Variazioni del modello tobit possono essere prodotte cambiando dove e quando avviene la censura. Amemiya (1985, p. 384) classifica queste variazioni in cinque categorie (tobit tipo I – tobit tipo V), dove tobit tipo I sta per il primo modello descritto sopra. Schnedler (2005) fornisce una formula generale per ottenere stimatori di likelihood coerenti per queste e altre varianti del modello tobit.
Tipo IEdit
Il modello tobit è un caso speciale di modello di regressione censurato, perché la variabile latente y i ∗ {displaystyle y_{i}^{*}}
non può essere sempre osservata mentre la variabile indipendente x i {displaystyle x_{i}}
è osservabile. Una variante comune del modello tobit è la censura ad un valore y L {\displaystyle y_{L}}
diverso da zero: y i = { y i ∗ se y i ∗ > y L , y L se y i ∗ ≤ y L . {\displaystyle y_{i}={begin{cases}y_{i}^{*}&{{text{if}y_{i}^{*}>y_{L},\\y_{L}&{text{if}y_{i}^{*}leq y_{L}.\end{casi}}}
Un altro esempio è la censura dei valori superiori a y U {displaystyle y_{U}}
. y i = { y i ∗ se y i ∗ < y U , y U se y i ∗ ≥ y U . {\displaystyle y_{i}={begin{cases}y_{i}^{*}&{{{text{if}y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{U}&{{text{if}y_{i}^{*}geq y_{U}.\end{casi}}}
Un altro modello risulta quando y i {displaystyle y_{i}}
è censurato dall’alto e dal basso allo stesso tempo. y i = { y i ∗ se y L < y i ∗ < y U , y L se y i ∗ ≤ y L , y U se y i ∗ ≥ y U . {\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{if }}y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U},\y_{L}&{{{testo se}y_{i}^{*}leq y_{L},\y_{U}&{{testo se}y_{i}^{*}geq y_{U}.\end{casi}}}
Il resto dei modelli sarà presentato come vincolato dal basso a 0, anche se questo può essere generalizzato come fatto per il Tipo I.
Tipo IIEdit
I modelli tobit di tipo II introducono una seconda variabile latente.
y 2 i = { y 2 i ∗ se y 1 i ∗ > 0 , 0 se y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{2i}={begin{cases}y_{2i}^{*}&{{{testo{se}y_{1i}^{*}>0,\\\\code(01)}&{{testo{ se}y_{1i}^{*}leq 0.\end{case}}}
Nel tobit di tipo I, la variabile latente assorbe sia il processo di partecipazione che l’esito di interesse. Il tobit di tipo II permette che il processo di partecipazione (selezione) e l’esito di interesse siano indipendenti, condizionati da dati osservabili.
Il modello di selezione di Heckman rientra nel tobit di tipo II, che a volte è chiamato Heckit da James Heckman.
Tipo IIIEdit
Il tipo III introduce una seconda variabile dipendente osservata.
y 1 i = { y 1 i ∗ se y 1 i ∗ > 0 , 0 se y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{1i}={begin{cases}y_{1i}^{*}&{{{text{if}y_{1i}^{*}>0,\\\\code(01)}&{{text{if}y_{1i}^{*}leq 0.\end{case}}}
y 2 i = { y 2 i ∗ se y 1 i ∗ > 0 , 0 se y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{2i}={begin{cases}y_{2i}^{*}&{{{testo{se}y_{1i}^{*}>0,\\\\code(01)}&{{testo{ se}y_{1i}^{*}leq 0.\end{case}}}
Tipo IVEdit
Il tipo IV introduce una terza variabile dipendente osservata e una terza variabile latente.
y 1 i = { y 1 i ∗ se y 1 i ∗ > 0 , 0 se y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{1i}={begin{cases}y_{1i}^{*}&{{{text{if}y_{1i}^{*}>0,\\\\code(01)}&{{text{if}y_{1i}^{*}leq 0.\end{case}}}
y 2 i = { y 2 i ∗ se y 1 i ∗ > 0 , 0 se y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{2i}={begin{cases}y_{2i}^{*}&{{{testo{se}y_{1i}^{*}>0,\\\\code(01)}&{{testo{ se}y_{1i}^{*}leq 0.\end{case}}}
y 3 i = { y 3 i ∗ se y 1 i ∗ > 0 , 0 se y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{3i}={begin{cases}y_{3i}^{*}&{{{text{if}y_{1i}^{*}>0,\\\\code(01)}&{{text{if}y_{1i}^{*}leq 0.\end{case}}}
Tipo VEdit
Simile al Tipo II, nel Tipo V solo il segno di y 1 i ∗ {displaystyle y_{1i}^{*}}
si osserva. y 2 i = { y 2 i ∗ se y 1 i ∗ > 0 , 0 se y 1 i ∗ ≤ 0. {\displaystyle y_{2i}={begin{cases}y_{2i}^{*}&{{{testo{se}y_{1i}^{*}>0,\\\\code(01)}&{{testo{ se}y_{1i}^{*}leq 0.\end{case}}}
y 3 i = { y 3 i ∗ se y 1 i ∗ ≤ 0 , 0 se y 1 i ∗ > 0. {\displaystyle y_{3i}={begin{casi}y_{3i}^{*}&{{{text{if}y_{1i}^{*}leq 0,\\\div0&{{text{if}y_{1i}^{*}>0.\end{case}}}
