Abstract
In questo articolo, viene presentata la condizione di esistenza dello smorzamento critico nei sistemi a 1 DOF con smorzamento frazionario, e viene derivata la relazione tra il coefficiente di smorzamento critico e l’ordine della derivata frazionaria. Mostra solo quando l’ordine dello smorzamento frazionario e il suo coefficiente soddisfano certe condizioni, il sistema è nel caso di smorzamento critico. Poi vengono discusse le caratteristiche di vibrazione dei sistemi con diversi ordini situati nell’insieme di smorzamento critico. Sulla base dei risultati, la classica strategia di controllo dello smorzamento skyhook viene estesa a quella frazionata, dove viene progettata una legge di controllo switching per ottenere un effetto di controllo più ideale. Sulla base del principio della trasformazione delle coordinate modali, viene dato un nuovo metodo di progettazione del controllo di smorzamento dello skyhook frazionario per la sospensione dell’auto completa. I risultati della simulazione mostrano che il metodo di controllo proposto ha un buon effetto di controllo, anche in alcuni casi speciali, come i dossi stradali.
1. Introduzione
Le vibrazioni dei sistemi lineari a 1 DOF con smorzamento ordinario possono essere classificate come sottosmorzate, smorzate in modo critico e sovrasmorzate in base alla grandezza del coefficiente di smorzamento. Lo smorzamento critico è definito come la soglia tra il sovrasmorzamento e il sottosmorzamento. In caso di smorzamento critico, l’oscillatore ritorna alla posizione di equilibrio il più rapidamente possibile, senza oscillare, e la supera una volta al massimo. Considerando la particolarità dello smorzamento critico, esso è frequentemente studiato in altri sistemi. Il criterio per lo smorzamento critico di sistemi multigrado di libertà viscosamente smorzati è fornito da Bulatovic . Le condizioni di esistenza per lo smorzamento critico in sistemi simili al pendolo del secondo ordine sono stabilite da Li et al. Un metodo generale che determina le “superfici critiche di smorzamento” di un certo sistema dinamico lineare continuo è proposto da Beskos e Boley . Tuttavia, finora, ci sono solo poche ricerche sullo smorzamento critico in sistemi frazionatamente smorzati. Nel 1984, Torvik e Bagley hanno proposto un modello meccanico con derivate frazionarie nello studio del moto di una piastra rigida immersa in un fluido di Newton, e i risultati dello studio rendono il calcolo frazionario attraente per molti ingegneri e tecnici.
La sospensione del veicolo è un componente importante per migliorare il comfort di guida e le prestazioni di gestione, la ricerca sulla sua strategia di controllo è un punto caldo. In questi approcci di controllo, la strategia di controllo skyhook proposta da Karnopp et al. è ampiamente applicata a causa del suo semplice algoritmo e delle buone prestazioni di controllo. Il classico principio di controllo skyhook si basa su un sistema di vibrazione SDOF, che è adatto per il controllo delle vibrazioni verticali di due DOFs modelli di quarter-car. Negli ultimi anni, molti studiosi hanno studiato l’applicazione dell’algoritmo skyhook nel modello di sospensione dell’auto completa. Le principali strategie di controllo skyhook per i sistemi di sospensione a vettura intera sono basate sul pensiero fisico; queste strategie sono le estensioni applicative del classico metodo skyhook che è ampiamente usato per controllare i sistemi di sospensione dei quarti di veicolo. Il modello di sospensione dell’auto completa è considerato come una semplice combinazione di quattro modelli di sottosospensioni da 1/4, e si presume che ci sia uno “skyhook” collegato con ogni corpo dell’auto da 1/4 con quattro ammortizzatori skyhook per controllare la vibrazione del corpo dell’auto, mentre la sospensione del veicolo completo ha requisiti di prestazioni di sospensione multi-obiettivo che coinvolgono i movimenti verticali, di beccheggio e di rollio. Pertanto, il problema di come coordinare le forze dei quattro controllori indipendenti per mantenere una buona postura del corpo deve essere risolto e la soluzione tipica è l’aggiunta di un sistema decisionale.
Anche se gli algoritmi tradizionali possono raggiungere una buona prestazione di controllo, non è coerente con il principio di controllo originale del gancio del cielo. Dal punto di vista dei principi matematici, il classico principio di controllo skyhook è usato per controllare un sistema SDOF con uno smorzatore skyhook. Mentre la sospensione del veicolo è un sistema con multi-DOFs (i modelli esistenti hanno sette o più DOFs), quindi è richiesto lo stesso numero di controllori. Tuttavia, nella realtà, ci sono solo quattro controllori. Come affrontare questo problema?
Questo lavoro è diviso in due parti. Nella prima parte, viene studiato lo smorzamento critico in un sistema di ordine frazionario. Le condizioni di esistenza dello smorzamento critico sono date, e la relazione d’ordine è derivata. Poi vengono discusse le caratteristiche di attenuazione delle vibrazioni dei sistemi a smorzamento critico frazionario con diverso ordine. Nella seconda parte, lo smorzamento critico frazionario è applicato alla strategia di controllo del sistema di sospensione del veicolo. Il metodo del disaccoppiamento modale è usato per risolvere il problema che il numero di controllori richiesti non è coerente con quello dei controllori reali. Nello spazio modale, la classica strategia di controllo skyhook è usata per deprimere la vibrazione monomodale disaccoppiata. Qui, i coefficienti di smorzamento critici frazionari sono scelti come coefficienti di smorzamento dello skyhook. In questo modo, il numero di controllori progettati è coerente con quello delle DOF del sistema, poi queste modalità sono disaccoppiate e i controllori attuali sono usati per controllare la sospensione. Un modello di dominio del tempo su strada casuale correlato a quattro ruote è costruito per testare l’effetto della strategia di controllo dello skyhook a derivazione frazionaria; un dosso stradale è stato appositamente progettato per dimostrare i vantaggi dello smorzamento critico a derivazione frazionaria.
L’organizzazione del documento è la seguente. Nella sezione 2, vengono date prima le condizioni dei sistemi con smorzamento frazionario che si trovano nel caso di smorzamento critico. Poi si studiano le proprietà della vibrazione con smorzamento critico. Nella sezione 3, viene proposto un nuovo algoritmo di controllo dello skyhook frazionario per i sistemi di sospensione di un’auto completa. Nella Sezione 4, vengono discussi i risultati della simulazione. Le conclusioni sono date nella Sezione 5.
2. Smorzamento critico del sistema con smorzamento derivato frazionario
2.1. Derivazione della formula
L’equazione differenziale di vibrazione libera di un sistema SDOF con smorzamento con derivata frazionaria ha la forma dove è lo spostamento, è la derivata frazionaria del tempo di , e , e sono il coefficiente di massa, smorzamento e rigidità, rispettivamente.
Ci sono molte definizioni per le derivate frazionarie, tra cui la definizione di Riemann-Liouville e le definizioni di Caputo sono più utilizzate. La prima è frequentemente utilizzata per la descrizione del problema a causa della sua richiesta moderata della continuità della funzione. La seconda ha la stessa trasformata di Laplace di quella di ordine intero, quindi è ampiamente utilizzata nella teoria del controllo. In questo articolo, la forza di smorzamento derivata frazionaria è considerata come una forza di controllo per studiare le proprietà della vibrazione smorzata libera del sistema, quindi la definizione di Caputo è usata qui.
Con il metodo della trasformazione di Laplace, l’equazione caratteristica del sistema prende la forma dove è la variabile complessa. Sostituendo la sua forma polare nella (2), abbiamo
Considerando la formula di Eulero, la (3) prende la forma
La condizione di stabilimento della (4) è che sia la parte reale che quella immaginaria sono uguali a zero, così otteniamo
Si sa che quando la parte immaginaria delle radici della (2) non è zero, il moto libero smorzato del sistema è sempre oscillante. Per evitare l’oscillazione, le radici caratteristiche devono trovarsi nell’asse reale negativo. Supponiamo che where sia un numero intero, quindi e si ottengono, quindi la (5) può essere semplificata come
La condizione che stabilisce la (7) è , il che significa che . Pertanto, si può ottenere chewhere è un intero. Come risultato, abbiamo
Troviamo che l’insieme di è denso, ma la densità di probabilità di qualsiasi localizzazione in questo dominio è piccola, quindi la condizione di esistenza dello smorzamento critico è stretta.
Dalla (6), si ottiene un coefficiente di smorzamento negativo quando , che rappresenta un ingresso di energia al sistema. In questo caso, l’oscillazione del sistema è rafforzata, e non c’è smorzamento critico, mentre è il contrario quando ; cioè è dispari, quindi sostituendo in (6) e poi (10) si ottiene. In sintesi, in (9) è un intero, è dispari, e . Vengono presentate le condizioni di esistenza dello smorzamento critico nei sistemi di vibrazione con smorzamento alla derivata frazionaria e la sua formula di calcolo.
Per i sistemi lineari 1 DOF smorzati in modo frazionario, solo quando la (9) è soddisfatta dall’ordine dell’operatore frazionario, c’è un valore critico dei coefficienti di smorzamento. Per fare in modo che le soluzioni della (1) siano senza oscillazioni, la relazione tra il coefficiente di smorzamento e l’ordine è dove . Nella (10), quando , cioè , abbiamo il valore minimo del coefficiente di smorzamento che rappresenta il coefficiente di smorzamento critico cc.
Le curve che rappresentano la relazione tra le variabili nella (10) sono tracciate nella Figura 1. Prendiamo , per esempio, il punto più basso della curva rappresenta il punto di smorzamento critico e il suo coefficiente di smorzamento corrispondente è il valore critico del coefficiente di smorzamento. Vale la pena notare che molte ricerche precedenti sui sistemi a 1 DOF frazionalmente smorzati si concentrano sulle soluzioni delle equazioni caratteristiche. Da questa prospettiva, troviamo quando , le equazioni caratteristiche hanno solo radici complesse o coniugate e hanno radici reali negative quando . Pertanto, quando , rappresenta il coefficiente di sovrasmorzamento, e quando , è il coefficiente di sottosmorzamento. Nel caso di smorzamento critico, l’equazione caratteristica ha la radice , che rappresenta il tasso di convergenza. Quando aumenta da 0 a 2, il punto di smorzamento critico è spostato in basso a destra nella figura, il che indica che con più grande , risulta un più piccolo e più grande; cioè, con un autovalore più piccolo, il sistema è un convergente più veloce.
Va notato inoltre che Sakakibara ha studiato le proprietà della vibrazione con smorzamento alle derivate frazionarie di ordine 1/2. Dall’analisi delle soluzioni della (1), si conclude che non esiste un valore critico del coefficiente di smorzamento, che non è contrario alle conclusioni di questo articolo perché non si trova nell’insieme rappresentato dalla (9). Infatti, è facile capire che per riduzione per assurdo, cioè quando le radici s sono reali negative, non tengono sostituendo in (2). Questo significa che quando , gli autovalori non possono essere reali negativi e contengono sempre una parte immaginaria. Inoltre, troviamo che quando , i coefficienti di smorzamento critici , , e sono ottenuti, che sono coerenti con lo smorzamento critico in un sistema di ordine intero. Poiché non è il nostro obiettivo principale risolvere l’equazione e i coefficienti critici di smorzamento possono essere ottenuti senza analizzare le soluzioni, non torneremo su queste questioni qui e rimandiamo il lettore interessato a . Come mostrato nella figura 2, quando , il coefficiente di smorzamento critico è calcolato secondo l’analisi di cui sopra.
2.2. Proprietà della vibrazione con smorzamento critico derivato frazionario
Quando , lo smorzamento frazionario gioca non solo il ruolo di uno smorzamento convenzionale, ma anche il ruolo di una molla supplementare. Se o , l’effetto di smorzamento del sistema sarà indebolito, e c’è un comportamento tipico dell’oscillazione. Inoltre, i sistemi di ordine frazionario sono facilmente influenzati dallo stato iniziale. Pertanto, in pratica, dovrebbe trovarsi entro l’intervallo di interesse ingegneristico.
La figura 3 mostra le curve di decadimento dei moti liberi dei sistemi a smorzamento critico con diversi ordini sotto lo stato iniziale , . Mostra che nel caso degli stessi altri parametri, i sistemi con un grande ritorno alla posizione di equilibrio più veloce. Quando , i sistemi sono relativamente lenti perché tornano alla posizione di equilibrio e non la attraversano. Altrimenti, quando , i sistemi sono relativamente veloci e attraversano la posizione di equilibrio statico una volta (si verifica un overshoot), che è diverso dallo smorzamento critico ordinario. Anche se i sistemi con un grande ritorno alla posizione di equilibrio ad una velocità più veloce, è facile essere eccitati da un’eccitazione esterna come un ingresso a gradini; le curve di risposta sono mostrate nella Figura 4.
Si prevede che sotto la premessa di nonoscillatorio, il sistema non è facile da essere eccitato da eccitazione esterna e può tornare alla posizione di equilibrio il più rapidamente possibile quando non c’è forza esterna. Una legge di controllo dell’interruttore è progettata per rendere lo spostamento il più piccolo possibile quando il sistema è lontano dalla posizione di equilibrio e per limitare il tempo necessario per raggiungere la posizione asintoticamente stabile quando non c’è forza esterna. La legge di controllo progettata è dove è la forza di controllo, e sono gli ordini di derivazione frazionaria, e e sono i corrispondenti coefficienti di smorzamento critici di derivazione frazionaria, è lo spostamento. L’efficacia della strategia di controllo proposta è testata da un’eccitazione a impulsi. La figura 5 mostra che, sotto input impulsivo, la legge di controllo switching rende la performance di vibrazione del sistema di ordine frazionario migliore di quella del sistema di ordine intero.
3. Strategia di controllo dello skyhook del veicolo
Secondo la teoria della dinamica del veicolo, viene stabilito il modello dinamico del veicolo con sette DOFs. I sette DOF, , , , , , , , e sono rispettivamente lo spostamento del corpo, il beccheggio, il rollio e lo spostamento delle quattro ruote. Questo modello è simile a quelli usati da , qui l’equazione differenziale della matrice del modello può essere descritta comewhere è un vettore composto da , , , , , , e . , e sono la matrice di massa, smorzamento e rigidità, rispettivamente. è la matrice di ingresso ed è un vettore che rappresenta l’eccitazione stradale legata alle quattro ruote. è il vettore di controllo ed è il vettore della forza di controllo attivo. L’equazione (12) rappresenta una sospensione passiva quando è un vettore zero.
Secondo la teoria delle vibrazioni lineari, il sistema di sospensione disaccoppiato si trasforma in sottosistemi lineari isolati che possono essere controllati indipendentemente. Pertanto, viene considerato un metodo sistematico di disaccoppiamento modale, con il quale la matrice di massa e rigidità può essere completamente disaccoppiata; tuttavia, la matrice di smorzamento non può essere completamente disaccoppiata in generale. Qui solo gli elementi diagonali della matrice di smorzamento sono controllati per verificare l’efficacia della strategia di controllo. L’equazione differenziale della matrice del sistema completamente disaccoppiato è considerata dove è il vettore delle coordinate principali, , è la matrice delle caratteristiche, ed è la matrice diagonale i cui elementi diagonali sono uguali a quelli del vettore . In (13), , , e sono matrici diagonali di sette ordini e, assumendo che sia anche una matrice diagonale di sette ordini, si ottengono sette equazioni differenziali di funzione scalare indipendente; il controllo frazionario skyhook è qui usato per deprimere ogni vibrazione modale indipendente. Sia , così le sette equazioni differenziali indipendenti hanno la forma dove è l’eccitazione esterna per i sistemi di vibrazione modale, rappresenta la forza di smorzamento skyhook frazionale.
Sono considerate le equazioni di vibrazione libera dei sistemi modali, cioè, dove la forza di controllo è usata per mantenere il sistema nel caso di smorzamento critico. Secondo il metodo della sezione 2, la relazione tra il coefficiente di smorzamento e l’ordine si ottiene
Quando, il coefficiente di smorzamento frazionario derivato dello skyhook è uguale al coefficiente di smorzamento critico derivato frazionario. Allo stesso modo, si spera che con la forza di smorzamento frazionaria, il sistema modale non è facilmente eccitato da una forza esterna e ritorna alla posizione di equilibrio il più velocemente possibile senza oscillare quando non c’è forza. Qui, una legge di controllo di commutazione è data come segue:
In pratica, con un maggiore o minore , questi problemi, come la limitazione della forza dell’attuatore e l’efficienza del lavoro dell’attuatore, sorgono. Per ottenere un effetto di controllo relativamente buono, viene considerata solo la limitazione della forza dell’attuatore. Si ottengono sette coefficienti di smorzamento del sistema. Con la riduzione delle coordinate, il vettore della forza di controllo finale èwhere = (). L’equazione (19) rappresenta la forza della strategia di controllo di smorzamento skyhook di ordine intero quando . La matrice inversa generalizzata di è usata qui perché non è una matrice quadrata.
4. Risultati della simulazione e discussioni
Un modello di dominio del tempo casuale a quattro ruote-correlate è usato qui e il profilo della strada è di grado C. Per verificare le caratteristiche dello smorzamento critico frazionario, una condizione di lavoro è progettata come segue: quando la simulazione va a , sul lato sinistro del veicolo, le ruote anteriori e posteriori sono state sollevate successivamente da un dosso stradale a forma di onda sinusoidale con un’altezza di 0,1 m. I parametri di sospensione del veicolo sono mostrati in Notazioni. Per convalidare la superiorità dello smorzamento critico derivato frazionario, evitando nel frattempo i seguenti effetti negativi con un grande o piccolo , nella legge di controllo di commutazione, gli ordini sono scelti come e .
Figure 6 e 7 mostrano che la strategia di controllo proposta skyhook veicolo può efficacemente sopprimere la vibrazione del corpo; sia l’ampiezza della vibrazione e l’accelerazione sono diminuiti significativamente; la performance è particolarmente buona dopo aver attraversato il dosso stradale. La figura 6 mostra che la vibrazione con smorzamento critico derivato frazionario ha una performance migliore sulle risposte di ampiezza rispetto a quella con uno intero. E la figura 7 mostra che la strategia di controllo dello smorzamento skyhook di ordine frazionario non ha un deterioramento significativo nella risposta di accelerazione. Ma per un grande o piccolo, le risposte di accelerazione diventano peggiori di quelle della strategia di controllo di ordine intero, e questo è il motivo per cui l’ordine dovrebbe situarsi entro un dominio ragionevole nell’applicazione ingegneristica.
(a) Heave displacement
(b) Spostamento del passo
(c) Spostamento di rollio
(a) Spostamento di beccheggio
(b) Spostamento di beccheggio
(c) Spostamento di rollio
(a) Accelerazione di beccheggio
(b) Accelerazione di beccheggio
(c) Accelerazione di rollio
(a) Accelerazione di beccheggio
(b) Accelerazione di beccheggio
(c) Accelerazione di rollio
Rispetto a molte altre strategie di controllo delle sospensioni full-car, ci sono due vantaggi principali per il metodo in questo documento. In primo luogo, il metodo proposto è molto più semplice della maggior parte dei metodi di controllo. Per esempio, questi metodi presentati in sono anche testati da un dosso stradale e possono migliorare le prestazioni di vibrazione del veicolo, ma sono troppo complicati. In realtà, la strategia di controllo skyhook è uno dei vari metodi semplici e pratici che è ampiamente applicato. Tra gli algoritmi di controllo skyhook full-car, un controller semiautomatico asincrono basato su skyhook proposto da Zhang et al. può controllare ogni sottosistema in modo indipendente; i risultati mostrano che le ampiezze di picco delle accelerazioni del corpo aumentano più di quelle della sospensione passiva quando sono testate da un’eccitazione a impulsi. Pertanto, non è facile mantenere una buona postura del corpo soprattutto quando un’auto attraversa un dosso stradale. La soluzione esistente è quella di introdurre nuovi controlli come il controllo fuzzy parallelo modularizzato e il controllo intelligente di tipo umano e questo rende le strategie complesse e difficili da applicare. In secondo luogo, ci sono molte strategie di controllo delle sospensioni attive che sono progettate sulla base di un uso più completo delle informazioni di anteprima della strada facilitato dall’utilizzo di telecamere di bordo e sistemi di posizionamento globale. Per esempio, è previsto che l’anteprima della strada sia disponibile nel metodo di controllo in . Tuttavia, il nostro metodo di controllo non ha bisogno di tali strutture.
In una parola, il controllo skyhook proposto ha un algoritmo semplice ed è coerente con lo schema di smorzamento skyhook originale in linea di principio. La strategia con coefficienti di smorzamento critici di ordine intero ha un buon effetto, e quella frazionaria è vista come un supplemento, che fornisce più selezione di parametri e ha una migliore performance sulle risposte di ampiezza.
5. Conclusioni
(1) Il moto libero smorzato di sistemi SDOF con smorzamento derivato frazionario è studiato per la prima volta. Le condizioni di smorzamento critico esistenti sono date e la relazione tra il coefficiente di smorzamento critico e la derivata frazionaria dell’ordine è derivata. Si trova anche che quando l’ordine aumenta da 0 a 2, il coefficiente di smorzamento critico diventa piccolo, ma è più veloce a ritornare alla posizione di equilibrio.
(2) Sulla base del pensiero matematico, viene proposta una nuova strategia di controllo dello smorzamento con skyhook, che è diversa dal pensiero logico della maggior parte degli studiosi. L’algoritmo tradizionale può anche ottenere una buona prestazione; qui, non si tratta di negare la sua efficacia, ma di dare una nuova prospettiva agli studiosi per riesaminare la logica matematica intrinseca del classico principio di smorzamento del gancio del cielo. Il coefficiente di smorzamento critico di ordine frazionario è selezionato come coefficiente di smorzamento del gancio del cielo per chiarire la superiorità dello smorzamento critico di ordine frazionario proposto nell’applicazione pratica.
(3) I risultati della simulazione mostrano che rispetto alla sospensione passiva, la sospensione attiva controllata dal gancio del cielo ha una prestazione migliore sulla soppressione delle vibrazioni. Inoltre, la sospensione controllata dallo skyhook frazionario ha risposte migliori delle vibrazioni del corpo, specialmente quando il veicolo passa il dosso stradale. I risultati non solo confermano la superiorità dello smorzamento critico frazionario, ma convalidano anche l’efficacia di questa strategia di controllo.
Abbreviazioni
Parametri del veicolo
| : | Massa sospesa, 810 kg | |
| : | Momento d’inerzia del passo del veicolo, 300 kg-m2 | |
| : | Momento d’inerzia del rollio del veicolo, 1058 kg-m2 | |
| : | Distanza da asse a 1.14 m | |
| : | Centro di gravità, 1.22 m | |
| : | Rigidità della sospensione anteriore, 20600 N/m | |
| : | Rigidità della sospensione posteriore, 15200 N/m | |
| : | Smorzamento delle sospensioni anteriori, 1570 N/m | |
| : | Smorzamento delle sospensioni posteriori, 1760 N/m | |
| : | Rigidità delle gomme, 138000 N/m | |
| : | Massa delle gomme anteriori, 26.5 kg | |
| : | Massa del pneumatico posteriore, 24.4 kg | |
| : | Distanza tra due pneumatici, 1,3 m | |
| Velocità del veicolo, 50 km/h. |
Conflitti di interesse
Gli autori dichiarano che non ci sono conflitti di interesse riguardo alla pubblicazione di questo articolo.
Riconoscimenti
Questo lavoro è stato sostenuto dalla National Natural Science Foundation of China (Grant no. 11272159) e (Grant no. 51605228).