Initial value problems for system of differential-algebraic equations in Maple｜BMC Research Notes

DAEの応用は、様々な動的過程、機械システム、不変量を前提とした電気回路や化学反応のシミュレーションなど、多くの分野で自然に生じるが、これらは代数方程式と微分演算からなるDAEで表現されることが多い。 DAEのシステムに対するIVPを解くために、多くの研究者や技術者によっていくつかの方法やアルゴリズムが紹介されてきた。それらの多くは、与えられた系の近似解を求めようとするものである。しかし、我々は与えられたDAEのシステムの正確な解を計算するための記号的なアルゴリズムを思い出す（アルゴリズムの更なる詳細については参照）。

Matlab、Mathematica、SCIlabなどの様々な数学ソフトウェアツールには、実装された方法がいくつかあります。

Matlab、Mathematica、SCIlabなどの様々な数学ソフトウェアで利用可能ないくつかの実装方法があります。そして，初期条件を代入することで，パラメータの値を見つけることができます．例えば，Mathematica に実装されている方法は，係数行列 A と B を非特異点部と非零点部に分解することに基づいています．そして、AとBの一般化された逆行列が計算され、問題はODEのシステムを解くことに還元されます。そのため、既存のODE用ソルバーを使用することができます。 Matlabでも、微分指数を減らすことで方程式をODE系に変換し、自由なパラメータで一般解を求めています。しかし，提案するアルゴリズムでは，自由パラメータなしで直接厳密解を計算します．実装されたMaple packegeは、与えられた系をshuffleアルゴリズムを用いて正準形に変換することで、別の単純な等価系を生成し、正準形の系を簡単に解くことができます。 Mapleの実装には、与えられたIVPの正準系と厳密解の計算が含まれています。実装されたMapleパッケージと、MatlabやMathematicaなどの他の数学ソフトウェアで実装された既存の手法との比較についても結果編で述べています。

Symbolic algorithm of IVPs for systems of lDAEs

この論文では、一般的な形を持つDAEのシステムに焦点を当てました

$begin{aligned} A{{texttt{D}}y(x)+By(x)=f(x)です。 \end{aligned}$

(1)

系(1)は、A = 0\とすれば、純粋な代数系であり、可能な解をすべて計算する方法やアルゴリズムが多く存在しますが、例えば、 . とすると、常微分方程式系となります。の場合、常微分方程式系となります（Aを正則行列と呼びます）が、1次の常微分方程式系の解法については、 .NET に掲載されています。そこで、係数行列Aが非ゼロの特異行列である(1)の形のシステムに注目しました。ここでは、簡単のために、\\=C^\infty\とします。これでDAEのIVPの演算子形式は次のように表されます

$\begin{aligned}&Ly = f,

$begin{aligned}&Ly = f, &Ly = 0,

ここで、”L = A{texttt{D}}+ B in ˶ˆ꒳ˆ˵”は行列微分演算子です。 \はベクトル強制関数、\texttt{E}\は評価演算子です。

以下のLemma 1は、提案するアルゴリズムの重要なステップの1つです。

Lemma 1

(Thota and Kumar ) ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ ˶‾᷅˵ 普通の整数微分代数を ˶‾᷅ ˶‾᷅˵とする。ここで、$T = {texttt{D}}^m + a_{m-1}{\texttt{D}}^{m-1} + ˶cdots + a_0 ˶in ୨୧)が次数mの単項スカラー微分作用素であり、\(v_1, ˶ldots , v_m$がTの基本系であるとする。このとき、Tの右逆演算子は次のように与えられます。 T^divideontimes = sum \limits _{i=1}^{m} v_i {\texttt{A}}w^{-1}w_i \ in ″F″, ″end{aligned}$

(2)

ここでwはWronskian行列Wの行列式で、\(v_1, \v_{m}\）のWronskian行列の行列式であり、Wからi番目の列をm番目の単位ベクトルで置き換えて得られる行列\（W_i\）の行列式です。

与えられたDAE系のグリーン関数と厳密解を求めるために、まず、与えられたDAE系を簡単に解くことができる別の等価で単純な系に変換するシャッフルアルゴリズムを用いて、与えられたDAE系の正準形を求めます。

Theorem 2

(Thota and Kumar ) (\\{F}, {texttt{D}}, {\tt{A}}\)を常設の整数微分代数とする。ここで、初期条件を用いた ⋆L = ⋆A}{\texttt{D}}+ ⋆B} ⋆in ⋆F}^{n ⋆times n}\ の正規形を ⋆L = A{texttt{D}}+B\ とします。また、\$v_1, \ldots , v_{n}$は、T = \det (\tilde{L})\)の基本システムです。このとき、DAEのシステムに対する正規のIVPは

$begin{aligned}&Ly = f, \&{texttt{E}}y = 0となります。 \end{aligned}$

にはユニークな解があります

$begin{aligned} y = ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵

$begin{pmatrix}. \SUM_{i=1}^{n} (-1)^{i+1) (-1)^{i+1} T^\\\\ \\ ♪Sum _{i=1}^{n} (-1)^{i+n} \♪♪♪♪♪♪～

(3)

ここで、$Mathcal {L}_i^j$は、$tilde{L}$のi番目の行とj番目の列を削除した後の行列式です。 \Tの右逆を表します。また、$T^\divideontimes$は、(\tilde{f} = (\tilde{f_1}, \ldots , \tilde{f_n})^t\)です。グリーンの演算子は

$\begin{aligned}です。 G = Ōbegin{pmatrix}. (-1)^{1+1} L}_1^1 T^\\\ &{}。 |

{}。 (-1)^{n+1} (-1)^{n+1} (L}_n^1 T^\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\⁾⁾。 \eldest son \♪♪♪♪♪～ L}_1^n T^\\ &{}。 &

p (-1)^{n+n}となります。 \♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪

Non-homogeneous initial conditions

一般に、提案されている方法では、非均質な初期条件を選択する自由はありません。そこで著者らは、与えられた非均質な初期条件の整合性をチェックするアルゴリズムを発表しました。

Proposition 3

(Thota and Kumar ) (\\{F}, {texttt{D}}, {texttt{A}}\)を通常の整数-微分代数とする。仮に、$T = A{texttt{D}}+ B\ in ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵)が、非同質な初期条件を持つ、\(T = A{texttt{D}}+ B$の正規形だとします。非同質の初期条件\\は、次の条件を満たす場合には整合的です。 UU_a^{-1}\\, end{aligned}$

(5)

ここで、Uは$T)の基本行列、\(U_a$は初期点aにおけるUの値です。

以下の例題では、定理2で示されたアルゴリズムを用いて厳密解を計算するとともに、命題3で示されたアルゴリズムを用いて非均質な初期条件の整合性を確認しています。

Example 4

以下の微分代数方程式を考えます。

$begin{aligned}y_1’+y_2’+y_1+y_2&=x “y_1-.y_2 &= %sin x %end{aligned}$

(6)

初期条件として、$y_1(0)=y_2(0)=0$を設定します。

(6)の行列微分演算子と正準形は

$\begin{aligned}T = ˶‾᷄덴덴{pmatrix}です。 1+{texttt{D}}~&{}~ 1+{texttt{D}}\ 1 &{} -1 end{pmatrix},~~~ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˵ 2+{texttt{D}}&} 2+{texttt{D}}\\\\\\\\\\\\ ~~\♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪～♪

定理2のアルゴリズムに従うと、正確な解が得られます

$begin{aligned} y = ˶ˆ꒳ˆ˵ ) \E^{-x}」となります。 + ˶ˆ꒳ˆ˵ ) \sin x + ˶ˆ꒳ˆ˵ x – ˶ˆ꒳ˆ˵ ˶ˆ꒳ˆ˵ – ♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ \sin x + ˶ˆ꒳ˆ˵ x – ˶ˆ꒳ˆ˵ \geisha.

(7)

簡単に確認できるのは、$Ty = f$と\({˶ˆ꒳ˆ˵ )です。

与えられた系(6)の非一様な初期条件\(y_1(0)=˶ˆ꒳ˆ˵)について考えます。命題3から、初期条件が一致するのは、\\0^{-1} ୨୧{Ker}(T)୨୧

$begin{aligned} U=begin{pmatrix} (U) 1 &{} e^{-x}.. \\ 0 &{} e^{-x}.. \U_0= &&&&&&1 ˶ˆ꒳ˆ˵ $

Now

$\\\ UU_0^{-1} ˶ˆ꒳ˆ˵ ) 1 &{} e^{-x} \\ 0 &{} e^{-x} \end{pmatrix} \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject reject ranks \♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ \$

and

$\begin{aligned}. T(UU_0^{-1} ˶ˆ꒳ˆ˵ ) = ˶ˆ꒳ˆ˵ ) 1+{texttt{D}}~&{}~ 1+{texttt{D}}\ 1 &{} -1 end{pmatrix} です。 E^{-x}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \となりますので、初期条件が一致します。となり、初期条件は、$y_1(0)=\alpha ,y_2(0)=\beta$となり、一致します。また、IVPの解は、Ty=0, {\texttt{E}}y = (˶‾᷅˵ )^T˶として計算されます。

$Begin{aligned} y_c = UU_0^{-1} ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵, \$

そして(7)より

$$begin{aligned}y_p=\begin{pmatrix}. \E^{-x}」となります。 + ˶ˆ꒳ˆ˵ ) \sin x + ˶ˆ꒳ˆ˵ x – ˶ˆ꒳ˆ˵ – ˶ˆ꒳ˆ˵ – ♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ \sin x + ˶ˆ꒳ˆ˵ x – ˶ˆ꒳ˆ˵ \eld{pmatrix}.

正則系の厳密解

$begin{aligned}}

正則系の正確な解

$\\ & {1 + {texttt{D}}} {1 + {texttt{D}}}。 \\ 1 & { – 1}. \\ ♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ } \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ E\\left( {\begin{array}{*{20}c} {y_{1} } \\\end{array} } ˶ˆ꒳ˆ˵ ) & = ˶ˆ꒳ˆ˵ ( {\begin{array}{*{20}c} ˶ˆ꒳ˆ˵ )\このような場合には、次のようになります。e.,

$\begin{aligned} y = ˶‾᷅˵‾᷅˵

$begin{aligned} y = Ōbegin{pmatrix} E^{-x} + ˶ˆ꒳ˆ˵ ) \♪sin x + ¶frac{1}{2} x – ¶frac{1}{2}+e^{-x}\\beta + ¶frac{1}{2}e^{-x}\beta ¶frac{1}{2}🙇🙇🙇🙇。 – ♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ \¶sin x + ¶frac{1}{2} x – ¶frac{1}{2}+e^{-x} ¶beta ¶end{pmatrix}.

Heading