Idea
L’ordine lessicografico è una generalizzazione dell’ordine in cui le parole sono elencate in un dizionario, secondo l’ordine delle lettere in cui l’ortografia di due parole differisce per prima.
Definizione
Definizione
Lasciamo che {L i} iâI{L_i\}_{i \in I} sia una famiglia ben ordinata di insiemi linearmente ordinati. L’ordine lessicografico sul prodotto degli insiemi L=â iâIL iL = \prod_{i \in I} L_i è l’ordine lineare definito come segue: se x,yâLx, y \sono in L e xâ yx \neq y, allora x<yx \lt y iff x i<y ix_i \lt y_i dove ii è il minimo elemento dell’insieme {jâI:x jâ y j}{j \in I: x_j \neq y_j\}.
Mentre questa nozione è più spesso vista per gli ordini lineari, può essere applicata anche a relazioni più generali. Per esempio, si può applicare la costruzione agli insiemi dotati di una relazione transitiva <\lt, abbandonando l’assunzione di tricotomia.
Spesso questa nozione è estesa anche ai sottoinsiemi di â iâIL i\prod_{i \in I} L_i. Per esempio, il monoide libero S *S^\ast su un insieme linearmente ordinato SS può essere incorporato in una potenza numerabile
dove 1+S1 + S è il risultato dell’aggiunta libera di un elemento inferiore ee a SS, e per ogni lista finita (s 1,â¦,s k)(s_1, \ldots, s_k) abbiamo
Allora l’ordine lessicografico su S *S^\ast è quello ereditato dalla sua incorporazione nell’insieme ordinato lessicograficamente (1+S) â(1 + S)^\mathbb{N}.
Ricordo
La decisione di aggiungere liberamente un elemento inferiore ee è naturalmente una pura convenzione, basata sulla convenzione ordinaria del dizionario che la parola di Scarabeo AAH debba venire dopo AA. In alternativa, potremmo ugualmente ritenere che ee sia un elemento superiore liberamente annesso, in modo che AA venga dopo AAH; questa potrebbe essere chiamata la convenzione âanti-dizionarioâ.
Definizione coreuttiva
se LL è linearmente ordinato e l’insieme sottostante C=L âC = L^\mathbb{N} è considerato come la coalgebra terminale per il funtore Lâ:SetâSetL \tempi – \colon Set \to Set, con struttura di coalgebra â¨h,tâ©:CâLçlangle h, t \rangle \colon C \a L \tempi C, allora l’ordine lessicografico su CC può essere definito corecursivamente:
- c<câ²c \lt c’ se h(c)<h(câ²)h(c) \lt h(c’) o (h(c)=h(câ²)h(c) = h(c’) e t(c)<t(câ²)t(c) \lt t(c’)).
Per il caso speciale L=âL = \mathbb{N}, la coalgebra terminale ^\mathbb{N} con questo ordine lessicografico è ordine-isomorfo all’intervallo reale [0,â)[0, \infty). Questo isomorfismo è descritto più precisamente qui.