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Il rapporto tra la lunghezza effettiva di una colonna e il raggio minimo di rotazione della sua sezione trasversale è chiamato rapporto di snellezza (talvolta espresso con la lettera greca lambda, λ). Questo rapporto offre un mezzo per classificare le colonne e il loro modo di rottura. Il rapporto di snellezza è importante per le considerazioni di progettazione. Tutti i seguenti sono valori approssimativi usati per comodità.

Se il carico su una colonna è applicato attraverso il centro di gravità (centroide) della sua sezione trasversale, è chiamato carico assiale. Un carico in qualsiasi altro punto della sezione trasversale è noto come carico eccentrico. Una colonna corta sotto l’azione di un carico assiale cederà per compressione diretta prima di deformarsi, ma una colonna lunga caricata nello stesso modo cederà molleggiando improvvisamente verso l’esterno (instabilità) in modo flettente. La modalità di deformazione per instabilità è considerata una modalità di cedimento, e generalmente si verifica prima che le sollecitazioni di compressione assiale (compressione diretta) possano causare il cedimento del materiale per snervamento o frattura di quel membro di compressione. In particolare:

• Una colonna d’acciaio corta è una colonna il cui rapporto di snellezza non supera 50; una colonna d’acciaio di lunghezza intermedia ha un rapporto di snellezza che va da circa 50 a 200, e il suo comportamento è dominato dal limite di resistenza del materiale, mentre una colonna d’acciaio lunga può avere un rapporto di snellezza maggiore di 200 e il suo comportamento è dominato dal modulo di elasticità del materiale.
• Una colonna corta in calcestruzzo è quella che ha un rapporto tra la lunghezza non supportata e la dimensione minima della sezione trasversale uguale o inferiore a 10. Se il rapporto è maggiore di 10, è considerata una colonna lunga (a volte indicata come una colonna snella).
• Le colonne di legno possono essere classificate come colonne corte se il rapporto tra la lunghezza e la dimensione minima della sezione trasversale è uguale o inferiore a 10. La linea di demarcazione tra colonne di legno intermedie e lunghe non può essere facilmente valutata. Un modo per definire il limite inferiore delle colonne di legno lunghe sarebbe quello di fissarlo come il più piccolo valore del rapporto tra la lunghezza e l’area minima della sezione trasversale che supera appena una certa costante K del materiale. Poiché K dipende dal modulo di elasticità e dalla tensione di compressione ammissibile parallela alla fibratura, si può vedere che questo limite arbitrario varierebbe con la specie del legno. Il valore di K è dato nella maggior parte dei manuali strutturali.

La teoria del comportamento delle colonne fu studiata nel 1757 dal matematico Leonhard Euler. Egli ha derivato la formula, la formula di Euler, che dà il massimo carico assiale che una colonna lunga, snella e ideale può portare senza deformarsi. Una colonna ideale è una colonna perfettamente dritta, fatta di un materiale omogeneo e libera da tensioni iniziali. Quando il carico applicato raggiunge il carico di Eulero, talvolta chiamato carico critico, la colonna si trova in uno stato di equilibrio instabile. A quel carico, l’introduzione della più piccola forza laterale causerà il cedimento della colonna “saltando” improvvisamente verso una nuova configurazione, e si dice che la colonna si è piegata. Questo è ciò che accade quando una persona sta in piedi su una lattina di alluminio vuota e poi colpisce brevemente i lati, causandone l’istantaneo schiacciamento (i lati verticali della lattina possono essere intesi come una serie infinita di colonne estremamente sottili). La formula derivata da Eulero per le colonne lunghe e sottili è data qui sotto.

F = π 2 E I ( K L ) 2 {displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}

Per avere la dimostrazione matematica leggere: Carico critico di Eulero

dove

F {displaystyle F} , forza massima o critica (carico verticale sulla colonna), E {displaystyle E} , modulo di elasticità, I {displaystyle I} , momento d’inerzia dell’area più piccola (secondo momento dell’area) della sezione trasversale della colonna, L {displaystyle L} , lunghezza non supportata della colonna, K {displaystyle K} , fattore di lunghezza effettiva della colonna, il cui valore dipende dalle condizioni di supporto delle estremità della colonna, come segue. Per entrambe le estremità appuntate (incernierate, libere di ruotare), K = 1.0 {displaystyle K=1.0} . Per entrambe le estremità fisse, K = 0,50 {displaystyle K=0,50} . Per un’estremità fissa e l’altra estremità bloccata, K = 2 / 2 ≈ 0.7071 {displaystyle K={sqrt {2}/2\approx 0.7071} . Per un’estremità fissa e l’altra estremità libera di muoversi lateralmente, K = 2.0 {displaystyle K=2.0} . K L è la lunghezza effettiva della colonna.

L’esame di questa formula rivela i seguenti fatti per quanto riguarda la capacità portante delle colonne snelle.

• L’elasticità del materiale della colonna e non la resistenza alla compressione del materiale della colonna determina il carico di rottura della colonna.
• Il carico di rottura è direttamente proporzionale al secondo momento dell’area della sezione trasversale.
• Le condizioni limite hanno un effetto considerevole sul carico critico delle colonne snelle. Le condizioni al contorno determinano il modo di flessione della colonna e la distanza tra i punti di flessione sulla curva di spostamento della colonna deflessa. I punti di inflessione nella forma di deflessione della colonna sono i punti in cui la curvatura della colonna cambia segno e sono anche i punti in cui i momenti flettenti interni della colonna sono zero. Più vicini sono i punti di flessione, maggiore è la capacità di carico assiale risultante (carico di buckling) della colonna.

Una conclusione di quanto sopra è che il carico di instabilità di una colonna può essere aumentato cambiando il suo materiale con uno con un più alto modulo di elasticità (E), o cambiando il disegno della sezione trasversale della colonna in modo da aumentare il suo momento di inerzia. Quest’ultimo può essere fatto senza aumentare il peso della colonna distribuendo il materiale il più lontano possibile dall’asse principale della sezione trasversale della colonna. Per la maggior parte degli scopi, l’uso più efficace del materiale di una colonna è quello di una sezione tubolare.

Un’altra intuizione che può essere ricavata da questa equazione è l’effetto della lunghezza sul carico critico. Raddoppiando la lunghezza non supportata della colonna, il carico ammissibile si riduce. Anche il vincolo offerto dai collegamenti di estremità di una colonna influenza il suo carico critico. Se le connessioni sono perfettamente rigide (non permettono la rotazione delle estremità), il carico critico sarà quattro volte quello di una colonna simile dove le estremità sono bloccate (permettendo la rotazione delle estremità).

Siccome il raggio di rotazione è definito come la radice quadrata del rapporto tra il momento d’inerzia della colonna intorno ad un asse e la sua sezione trasversale, la formula di Eulero sopra può essere riformattata sostituendo il raggio di rotazione A r 2 {displaystyle Ar^{2}} per I {displaystyle I} :

σ = F A = π 2 E ( l / r ) 2 {displaystyle \sigma ={frac {F}{A}}={frac {\pi ^{2}E}{(l/r)^{2}}}}

Siccome le colonne strutturali sono comunemente di lunghezza intermedia, la formula di Eulero ha poca applicazione pratica per la progettazione ordinaria. I problemi che causano la deviazione dal comportamento puro della colonna di Eulero includono imperfezioni nella geometria della colonna in combinazione con la plasticità/comportamento non lineare di sforzo-deformazione del materiale della colonna. Di conseguenza, sono state sviluppate un certo numero di formule empiriche per le colonne che concordano con i dati di prova, che incorporano tutte il rapporto di snellezza. A causa dell’incertezza nel comportamento delle colonne, per la progettazione, vengono introdotti fattori di sicurezza appropriati in queste formule. Una di queste formule è la formula di Perry Robertson che stima il carico critico di instabilità sulla base di una piccola curvatura iniziale, quindi un’eccentricità del carico assiale. La formula Rankine Gordon (dal nome di William John Macquorn Rankine e Perry Hugesworth Gordon (1899 – 1966)) è anche basata su risultati sperimentali e suggerisce che una colonna si deformerà a un carico Fmax dato da:

1 F max = 1 F e + 1 F c {\displaystyle {\frac {1}{F_{\max}}={frac {1}{F_e}}+{frac {1}{F_{c}}}}

Self-bucklingEdit

Per avere la dimostrazione matematica leggi: Self-buckling

h crit = ( 9 B 2 4 E I ρ g A ) 1 3 {\displaystyle h_{{{text{crit}}=\sinistra({\frac {9B^{2}}{4}},{\frac {EI}{rho gA}} a destra)^{\frac {1}{3}}}

dove g {displaystyle g} è l’accelerazione dovuta alla gravità, I {displaystyle I} è il secondo momento dell’area della sezione trasversale della trave, e B {displaystyle B} è il primo zero della funzione di Bessel del primo tipo di ordine -1/3, che è uguale a 1.86635086…

Plate bucklingEdit

Una piastra è una struttura tridimensionale definita come avente una larghezza di dimensioni comparabili alla sua lunghezza, con uno spessore che è molto piccolo rispetto alle sue altre due dimensioni. Come le colonne, le piastre sottili subiscono deformazioni di instabilità fuori piano quando sono sottoposte a carichi critici; tuttavia, a differenza dell’instabilità delle colonne, le piastre sottoposte a carichi di instabilità possono continuare a portare carichi, chiamata instabilità locale. Questo fenomeno è incredibilmente utile in numerosi sistemi, in quanto permette di progettare i sistemi per fornire maggiori capacità di carico.

Per una piastra rettangolare, sostenuta lungo ogni bordo, caricata con una forza di compressione uniforme per unità di lunghezza, l’equazione di governo derivata può essere dichiarata da:

∂ 4 w ∂ x 4 + 2 ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 = 12 ( 1 – ν 2 ) E t 3 ( – N x ∂ 2 w ∂ x 2 ) {\displaystyle {\frac ^{4}w}{parziale x^{4}}+2{frac {{parziale ^{4}w}{parziale x^{2}}{parziale y^{2}}+{frac {parziale ^{4}w}{parziale y^{4}}={\frac {12\left(1-\nu ^{2}destra)}{Et^{3}}}}{Sinistra(-N_{x}{frac {{parziale ^{2}w}{parziale x^{2}}destra)}

dove

w {displaystyle w} , deflessione fuori piano N x {displaystyle N_{x} , il carico di compressione uniformemente distribuito ν {displaystyle \nu } , rapporto di Poisson E {displaystyle E} , modulo di elasticità t {\displaystyle t} , spessore

La soluzione della deflessione può essere espansa in due funzioni armoniche indicate:

w = ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ w m n sin ( m π x a ) sin ( n π y b ) {\displaystyle w=\sum _{m=1}^{infty }sum _{n=1}^{infty }w_{mn}sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \sin \m\pi x}a}destra)}

dove

m {displaystyle m} , numero di semi-curvature del seno che si verificano nel senso della lunghezza n {displaystyle n} a {displaystyle a} , lunghezza del provino b {displaystyle b} , larghezza del provino

L’equazione precedente può essere sostituita all’equazione differenziale precedente dove n {displaystyle n} è uguale a 1. N x {displaystyle N_{x}} può essere separato fornendo l’equazione per il carico critico di compressione di una piastra:

N x , c r = k c r π 2 E t 3 12 ( 1 – ν 2 ) b 2 {displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}{frac {\pi ^{2}Et^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}right)b^{2}}}}

dove

k c r {displaystyle k_{cr}} coefficiente di instabilità, dato da: k c r = ( m b a + a m b ) 2 {displaystyle k_{cr}=\sinistra({\frac {mb}{a}+{frac {a}{mb}}}destra)^{2}}

Il coefficiente di instabilità è influenzato dall’aspetto del provino, a / b e dal numero di curvature longitudinali. Per un numero crescente di tali curvature, il rapporto di aspetto produce un coefficiente di instabilità variabile; ma ogni relazione fornisce un valore minimo per ogni m {displaystyle m} . Questo valore minimo può quindi essere usato come una costante, indipendente sia dal rapporto d’aspetto che da m {displaystyle m} .

Dato che la sollecitazione è trovata dal carico per unità di area, si trova la seguente espressione per la sollecitazione critica:

σ c r = k c r π 2 E 12 ( 1 – ν 2 ) ( b t ) 2 {displaystyle \sigma _{cr}=k_{cr}{frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b}{t}\right)^{2}}}}

Dalle equazioni derivate, si può vedere la stretta somiglianza tra la sollecitazione critica per una colonna e per una piastra. Come la larghezza b si restringe, la piastra si comporta più come una colonna in quanto aumenta la resistenza all’instabilità lungo la larghezza della piastra. L’aumento di a permette di aumentare il numero di onde sinusoidali prodotte dalla deformazione lungo la lunghezza, ma aumenta anche la resistenza alla deformazione lungo la larghezza. Questo crea la preferenza della piastra a deformarsi in modo tale da eguagliare il numero di curvature sia lungo la larghezza che la lunghezza. A causa delle condizioni limite, quando una piastra viene caricata con una sollecitazione critica e si deforma, i bordi perpendicolari al carico non possono deformarsi fuori piano e quindi continueranno a portare le sollecitazioni. Questo crea un carico di compressione non uniforme lungo le estremità, dove le sollecitazioni sono imposte su metà della larghezza effettiva su entrambi i lati del provino, dato dal seguente:

b eff b ≈ σ c r σ y ( 1 – 1.022 σ c r σ y ) {displaystyle {frac {b_{testo{eff}}{b}}approx {sqrt {{frac {sigma _{cr}{sigma _{y}} a sinistra(1-1.022{sqrt {frac {sigma _{cr}{sigma _{y}}}}} a destra)}}

dove

b eff {displaystyle b_{{text{eff}} , la larghezza effettiva σ y {displaystyle \sigma _{y}}

Come la sollecitazione caricata aumenta, la larghezza effettiva continua a ridursi; se le sollecitazioni alle estremità raggiungono mai la tensione di snervamento, la piastra cederà. Questo è ciò che permette alla struttura deformata di continuare a sostenere i carichi. Quando il carico assiale oltre il carico critico viene tracciato contro lo spostamento, viene mostrato il percorso fondamentale. Dimostra la somiglianza della piastra con una colonna sotto instabilità; tuttavia, oltre il carico di instabilità, il percorso fondamentale si biforca in un percorso secondario che curva verso l’alto, fornendo la capacità di essere sottoposto a carichi più elevati oltre il carico critico.

Instabilità flesso-torsionaleModifica

L’instabilità flesso-torsionale può essere descritta come una combinazione di risposta di flessione e torsione di un membro in compressione. Tale modalità di deformazione deve essere considerata ai fini della progettazione. Questo si verifica principalmente nelle colonne con sezioni trasversali “aperte” e quindi hanno una bassa rigidità torsionale, come i canali, i tee strutturali, le forme a doppio angolo e gli angoli singoli a gambe uguali. Le sezioni trasversali circolari non sperimentano tale modalità di instabilità.

Inarcamento laterale-torsionaleModifica

Quando una trave semplicemente appoggiata è caricata in flessione, il lato superiore è in compressione, e il lato inferiore è in tensione. Se la trave non è supportata nella direzione laterale (cioè, perpendicolare al piano di flessione), e il carico flessionale aumenta fino ad un limite critico, la trave subirà una deflessione laterale della flangia di compressione mentre si deforma localmente. La deflessione laterale della flangia di compressione è trattenuta dall’anima della trave e dalla flangia di tensione, ma per una sezione aperta la modalità di torsione è più flessibile, quindi la trave si torce e si deflette lateralmente in una modalità di rottura nota come instabilità laterale-torsionale. Nelle sezioni a flange larghe (con un’alta rigidità flessionale laterale), la modalità di deflessione sarà principalmente torsione in torsione. Nelle sezioni a flange strette, la rigidità flessionale è più bassa e la deflessione della colonna sarà più vicina a quella della modalità di deflessione in instabilità laterale.

L’uso di sezioni chiuse come la sezione cava quadrata mitigherà gli effetti dell’instabilità laterale-torsionale in virtù della loro alta rigidità torsionale.

Cb è un fattore di modifica usato nell’equazione per la resistenza flessionale nominale quando si determina l’instabilità laterale-torsionale. La ragione di questo fattore è di permettere diagrammi di momento non uniformi quando le estremità di un segmento di trave sono controventate. Il valore conservativo per Cb può essere preso come 1, indipendentemente dalla configurazione della trave o dal carico, ma in alcuni casi può essere eccessivamente conservativo. Cb è sempre uguale o maggiore di 1, mai inferiore. Per gli sbalzi o le sporgenze in cui l’estremità libera non è controventata, Cb è uguale a 1. Esistono tabelle di valori di Cb per travi semplicemente appoggiate.

Se un valore appropriato di Cb non è dato nelle tabelle, può essere ottenuto tramite la seguente formula:

C b = 12.5 M max 2.5 M max + 3 M A + 4 M B + 3 M C {displaystyle C_{b}={frac {12.5M_{{{max}}{2.5M_{max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}}

dove

M max {displaystyle M_{\\max} , valore assoluto del momento massimo nel segmento non controventato, M A {displaystyle M_{A} , valore assoluto del momento massimo al quarto del segmento non controventato, M B {displaystyle M_{B}} , valore assoluto del momento massimo all’asse del segmento non controventato, M C {\displaystyle M_{C}}

Il risultato è lo stesso per tutti i sistemi di unità.

L’instabilità plastica

La resistenza all’instabilità di un membro è inferiore alla resistenza all’instabilità elastica di una struttura se il materiale del membro è sollecitato oltre l’intervallo elastico del materiale e nell’intervallo di comportamento non lineare (plastico) del materiale. Quando il carico di compressione è vicino al carico di instabilità, la struttura si piegherà significativamente e il materiale della colonna divergerà da un comportamento lineare sforzo-deformazione. Il comportamento sforzo-deformazione dei materiali non è strettamente lineare anche al di sotto del punto di snervamento, quindi il modulo di elasticità diminuisce all’aumentare della sollecitazione, e in modo significativo quando le sollecitazioni si avvicinano al punto di snervamento del materiale. Questa ridotta rigidità del materiale riduce la resistenza all’instabilità della struttura e risulta in un carico di instabilità inferiore a quello previsto dall’assunzione di un comportamento elastico lineare.

Un’approssimazione più accurata del carico di instabilità si può avere con l’uso del modulo di elasticità tangente, Et, che è inferiore al modulo elastico, al posto del modulo elastico di elasticità. La tangente è uguale al modulo elastico e poi diminuisce oltre il limite proporzionale. Il modulo tangente è una linea tracciata tangente alla curva sforzo-deformazione ad un particolare valore di deformazione (nel tratto elastico della curva sforzo-deformazione, il modulo tangente è uguale al modulo elastico). I diagrammi del modulo di elasticità tangente per una varietà di materiali sono disponibili nei riferimenti standard.

CripplingEdit

Le sezioni che sono costituite da piastre flangiate, come un canale, possono ancora sostenere il carico negli angoli dopo che le flange si sono localmente deformate. La deformazione è il fallimento della sezione completa.

Tensione diagonaleModifica

A causa delle pelli sottili tipicamente usate nelle applicazioni aerospaziali, le pelli possono deformarsi a bassi livelli di carico. Tuttavia, una volta deformate, invece di essere in grado di trasmettere forze di taglio, sono ancora in grado di trasportare il carico attraverso tensioni diagonali (DT) nel web. Questo risulta in un comportamento non lineare nel comportamento di trasporto del carico di questi dettagli. Il rapporto tra il carico effettivo e il carico al quale si verifica l’instabilità è noto come rapporto di instabilità di una lamiera. Alti rapporti di instabilità possono portare a un eccessivo raggrinzimento delle lastre che possono poi cedere a causa dello snervamento delle grinze. Anche se si possono deformare, le lamiere sottili sono progettate per non deformarsi in modo permanente e tornare a uno stato non deformato quando il carico applicato viene rimosso. L’instabilità ripetuta può portare a rotture per fatica.

Le lamiere sotto tensione diagonale sono supportate da irrigidimenti che, come risultato dell’instabilità delle lamiere, portano un carico distribuito lungo la loro lunghezza, e possono a loro volta portare al cedimento di questi membri strutturali sotto instabilità.

Le lastre più spesse possono formare solo parzialmente un campo di tensione diagonale e possono continuare a portare parte del carico attraverso il taglio. Questo è noto come tensione diagonale incompleta (IDT). Questo comportamento è stato studiato da Wagner e queste travi sono a volte conosciute come travi di Wagner.

La tensione diagonale può anche risultare in una forza di trazione su qualsiasi dispositivo di fissaggio come i rivetti che sono usati per fissare l’anima ai membri portanti. Gli elementi di fissaggio e le lamiere devono essere progettati per resistere all’estrazione dai loro supporti.

Inarcamento dinamico

Se una colonna viene caricata improvvisamente e poi il carico viene rilasciato, la colonna può sostenere un carico molto più alto del suo carico statico (applicato lentamente). Questo può accadere in una colonna lunga e non sostenuta usata come martello a caduta. La durata della compressione all’estremità d’impatto è il tempo necessario a un’onda di stress per viaggiare lungo la colonna fino all’altra estremità (libera) e tornare giù come onda di sollievo. L’instabilità massima si verifica vicino all’estremità d’impatto ad una lunghezza d’onda molto più corta della lunghezza dell’asta, e ad una sollecitazione molte volte la sollecitazione di instabilità di una colonna caricata staticamente. La condizione critica perché l’ampiezza di instabilità rimanga inferiore a circa 25 volte l’imperfezione effettiva della rettilineità dell’asta alla lunghezza d’onda di instabilità è

σ L = ρ c 2 h {displaystyle \sigma L=\rho c^{2}h}

dove σ è la sollecitazione d’urto, L è la lunghezza dell’asta, c è la velocità dell’onda elastica, e h è la dimensione laterale minore di un’asta rettangolare. Poiché la lunghezza d’onda dell’inarcamento dipende solo da σ e h. , questa stessa formula vale per gusci cilindrici sottili di spessore h {displaystyle h} .