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Nel mondo reale, le oscillazioni raramente seguono il vero SHM. L’attrito di qualche tipo di solito agisce per smorzare il moto in modo che muoia, o ha bisogno di più forza per continuare. In questa sezione, esaminiamo alcuni esempi di moto armonico smorzato e vediamo come modificare le equazioni del moto per descrivere questo caso più generale.

Una corda di chitarra smette di oscillare pochi secondi dopo essere stata pizzicata. Per continuare a dondolare su un’altalena da parco giochi, bisogna continuare a spingere ((Figura)). Anche se spesso possiamo rendere l’attrito e altre forze non conservative piccole o trascurabili, il moto completamente smorzato è raro. Infatti, potremmo anche voler smorzare le oscillazioni, come nel caso degli ammortizzatori delle automobili.

Figura 15.24 Per contrastare le forze di smorzamento, è necessario continuare a pompare un’altalena. (credit: Bob Mical)

(Figura) mostra una massa m attaccata ad una molla con una costante di forza k. La massa viene sollevata ad una posizione {A}_{0} , l’ampiezza iniziale, e poi rilasciata. La massa oscilla intorno alla posizione di equilibrio in un fluido con viscosità, ma l’ampiezza diminuisce per ogni oscillazione. Per un sistema che ha una piccola quantità di smorzamento, il periodo e la frequenza sono costanti e sono quasi gli stessi di SHM, ma l’ampiezza diminuisce gradualmente come mostrato. Questo accade perché la forza di smorzamento non conservativa rimuove energia dal sistema, di solito sotto forma di energia termica.

Figura 15.25 Per una massa su una molla che oscilla in un fluido viscoso, il periodo rimane costante, ma le ampiezze delle oscillazioni diminuiscono a causa dello smorzamento causato dal fluido.

Considera le forze che agiscono sulla massa. Si noti che l’unico contributo del peso è quello di cambiare la posizione di equilibrio, come discusso in precedenza nel capitolo. Pertanto, la forza netta è uguale alla forza della molla e alla forza di smorzamento ({F}_{D}). Se la grandezza della velocità è piccola, cioè la massa oscilla lentamente, la forza di smorzamento è proporzionale alla velocità e agisce contro la direzione del moto ({F}_{D} = bv). La forza netta sulla massa è quindi

Scrivendo questo come un’equazione differenziale in x, otteniamo

Per determinare la soluzione di questa equazione, considera il grafico della posizione in funzione del tempo mostrato in (Figura). La curva assomiglia ad una curva di coseno che oscilla nell’inviluppo di una funzione esponenziale {A}_{0}{e}^{testo{-} t} dove \alpha =\frac{b}{2m} . La soluzione è

Si lascia come esercizio dimostrare che questa è, in effetti, la soluzione. Per dimostrare che è la soluzione giusta, si prendono le derivate prima e seconda rispetto al tempo e si sostituiscono in (Figura). Si scopre che la (Figura) è la soluzione se

Ricordiamo che la frequenza angolare di una massa sottoposta a SHM è uguale alla radice quadrata della costante di forza divisa per la massa. Questo è spesso indicato come la frequenza angolare naturale, che è rappresentata come

La frequenza angolare per il moto armonico smorzato diventa

Figura 15.26 Posizione rispetto al tempo per la massa che oscilla su una molla in un fluido viscoso. Notate che la curva sembra essere una funzione coseno all’interno di un inviluppo esponenziale.

Ricordate che quando abbiamo iniziato questa descrizione del moto armonico smorzato, abbiamo affermato che lo smorzamento deve essere piccolo. Vengono in mente due domande. Perché lo smorzamento deve essere piccolo? E quanto piccolo è piccolo? Se si aumenta gradualmente la quantità di smorzamento in un sistema, il periodo e la frequenza cominciano ad essere influenzati, perché lo smorzamento si oppone e quindi rallenta il movimento avanti e indietro. (La forza netta è più piccola in entrambe le direzioni). Se lo smorzamento è molto grande, il sistema non oscilla nemmeno – si muove lentamente verso l’equilibrio. La frequenza angolare è uguale a

\omega =sqrt{frac{k}{m}-{(\frac{b}{2m})}^{2}}. Come b aumenta, \frac{k}{m}-{(\frac{b}{2m})}^{2} diventa più piccolo e alla fine raggiunge lo zero quando b=sqrt{4mk} . Se b diventa più grande, \frac{k}{m}-{(\frac{b}{2m})}^{2} diventa un numero negativo e \sqrt{frac{k}{m}-{(\frac{b}{2m})}^{2}} è un numero complesso.

(Figura) mostra lo spostamento di un oscillatore armonico per diverse quantità di smorzamento. Quando la costante di smorzamento è piccola, b<sqrt{4mk} il sistema oscilla mentre l’ampiezza del moto decade esponenzialmente. Questo sistema è detto sottosmorzato, come nella curva (a). Molti sistemi sono sottosmorzati, e oscillano mentre l’ampiezza diminuisce esponenzialmente, come la massa che oscilla su una molla. Lo smorzamento può essere molto piccolo, ma alla fine la massa si ferma. Se la costante di smorzamento è b=sqrt{4mk} si dice che il sistema è smorzato in modo critico, come nella curva (b). Un esempio di un sistema criticamente smorzato sono gli ammortizzatori di un’automobile. È vantaggioso che le oscillazioni decadano il più velocemente possibile. Qui, il sistema non oscilla, ma si avvicina asintoticamente alla condizione di equilibrio il più velocemente possibile. La curva (c) in (Figura) rappresenta un sistema sovrasmorzato dove b>sqrt{4mk}. Un sistema sovrasmorzato si avvicinerà all’equilibrio in un periodo di tempo più lungo.

Figura 15.27 La posizione contro il tempo per tre sistemi costituiti da una massa e una molla in un fluido viscoso. (a) Se lo smorzamento è piccolo (b<) , la massa oscilla, perdendo lentamente ampiezza man mano che l’energia viene dissipata dalla forza non conservativa. Il caso limite è (b) dove lo smorzamento è (b=sqrt{4mk}). (c) Se lo smorzamento è molto grande (b>\sqrt{4mk}), la massa non oscilla quando viene spostata, ma tenta di tornare alla posizione di equilibrio.

Lo smorzamento critico è spesso desiderato, perché un tale sistema ritorna all’equilibrio rapidamente e rimane anche all’equilibrio. Inoltre, una forza costante applicata a un sistema criticamente smorzato muove il sistema verso una nuova posizione di equilibrio nel più breve tempo possibile, senza overshooting o oscillazioni intorno alla nuova posizione.

Verifica la tua comprensione

Perché gli oscillatori armonici completamente smorzati sono così rari?

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L’attrito entra spesso in gioco quando un oggetto è in movimento. L’attrito causa lo smorzamento in un oscillatore armonico.

Sommario

• Gli oscillatori armonici smorzati hanno forze non conservative che dissipano la loro energia.
• Lo smorzamento critico riporta il sistema all’equilibrio il più velocemente possibile senza andare in eccesso.
• Un sistema sottosmorzato oscillerà attraverso la posizione di equilibrio.
• Un sistema sovrasmorzato si muove più lentamente verso l’equilibrio di uno smorzato in modo critico.

Domande concettuali

Fai un esempio di un oscillatore armonico smorzato. (Sono più comuni degli oscillatori armonici non smorzati o semplici.)

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Un ammortizzatore per auto.

Come rimbalzerebbe un’auto dopo un urto in ciascuna di queste condizioni?

(a) sovrasmorzamento

(b) sottosmorzamento

(c) smorzamento critico

La maggior parte degli oscillatori armonici è smorzata e, se non guidata, alla fine si ferma. Perché?

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La seconda legge della termodinamica afferma che le macchine a moto perpetuo sono impossibili. Alla fine il moto ordinato del sistema diminuisce e ritorna all’equilibrio.

Problemi

L’ampiezza di un oscillatore leggermente smorzato diminuisce del 3,0% durante ogni ciclo. Quale percentuale dell’energia meccanica dell’oscillatore viene persa in ogni ciclo?

Mostra la soluzione

9%

Glossario

condizione criticamente smorzata in cui lo smorzamento di un oscillatore lo fa tornare il più velocemente possibile alla la sua posizione di equilibrio senza oscillare avanti e indietro intorno a questa posizione frequenza angolare naturale frequenza angolare di un sistema che oscilla in SHM condizione sovrasmorzata in cui lo smorzamento di un oscillatore lo fa tornare all’equilibrio senza oscillare; l’oscillatore si muove più lentamente verso l’equilibrio rispetto al sistema criticamente smorzato condizione sottosmorzata in cui lo smorzamento di un oscillatore fa sì che l’ampiezza delle oscillazioni di un oscillatore armonico smorzato diminuisca nel tempo, avvicinandosi infine a zero