando las tensiones se acercan al límite elástico del material. Esta menor rigidez del material reduce la resistencia al pandeo de la estructura y da lugar a una carga de pandeo menor que la predicha por la suposición de un comportamiento elástico lineal.

Se puede tener una aproximación más precisa de la carga de pandeo mediante el uso del módulo de elasticidad tangente, Et, que es menor que el módulo elástico, en lugar del módulo de elasticidad. La tangente es igual al módulo elástico y luego disminuye más allá del límite proporcional. El módulo tangente es una línea dibujada tangente a la curva tensión-deformación en un valor particular de la deformación (en la sección elástica de la curva tensión-deformación, el módulo tangente es igual al módulo elástico). Los gráficos del módulo de elasticidad tangente para una variedad de materiales están disponibles en las referencias estándar.

CripplingEdit

Las secciones que están formadas por placas con bridas, como un canal, pueden seguir soportando carga en las esquinas después de que las bridas se hayan doblado localmente. La deformación es el fallo de la sección completa.

Tensión diagonalEditar

Debido a las delgadas pieles que se utilizan normalmente en las aplicaciones aeroespaciales, las pieles pueden pandearse a niveles de carga bajos. Sin embargo, una vez que se doblan, en lugar de ser capaces de transmitir fuerzas de cizallamiento, siguen siendo capaces de soportar la carga a través de los esfuerzos de tensión diagonal (DT) en el alma. Esto da lugar a un comportamiento no lineal en el comportamiento de carga de estos detalles. La relación entre la carga real y la carga a la que se produce el pandeo se conoce como relación de pandeo de una chapa. Unas relaciones de pandeo elevadas pueden provocar un arrugamiento excesivo de las chapas, que pueden fallar por cesión de las arrugas. Aunque pueden pandearse, las chapas finas están diseñadas para no deformarse permanentemente y volver a un estado no pandeado cuando se elimina la carga aplicada. El pandeo repetido puede dar lugar a fallos por fatiga.

Las chapas sometidas a tensión diagonal están soportadas por rigidizadores que, como resultado del pandeo de la chapa, soportan una carga distribuida a lo largo de su longitud, y pueden a su vez dar lugar a que estos miembros estructurales fallen por pandeo.

Las chapas más gruesas pueden formar sólo parcialmente un campo de tensión diagonal y pueden seguir soportando parte de la carga a través del cizallamiento. Esto se conoce como tensión diagonal incompleta (IDT). Este comportamiento fue estudiado por Wagner y estas vigas se conocen a veces como vigas Wagner.

La tensión diagonal también puede dar lugar a una fuerza de tracción sobre cualquier elemento de fijación, como los remaches, que se utiliza para sujetar el alma a los miembros de soporte. Los elementos de fijación y las chapas deben diseñarse para resistir el arranque de sus soportes.

Perforación dinámicaEditar

Si un pilar se carga repentinamente y luego se libera la carga, el pilar puede sostener una carga mucho mayor que su carga de pandeo estática (aplicada lentamente). Esto puede ocurrir en un pilar largo y sin soporte utilizado como martillo de caída. La duración de la compresión en el extremo de impacto es el tiempo necesario para que una onda de tensión se desplace a lo largo de la columna hasta el otro extremo (libre) y vuelva a descender en forma de onda de descarga. El pandeo máximo se produce cerca del extremo de impacto con una longitud de onda mucho más corta que la longitud de la barra y con una tensión muchas veces superior a la tensión de pandeo de una columna cargada estáticamente. La condición crítica para que la amplitud de pandeo sea inferior a unas 25 veces la imperfección efectiva de la varilla en la longitud de onda de pandeo es

σ L = ρ c 2 h {\displaystyle \sigma L=\rho c^{2}h}

Donde σ {\displaystyle \sigma } es la tensión de impacto, L {\displaystyle L} es la longitud de la varilla, c {\displaystyle c} es la velocidad de la onda elástica, y h {\displaystyle h} es la dimensión lateral menor de una varilla rectangular. Como la longitud de onda de pandeo sólo depende de σ {\displaystyle \sigma } y h {\displaystyle h} Esta misma fórmula es válida para cáscaras cilíndricas delgadas de grosor h {\displaystyle h} .