La massa efficace della molla in un sistema molla-massa quando si usa una molla ideale di densità lineare uniforme è 1/3 della massa della molla ed è indipendente dalla direzione del sistema molla-massa (cioè dalla direzione della molla).quando si usa una molla ideale di densità lineare uniforme è 1/3 della massa della molla ed è indipendente dalla direzione del sistema molla-massa (es.e., i sistemi orizzontale, verticale e obliquo hanno tutti la stessa massa effettiva). Questo perché l’accelerazione esterna non influenza il periodo di moto intorno al punto di equilibrio.
La massa effettiva della molla può essere determinata trovando la sua energia cinetica. Questo richiede la somma dell’energia cinetica di tutti gli elementi di massa, e richiede il seguente integrale, dove u {displaystyle u}
è la velocità dell’elemento di massa: T = ∫ m 1 2 u 2 d m {displaystyle T=\int _{m}{tfrac {1}{2}u^{2},dm}
Siccome la molla è uniforme, d m = ( d y L ) m {displaystyle dm==\sinistra({\frac {dy}{L}}destra)m}
, dove L {displaystyle L}
è la lunghezza della molla. Quindi, T = ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {\displaystyle T=\int _{0}^{L}{tfrac {1}{2}u^{2}}left({\frac {dy}{L}}\right)m\!}
= 1 2 m L ∫ 0 L u 2 d y {\displaystyle ={tfrac {1}{2}}{frac {m}{L}}int _{0}^{L}u^{2},dy}
La velocità di ogni elemento di massa della molla è direttamente proporzionale alla lunghezza dalla posizione in cui è attaccato (se vicino al blocco allora più velocità e se vicino al soffitto allora meno velocità), cioè.e. u = v y L {displaystyle u={frac {vy}{L}}
, da cui segue: T = 1 2 m L ∫ 0 L ( v y L ) 2 d y {\displaystyle T={tfrac {1}{2}}{frac {m}{L}}int _{0}^{L} a sinistra({frac {vy}{L}} a destra)^{2},dy}
= 1 2 m L 3 v 2 ∫ 0 L y 2 d y {\displaystyle ={tfrac {1}{2}}{frac {m}{L^{3}}}v^{2}}int _{0}^{L}y^{2},dy}
= 1 2 m L 3 v 2 0 L {\displaystyle ={tfrac {1}{2}}{frac {m}{L^{3}}v^{2}} a sinistra_{0}^{L}}
= 1 2 m 3 v 2 {{displaystyle ={tfrac {1}{2}{frac {m}{3}}v^{2}
Confrontando la formula originale dell’energia cinetica attesa 1 2 m v 2 ,
dalla posizione non tesa della molla (ignorando i termini potenziali costanti e prendendo la direzione verso l’alto come positiva): T {displaystyle T}
(Energia totale del sistema) = 1 2 ( m 3 ) v 2 + 1 2 M v 2 + 1 2 k x 2 – 1 2 m g x – M g x {displaystyle ={tfrac {1}{2}}({\frac {m}{3}})\ v^{2}+{tfrac {1}{2}}Mv^{2}+{tfrac {1}{2}kx^{2}-{\tfrac {1}{2}mgx-Mgx}
nota che g {\displaystyle g}
qui è l’accelerazione di gravità lungo la molla. Differenziando l’equazione rispetto al tempo, l’equazione del moto è: ( – m 3 – M ) a = k x – 1 2 m g – M g {\displaystyle \left({frac {-m}{3}}-M\right)\ a=kx-{\tfrac {1}{2}mg-Mg}
Il punto di equilibrio x e q {displaystyle x_{\mathrm {eq} }}
si può trovare lasciando che l’accelerazione sia zero: x e q = 1 k ( 1 2 m g + M g ) {\displaystyle x_{mathrm {eq} }={frac {1}{k}} a sinistra({tfrac {1}{2}}mg+Mg a destra)}
Definendo x ¯ = x – x e q {displaystyle x_{bar {x}=x-x-x_{mathrm {eq} }}
, l’equazione del moto diventa: ( m 3 + M ) x ¯ = – k x ¯ {\displaystyle \left({\frac {m}{3}}+M\right){\bar {x}=-k{\bar {x}}
Questa è l’equazione per un semplice oscillatore armonico con periodo:
τ = 2 π ( M + m / 3 k ) 1 / 2 {displaystyle \tau =2\pi \left({\frac {M+m/3}{k}}}right)^{1/2}
