L’oggetto di un modello stimolo-risposta è stabilire una funzione matematica che descriva la relazione f tra lo stimolo x e il valore atteso (o altra misura di localizzazione) della risposta Y:
E ( Y ) = f ( x ) {\displaystyle E(Y)=f(x)}
Una semplificazione comunemente assunta per tali funzioni è lineare, quindi ci aspettiamo di vedere una relazione come
E ( Y ) = α + β x . {\displaystyle E(Y)=\alpha +\beta x.}
La teoria statistica dei modelli lineari è stata ben sviluppata per più di cinquant’anni, ed è stata sviluppata una forma standard di analisi chiamata regressione lineare.
Funzioni di risposta vincolataModifica
Siccome molti tipi di risposta hanno delle limitazioni fisiche intrinseche (ad esempio la contrazione muscolare massima minima), è spesso possibile utilizzare una funzione vincolata (come la funzione logistica) per modellare la risposta. Allo stesso modo, una funzione di risposta lineare può essere irrealistica in quanto implicherebbe risposte arbitrariamente grandi. Per le variabili dipendenti binarie, l’analisi statistica con metodi di regressione come il modello probit o il modello logit, o altri metodi come il metodo Spearman-Karber. I modelli empirici basati sulla regressione non lineare sono di solito preferiti all’uso di qualche trasformazione dei dati che linearizza la relazione stimolo-risposta.
Un esempio di modello logit per la probabilità di una risposta all’input reale (stimolo) x {\displaystyle x}
, ( x ∈ R {\displaystyle x in \mathbb {R} }
) è p ( x ) = 1 1 + e – ( β 0 + β 1 x ) {displaystyle p(x)={frac {1}{1+e^{-(\beta _{0}+\beta _{1}x)}}}}
dove β 0 , β 1 {\displaystyle \beta _{0},\beta _{1}}
sono i parametri della funzione.
Conversamente, un modello Probit sarebbe della forma
p ( x ) = Φ ( β 0 + β 1 x ) {\displaystyle p(x)=\Phi (\beta _{0}+\beta _{1}x)}
dove Φ ( x ) {displaystyle \Phi (x)}
è la funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione normale.
Equazione di HillEdit
In biochimica e farmacologia, l’equazione di Hill si riferisce a due equazioni strettamente correlate, una delle quali descrive la risposta (l’output fisiologico del sistema, come la contrazione muscolare) alla droga o alla tossina, in funzione della concentrazione della droga. L’equazione di Hill è importante nella costruzione delle curve dose-risposta. L’equazione di Hill è la seguente formula, dove E {displaystyle E}
è l’ampiezza della risposta, {displaystyle {\ce {}}
è la concentrazione del farmaco (o equivalentemente, l’intensità dello stimolo), E C 50 {\displaystyle \mathrm {EC} _{50}}
è la concentrazione del farmaco che produce una risposta semimassimale e n {displaystyle n}
è il coefficiente di Hill. E E m a x = 1 1 + ( E C 50 ) n {\displaystyle {\frac {E}{E_{mathrm {max} {\frac {1}{1+sinistra({\frac {mathrm {EC} _{50}} a destra)^{n}}}}
