De effectieve massa van de veer in een veer-massasysteem is bij gebruik van een ideale veer 1/3 van de massa van de veer en is onafhankelijk van de richting van het veer-massasysteem (d.w.z. een ideale veer met een uniforme lineaire dichtheid).massasysteem bij gebruik van een ideale veer met uniforme lineaire dichtheid is 1/3 van de massa van de veer en is onafhankelijk van de richting van het veer-massasysteem (d.w.z.e., horizontale, verticale en schuine systemen hebben allemaal dezelfde effectieve massa). Dit komt omdat externe versnelling geen invloed heeft op de periode van beweging rond het evenwichtspunt.
De effectieve massa van de veer kan worden bepaald door de kinetische energie te vinden. Hiervoor moet de kinetische energie van alle massa-elementen worden opgeteld, en is de volgende integraal nodig, waarbij u {{displaystyle u}
de snelheid van het massa-element is: T = ∫ m 1 2 u 2 d m {Displaystyle T=int _{m}{\tfrac {1}{2}}u^{2},dm}
Omdat de veer uniform is, geldt dat d m = ( d y L ) m {\displaystyle dm=links({\frac {dy}{L}}rechts)m}
, waarbij L {\displaystyle L}
de lengte van de veer is. Hieruit volgt dat T = ∫ 0 L 1 2 u 2 ( d y L ) m {\displaystyle T={0}^{L}{\tfrac {1}{2}u^{2}}left({\frac {dy}{L}}right)m}
= 1 2 m L ∫ 0 L u 2 d y {{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L}}mint _{0}^{L}u^{2}\,dy}
De snelheid van elk massa-element van de veer is recht evenredig met de lengte vanaf de plaats waar het is bevestigd (als het dicht bij het blok is dan meer snelheid en als het dicht bij het plafond is dan minder snelheid), d.w.z.U = v y L {Displaystyle u={\frac {vy}{L}}
, waaruit volgt: T = 1 2 m L ∫ 0 L ( v y L ) 2 d y {\dplaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L}}int _{0}^{L}left({\frac {vy}{L}}right)^{2}\,dy}
= 1 2 m L 3 v 2 ∫ 0 L y 2 d y {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{L^{3}}}v^{2}\int _{0}^{L}y^{2}\,dy}
= 1 2 m L 3 v 2 0 L {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{frac {m}{L^{3}}v^{2}}}
= 1 2 m 3 v 2 {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}}
Vergelijkend met de verwachte oorspronkelijke kinetische energie formule 1 2 m v 2 , {{displaystyle {{tfrac {1}{2}}mv^{2},}
de effectieve massa van de veer is in dit geval m/3. Met behulp van dit resultaat kan de totale energie van het systeem worden geschreven in termen van de verplaatsing x {{displaystyle x}
ten opzichte van de ongespannen positie van de veer (waarbij constante potentiaaltermen worden genegeerd en de opwaartse richting als positief wordt beschouwd): T {Displaystyle T}
(Totale energie van het systeem) = 1 2 ( m 3 ) v 2 + 1 2 M v 2 + 1 2 k x 2 – 1 2 m g x – M g x {{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}({{m}{3}})v^{2}+{\tfrac {1}{2}}Mv^{2}+{\tfrac {1}{2}}kx^{2}-.{\tfrac {1}{2}}mgx-Mgx}
Merk op dat g {\displaystyle g}
hier de versnelling van de zwaartekracht langs de veer is. Door differentiatie van de vergelijking met de tijd wordt de bewegingsvergelijking: ( – m 3 – M ) a = k x – 1 2 m g – M g {\displaystyle \left({\frac {-m}{3}}-rechts)\ a=kx-{\tfrac {1}{2}mg-Mg}
Het evenwichtspunt x e q {\displaystyle x_{\mathrm {eq}} }}
kan worden gevonden door de versnelling nul te laten zijn: x e q = 1 k ( 1 2 m g + M g ) {\displaystyle x_{\mathrm {eq}} }={\frac {1}{k}}({\frac {1}{2}}mg+Mg}rechts)}
Bepaling x ¯ = x – x e q {\displaystyle {{\bar {x}}=x-x_{\mathrm {eq}} }}
, wordt de bewegingsvergelijking: ( m 3 + M ) x ¯ = – k x ¯ {\displaystyle \left({\frac {m}{3}}+Mright){\bar {x}}=-k{\bar {x}}
Dit is de vergelijking voor een eenvoudige harmonische oscillator met periode:
τ = 2 π ( M + m / 3 k ) 1 / 2 {Displaystyle \tau =2\pi \left({\frac {M+m/3}{k}}}rechts)^{1/2}}
