Melvin Henriksen–Professor de Matemática emérito no Harvey Mudd College– oferece esta explicação:
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p>Dando uma declaração matematicamente precisa do Teorema da Incompletude de Godel apenas obscureceria o seu importante conteúdo intuitivo de quase todos os que não são especialistas em lógica matemática. Assim, em vez disso, reformularei e simplificá-lo-ei na linguagem dos computadores.
Imagine que temos acesso a um computador muito poderoso chamado Oracle. Tal como os computadores com os quais estamos familiarizados, Oracle pede que o utilizador “introduza” instruções que sigam regras precisas e forneça a “saída” ou resposta de uma forma que também siga estas regras. A mesma entrada produzirá sempre a mesma saída. As entradas e saídas são escritas como números inteiros (ou números inteiros) e a Oracle executa apenas as operações habituais de adição, subtracção, multiplicação e divisão (quando possível). Ao contrário dos computadores comuns, não há preocupações relativamente à eficiência ou tempo. A Oracle executará correctamente as instruções dadas não importa quanto tempo demore e só parará quando estas forem executadas – mesmo que leve mais de um milhão de anos.
Vamos considerar um exemplo simples. Lembre-se que um número inteiro positivo (vamos chamar-lhe N) maior que 1 é chamado de número primo se não for divisível por qualquer número inteiro positivo para além de 1 e N. Como pediria ao Oracle para decidir se N é primo? Diga-lhe para dividir N por cada número inteiro entre 1 e N-1 e para parar quando a divisão sair uniformemente ou chegar a N-1. (Na verdade, pode parar se atingir a raiz quadrada de N. Se não tiver havido divisões de N nesse ponto, então N é prime.)
O que o teorema de Godel diz é que existem questões devidamente colocadas envolvendo apenas a aritmética de inteiros que o Oráculo não pode responder. Por outras palavras, há afirmações que – embora introduzidas correctamente – o Oráculo não pode avaliar para decidir se são verdadeiras ou falsas. Tais afirmações são chamadas indecidíveis, e são muito complicadas. E se trouxesse uma ao Dr. Godel, ele explicar-lhe-ia que tais afirmações existirão sempre.
p>Even se lhe fosse dado um modelo “melhorado” de Oracle, chame-lhe OracleT, no qual uma determinada afirmação indecidível, UD, é decretada verdadeira, outra afirmação indecidível seria gerada para tomar o seu lugar. Mais intrigante ainda, poderia também ser-lhe dado outro modelo “melhorado” de Oracle, chame-lhe OracleF, no qual a UD seria decretada como falsa. Independentemente disso, este modelo também geraria outras afirmações indecidíveis, e poderia produzir resultados diferentes dos do OracleT, mas igualmente válidos.
Acha isto chocante e próximo do paradoxal? Foi ainda mais chocante para o mundo matemático em 1931, quando Godel desvendou o seu teorema de incompletude. Godel não fraseou o seu resultado na linguagem dos computadores. Ele trabalhou num sistema lógico definido e os matemáticos esperavam que o seu resultado dependesse das peculiaridades desse sistema. Mas na década seguinte, mais ou menos, vários matemáticos – incluindo Stephen C. Kleene, Emil Post, J.B. Rosser e Alan Turing – mostraram que não o fizeram.
P>Pesquisa sobre as consequências deste grande teorema continua até hoje. Qualquer pessoa com acesso à Internet utilizando um motor de busca como o Alta Vista pode encontrar várias centenas de artigos de qualidade altamente variável no Teorema de Godel. Entre as melhores coisas a ler, porém, está Godel’s Proof de Ernest Nagel e James R. Newman, publicado em 1958 e lançado em brochura pela New York University Press em 1983.