Resumen
En este trabajo se presenta la condición de existencia del amortiguamiento crítico en sistemas de 1 DOF con amortiguamiento fraccionario, y se deriva la relación entre el coeficiente de amortiguamiento crítico y el orden de la derivada fraccionaria. Se muestra que sólo cuando el orden del amortiguamiento fraccionario y su coeficiente cumplen ciertas condiciones, el sistema está en el caso de amortiguamiento crítico. A continuación, se discuten las características de vibración de los sistemas con diferentes órdenes situados en el conjunto de amortiguamiento crítico. Sobre la base de los resultados, la estrategia clásica de control del amortiguamiento de skyhook se extiende a la fraccional, donde se diseña una ley de control de conmutación para obtener un efecto de control más ideal. Basándose en el principio de la transformación de coordenadas modales, se ofrece un nuevo método de diseño del control fraccional de la amortiguación del gancho de cielo para la suspensión de un coche completo. Los resultados de la simulación muestran que el método de control propuesto tiene un buen efecto de control, incluso en algunos casos especiales, como los baches de las carreteras.
1. Introducción
Las vibraciones de los sistemas lineales de 1 DOF con amortiguación ordinaria pueden clasificarse como infraamortiguadas, críticamente amortiguadas y sobreamortiguadas según la magnitud del coeficiente de amortiguación. El amortiguamiento crítico se define como el umbral entre el sobreamortiguamiento y el subamortiguamiento. En el caso del amortiguamiento crítico, el oscilador vuelve a la posición de equilibrio lo más rápidamente posible, sin oscilar, y la pasa una vez como máximo . Teniendo en cuenta la particularidad del amortiguamiento crítico, se estudia con frecuencia en otros sistemas. El criterio para el amortiguamiento crítico de sistemas de múltiples grados de libertad con amortiguamiento viscoso es proporcionado por Bulatovic . Las condiciones de existencia para el amortiguamiento crítico en sistemas de segundo orden tipo péndulo son establecidas por Li et al. . Beskos y Boley proponen un método general que determina las «superficies de amortiguamiento crítico» de un determinado sistema dinámico lineal continuo. Sin embargo, hasta el momento, sólo hay unas pocas investigaciones sobre el amortiguamiento crítico en sistemas fraccionadamente amortiguados. En 1984, Torvik y Bagley propusieron un modelo mecánico con derivadas fraccionarias en el estudio del movimiento de una placa rígida inmersa en un fluido de Newton, y los resultados del estudio en hacen que el cálculo fraccionario sea atractivo para muchos ingenieros y técnicos.
La suspensión del vehículo es un componente importante para mejorar el confort de conducción y el rendimiento de manejo , la investigación sobre su estrategia de control es un punto caliente. En estos enfoques de control, la estrategia de control skyhook propuesta por Karnopp et al. se aplica ampliamente debido a su algoritmo simple y buen rendimiento de control. El principio de control clásico del skyhook se basa en un sistema de vibración SDOF, que es adecuado para el control de la vibración vertical de los modelos de cuarto de coche de dos DOF. En los últimos años, muchos académicos han estudiado la aplicación del algoritmo skyhook en el modelo de suspensión de coche completo. Las principales estrategias de control de skyhook para los sistemas de suspensión de coches completos se basan en el pensamiento físico; estas estrategias son las extensiones de aplicación del método clásico de skyhook que se utiliza ampliamente para controlar los sistemas de suspensión de cuartos de coche. El modelo de suspensión del coche completo se considera como una simple combinación de cuatro modelos de subsuspensión de 1/4, y se supone que hay un «skyhook» conectado con cada 1/4 de la carrocería del coche por cuatro amortiguadores de skyhook para controlar la vibración de la carrocería del coche, mientras que la suspensión del vehículo completo tiene requisitos de rendimiento de la suspensión multiobjetivo que implican los movimientos verticales, de cabeceo y de balanceo. Por lo tanto, el problema de cómo coordinar las fuerzas de los cuatro controladores independientes para mantener una buena postura de la carrocería necesita ser resuelto y la solución típica es añadir un sistema de toma de decisiones.
Aunque los algoritmos de la corriente principal pueden lograr un buen rendimiento de control, es inconsistente con el principio de control original de skyhook. Desde la perspectiva de los principios matemáticos, el principio de control clásico de skyhook se utiliza para controlar un sistema SDOF con un amortiguador de skyhook. Mientras que la suspensión del vehículo es un sistema con múltiples DOFs (los modelos existentes tienen siete o más DOFs), por lo que se requiere el mismo número de controladores. Sin embargo, en la realidad, sólo hay cuatro controladores. ¿Cómo abordar este problema?
Este trabajo se divide en dos partes. En la primera parte se estudia el amortiguamiento crítico en un sistema de orden fraccionario. Se dan las condiciones de existencia del amortiguamiento crítico y se deriva la relación de orden. A continuación, se discuten las características de atenuación de las vibraciones de los sistemas de amortiguación crítica fraccional con diferentes órdenes. En la segunda parte, el amortiguamiento crítico fraccionario se aplica a la estrategia de control del sistema de suspensión del vehículo. Se utiliza el método de desacoplamiento modal para resolver el problema de que el número de controladores necesarios no coincide con el de los reales. En el espacio modal, se utiliza la estrategia de control clásica de skyhook para deprimir la vibración monomodal desacoplada. En este caso, los coeficientes de amortiguación críticos fraccionados se eligen como los coeficientes de amortiguación skyhook. De esta manera, el número de controladores diseñados es consistente con el de DOFs del sistema, entonces estos modos son reacoplados y los controladores reales son usados para controlar la suspensión. Se construye un modelo de dominio de tiempo de carretera aleatorio relacionado con las cuatro ruedas para probar el efecto de la estrategia de control skyhook fraccional derivado; un bache de carretera está especialmente diseñado para demostrar las ventajas de la amortiguación crítica fraccional derivada.
La organización del artículo es la siguiente. En la sección 2, se dan primero las condiciones de los sistemas amortiguados fraccionarios que están en el caso de amortiguamiento crítico. Luego se estudian las propiedades de la vibración con amortiguamiento crítico. En la sección 3, se propone un nuevo algoritmo de control fraccional de skyhook para sistemas de suspensión de coche completo. En la sección 4, se discuten los resultados de la simulación. Las conclusiones se dan en la Sección 5.
2. Amortiguación crítica del sistema con amortiguación fraccional derivada
2.1. Derivación de la fórmula
La ecuación diferencial de vibración libre de un sistema SDOF con amortiguamiento fraccionario tiene la forma donde es el desplazamiento, es la derivada fraccional en el tiempo de , y , , y son el coeficiente de masa, de amortiguamiento y de rigidez, respectivamente.
Hay muchas definiciones para las derivadas fraccionarias , entre las cuales la definición de Riemann-Liouville y las definiciones de Caputo son las más utilizadas. La primera se utiliza con frecuencia para la descripción de problemas debido a su exigencia moderada de la continuidad de la función. La segunda tiene la misma transformada de Laplace que la de orden entero, por lo que es muy utilizada en la teoría de control. En este trabajo, la fuerza de amortiguación derivada fraccionaria se considera como una fuerza de control para estudiar las propiedades de la vibración libre amortiguada del sistema, por lo que se utiliza aquí la definición de Caputo.
Por el método de la transformada de Laplace, la ecuación característica del sistema toma la formadonde es la variable compleja. Sustituyendo su forma polar en (2), tenemos
Considerando la fórmula de Euler , (3) toma la forma
La condición de establecimiento de (4) es que tanto la parte real como la imaginaria son iguales a cero, por lo que obtenemos
Se sabe que cuando la parte imaginaria de las raíces de (2) es distinta de cero, el movimiento libre amortiguado del sistema es siempre oscilante. Para evitar la oscilación, las raíces características deben estar en el eje real negativo. Supongamos que donde es un número entero, por lo que se obtienen y, entonces (5) puede simplificarse como
La condición de establecimiento para (7) es , lo que significa que . Por lo tanto, se puede obtener quedonde es un número entero. Como resultado, tenemos
Encontramos que el conjunto de es denso, pero la densidad de probabilidad de cualquier localización en este dominio es pequeña, por lo que la condición de existencia del amortiguamiento crítico es estricta.
A partir de (6), se obtiene un coeficiente de amortiguamiento negativo cuando , que representa una entrada de energía al sistema. En este caso, la oscilación del sistema se refuerza, y no hay amortiguamiento crítico, mientras que es lo contrario cuando ; es decir, es impar, por lo que sustituyendo en (6) y entonces se obtiene (10). En resumen, en (9) es un número entero, es impar, y . Se presentan las condiciones de existencia del amortiguamiento crítico en los sistemas de vibración con amortiguamiento fraccionario y su fórmula de cálculo.
Para sistemas lineales de 1 DOF con amortiguamiento fraccionario, sólo cuando (9) se satisface el orden del operador fraccionario, existe un valor crítico de los coeficientes de amortiguamiento. Para que las soluciones de (1) sean sin oscilación, la relación entre el coeficiente de amortiguamiento y el orden esdonde . En (10), cuando , es decir , tenemos el valor mínimo del coeficiente de amortiguación que representa el coeficiente de amortiguación crítico cc.
Las curvas que representan la relación entre las variables en (10) se representan en la figura 1. Tomemos , por ejemplo, el punto más bajo de la curva representa el punto crítico de amortiguación y su correspondiente coeficiente de amortiguación es el valor crítico del coeficiente de amortiguación. Vale la pena señalar que muchas investigaciones anteriores sobre los sistemas amortiguados fraccionadamente de 1 DOF se centran en las soluciones de las ecuaciones características. Desde esta perspectiva, encontramos cuando , las ecuaciones características sólo tienen raíces complejas o conjugadas y tienen raíces reales negativas cuando . Por lo tanto, cuando , representa el coeficiente de sobreamortiguamiento, y cuando , es el coeficiente de subamortiguamiento. En el caso del amortiguamiento crítico, la ecuación característica tiene la raíz , que representa el índice de convergencia. Cuando se incrementa de 0 a 2, el punto de amortiguamiento crítico se desplaza hacia la parte inferior derecha en la figura, lo que indica que con mayor , resulta un menor y mayor ; es decir, con un valor propio menor, el sistema es un convergente más rápido.
Cabe destacar también que Sakakibara estudió las propiedades de la vibración con amortiguación derivada fraccionaria de orden 1/2. Mediante el análisis de las soluciones de (1), se concluye que no existe un valor crítico del coeficiente de amortiguación, lo cual no va en contra de las conclusiones de este trabajo porque no se encuentra en el conjunto representado por (9). De hecho, es fácil entender que por reducción al absurdo, es decir, cuando las raíces s son reales negativas, no se cumplen sustituyendo en (2). Esto significa que cuando , los valores propios no pueden ser reales negativos y siempre contienen una parte imaginaria. Además, encontramos que cuando , se obtienen los coeficientes críticos de amortiguamiento , , y, que son consistentes con el amortiguamiento crítico en un sistema de orden entero. Dado que no es nuestro objetivo principal resolver la ecuación y que los coeficientes críticos de amortiguación pueden obtenerse sin analizar las soluciones, no volveremos aquí a estas cuestiones y remitiremos al lector interesado a . Como se muestra en la figura 2, cuando , el coeficiente crítico de amortiguación se calcula de acuerdo con el análisis anterior.
2.2. Propiedades de la vibración con amortiguación crítica derivada fraccionaria
Cuando , la amortiguación fraccionaria juega no sólo el papel de una amortiguación convencional, sino también el de un muelle suplementario . Si o , el efecto de amortiguación del sistema se debilita, y se produce un comportamiento típico de la oscilación. Además, los sistemas de orden fraccionario se ven fácilmente afectados por el estado inicial. Por lo tanto, en la práctica, deben estar dentro del rango de interés para la ingeniería.
La figura 3 muestra las curvas de movimientos libres de decaimiento de los sistemas de amortiguamiento crítico con diferentes órdenes bajo el estado inicial , . Muestra que en el caso de los mismos otros parámetros, los sistemas con un gran retorno a la posición de equilibrio más rápido. Cuando , los sistemas son relativamente lentos ya que vuelven a la posición de equilibrio y no la cruzan. De lo contrario, cuando , los sistemas son relativamente rápidos y cruzan a través de la posición de equilibrio estático una vez (se produce un rebasamiento), lo que es diferente de la amortiguación crítica ordinaria. Aunque los sistemas con un gran retorno a la posición de equilibrio a una velocidad más rápida, es fácil de ser despertado por la excitación externa como la entrada de paso; las curvas de respuesta se muestran en la Figura 4.
Se espera que bajo la premisa de no oscilante, el sistema no sea fácil de ser despertado por la excitación externa y pueda volver a la posición de equilibrio lo más rápidamente posible cuando no hay fuerza externa. Se diseña una ley de control de conmutación para que el desplazamiento sea lo más pequeño posible cuando el sistema se aleja de la posición de equilibrio y para limitar el tiempo que tarda en alcanzar la posición asintóticamente estable cuando no hay fuerza externa. La ley de control diseñada es donde es la fuerza de control, y son los órdenes de la derivada fraccional, y y son los correspondientes coeficientes de amortiguación crítica de la derivada fraccional, es el desplazamiento. La eficacia de la estrategia de control propuesta se comprueba mediante una excitación por impulsos. La figura 5 muestra que, bajo una entrada de impulso, la ley de control de conmutación hace que el rendimiento de vibración del sistema de orden fraccionario sea mejor que el del de orden entero.
3. Estrategia de control del Skyhook del vehículo
De acuerdo con la teoría de la dinámica del vehículo, se establece el modelo dinámico del vehículo con siete DOFs. Los siete DOFs , , , , , y son el desplazamiento de cabeceo, cabeceo y balanceo de la carrocería, y el desplazamiento de las cuatro ruedas, respectivamente. Este modelo es similar a los utilizados por , aquí la ecuación diferencial matricial del modelo puede ser descrita comodonde es un vector que consiste en , , , , , y , y son la matriz de masa, amortiguación y rigidez, respectivamente. es la matriz de entrada y es un vector que representa la excitación de la carretera relacionada con las cuatro ruedas. es el vector de control y es el vector de la fuerza de control activo. La ecuación (12) representa una suspensión pasiva cuando es un vector cero.
De acuerdo con la teoría de la vibración lineal, el sistema de suspensión desacoplado se convierte en subsistemas lineales aislados que pueden ser controlados independientemente . Por lo tanto, se considera un método de desacoplamiento modal sistemático, con el que la matriz de masa y rigidez puede ser completamente desacoplada; sin embargo, la matriz de amortiguación no puede ser completamente desacoplada en general. Aquí sólo se controlan los elementos diagonales de la matriz de amortiguación para verificar la eficacia de la estrategia de control. Se considera la ecuación diferencial matricial del sistema totalmente desacoplado donde es el vector de coordenadas principales, , es la matriz de características, y es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son iguales a los del vector . En (13), , , y son matrices diagonales de siete órdenes y, asumiendo que es también una matriz diagonal de siete órdenes, se obtienen siete ecuaciones diferenciales de función escalar independiente; el control fraccionario de skyhook se utiliza aquí para deprimir cada vibración modal independiente. Sea , por lo que las siete ecuaciones diferenciales independientes tienen la formadonde es la excitación externa para los sistemas de vibración modal, representa la fuerza de amortiguación fraccional skyhook.
Se consideran las ecuaciones de vibración libre de los sistemas modales, a saber,donde la fuerza de control se utiliza para mantener el sistema en el caso de amortiguación crítica. De acuerdo con el método de la sección 2, se obtiene la relación entre el coeficiente de amortiguamiento y el orden
Cuando , el coeficiente de amortiguamiento del gancho de cielo derivado fraccionario es igual al coeficiente de amortiguamiento crítico derivado fraccionario. Del mismo modo, se espera que con la fuerza de amortiguación fraccional, el sistema modal no se despierte fácilmente por la fuerza externa y vuelva a la posición de equilibrio lo más rápido posible sin oscilar cuando no hay fuerza. Aquí, una ley de control de conmutación se da como sigue:
En la práctica, con un mayor o menor , estos problemas, como la limitación de la fuerza del actuador y la eficiencia de trabajo del actuador, surgen. Para lograr un efecto de control relativamente bueno, sólo se considera la limitación de la fuerza del actuador. Se obtienen siete coeficientes de amortiguación del sistema. Por reducción de coordenadas, el vector de fuerza de control final esdonde = (). La ecuación (19) representa la fuerza de la estrategia de control de amortiguación skyhook de orden entero cuando . La matriz inversa generalizada de se utiliza aquí porque no es una matriz cuadrada.
4. Resultados de la simulación y discusiones
Aquí se utiliza un modelo de dominio de tiempo de carretera aleatoria de cuatro ruedas correlacionadas y el perfil de la carretera es de grado C. Para verificar las características de la amortiguación crítica fraccionada, se diseña una condición de trabajo como la siguiente: cuando la simulación va a , en el lado izquierdo del vehículo, las ruedas delanteras y traseras han sido levantadas sucesivamente por un bache de la carretera con forma de onda sinusoidal con una altura de 0,1 m. Los parámetros de la suspensión del vehículo se muestran en las notas. Para validar la superioridad de la amortiguación crítica derivada fraccionaria, mientras se evitan los siguientes efectos negativos con un grande o pequeño , en la ley de control de conmutación, los órdenes se eligen como y .
Las figuras 6 y 7 muestran que la estrategia de control de skyhook del vehículo propuesta puede suprimir eficazmente la vibración de la carrocería; tanto la amplitud de la vibración como la aceleración se reducen significativamente; el rendimiento es especialmente bueno después de cruzar el bache de la carretera. La figura 6 muestra que la vibración con la amortiguación crítica derivada fraccional tiene un mejor rendimiento en las respuestas de amplitud que la que tiene un orden entero. Y la figura 7 muestra que la estrategia de control de amortiguación de orden fraccionario no tiene un deterioro significativo en la respuesta de aceleración. Pero para un grande o pequeño , las respuestas de aceleración se vuelven peores que las de la estrategia de control de orden entero, y es por eso que el orden debe ubicarse dentro de un dominio razonable en la aplicación de ingeniería.
(a) Desplazamiento de la oscilación
(b) Desplazamiento de cabeceo
(c) Desplazamiento de balanceo
(a) Desplazamiento de cabeceo(a) Desplazamiento de cabeceo
(b) Desplazamiento de cabeceo
(c) Desplazamiento de balanceo
(a) Aceleración de balanceo
(b) Aceleración de cabeceo
(c) Aceleración de balanceo
(a) Aceleración de cabeceo(a) Aceleración de cabeceo
(b) Aceleración de cabeceo
(c) Aceleración de balanceo
Comparado con muchas otras estrategias de control de la suspensión del coche completo, hay dos ventajas principales para el método en este papel. En primer lugar, el método propuesto es mucho más simple que la mayoría de los métodos de control. Por ejemplo, estos métodos presentados en también son probados por un bache de la carretera y pueden mejorar el rendimiento de la vibración del vehículo, pero son demasiado complicados. En realidad, la estrategia de control del skyhook es uno de los varios métodos simples y prácticos que se aplican ampliamente. Entre los algoritmos de control de skyhook de coche completo, un controlador semiactivo asíncrono basado en skyhook propuesto por Zhang et al. puede controlar cada subsistema de forma independiente; los resultados muestran que las amplitudes máximas de las aceleraciones de la carrocería aumentan más que las de la suspensión pasiva cuando se someten a la prueba de un impulso de excitación. Por lo tanto, no es fácil mantener una buena postura de la carrocería, especialmente cuando el coche pasa por un bache de la carretera. La solución existente consiste en introducir nuevos controles, como el control difuso paralelo modularizado y el control inteligente de tipo humano, lo que hace que las estrategias sean complejas y difíciles de aplicar. En segundo lugar, hay muchas estrategias de control activo de la suspensión que están diseñadas sobre la base de un uso más exhaustivo de la información de la vista previa de la carretera, facilitada por la utilización de cámaras a bordo y sistemas de posicionamiento global. Sin embargo, nuestro método de control no necesita tales facilidades.
En una palabra, el control skyhook propuesto tiene un algoritmo simple y es consistente con el esquema original de amortiguación skyhook en principio. La estrategia con coeficientes de amortiguación críticos de orden entero tiene un buen efecto, y la fraccional se ve como un complemento, que proporciona más selección de parámetros y tiene un mejor rendimiento en las respuestas de amplitud.
5. Conclusiones
(1) Se estudia en primer lugar el movimiento libre amortiguado de sistemas SDOF con amortiguamiento fraccionario. Se dan las condiciones del amortiguamiento crítico existente y se deriva la relación entre el coeficiente de amortiguamiento crítico y la derivada fraccionaria de orden. También se encuentra que cuando el orden aumenta de 0 a 2, el coeficiente de amortiguamiento crítico se está volviendo pequeño, pero es más rápido para volver a la posición de equilibrio.
(2) Basado en el pensamiento matemático, se propone una nueva estrategia de control de amortiguamiento de coche completo, que es diferente del pensamiento lógico de la mayoría de los estudiosos. El algoritmo principal también puede lograr un buen rendimiento; aquí, no es el propósito de negar su eficacia, sino dar una nueva perspectiva para que los estudiosos vuelvan a examinar la lógica matemática intrínseca del principio clásico de amortiguación de gancho de cielo. El coeficiente de amortiguación crítica de orden fraccionario se selecciona como el coeficiente de amortiguación del gancho de cielo para aclarar la superioridad de la amortiguación crítica de orden fraccionario propuesta en la aplicación práctica.
(3) Los resultados de la simulación muestran que en comparación con la suspensión pasiva, la suspensión activa controlada por el gancho de cielo tiene un mejor rendimiento en la supresión de vibraciones. Además, la suspensión controlada por skyhook fraccional tiene mejores respuestas de la vibración de la carrocería, especialmente cuando el vehículo pasa el bache de la carretera. Los resultados no sólo confirman la superioridad de la amortiguación crítica fraccionada, sino que también validan la eficacia de esta estrategia de control.
Abreviaturas
Parámetros del vehículo
| : | Masa suspendida, 810 kg |
| : | Momento de inercia del cabeceo del vehículo, 300 kg-m2 |
| : | Momento de inercia del balanceo del vehículo, 1058 kg-m2 |
| : | Distancia del eje a 1.14 m | : | Centro de gravedad, 1.22 m | : | Rigidez de la suspensión delantera, 20600 N/m | : | Rigidez de la suspensión trasera, 15200 N/m | : | Amortiguación de la suspensión delantera, 1570 N/m | Amortiguación de la suspensión trasera, 1760 N/m | : | Rigidez de los neumáticos, 138000 N/m | : | Masa de los neumáticos delanteros, 26.5 kg |
| : | Masa del neumático trasero, 24.4 kg |
| : | Distancia entre dos neumáticos, 1,3 m |
| Velocidad del vehículo, 50 km/h. |
Conflictos de intereses
Los autores declaran que no existen conflictos de intereses en relación con la publicación de este trabajo.
Agradecimientos
Este trabajo fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (Subvención nº 11272159) y (Subvención nº 51605228).