Heading

Abstract

In dit artikel wordt de bestaansvoorwaarde van kritische demping in 1 DOF systemen met fractionele demping gepresenteerd, en wordt de relatie tussen de kritische dempingscoëfficiënt en de orde van de fractionele afgeleide afgeleid. Hieruit blijkt dat alleen wanneer de orde van de fractionele demping en de coëfficiënt ervan aan bepaalde voorwaarden voldoen, het systeem zich in het geval van kritische demping bevindt. Vervolgens worden de trillingskarakteristieken van de systemen met verschillende ordes die zich in het kritische dempingsgeval bevinden, besproken. Op basis van de resultaten wordt de klassieke skyhook dempingscontrolestrategie uitgebreid tot de fractionele, waarbij een schakelende controlewet wordt ontworpen om een idealer controle-effect te verkrijgen. Gebaseerd op het principe van modale coördinatentransformatie wordt een nieuwe ontwerpmethode van fractionele skyhook-dempingsregeling voor ophanging van een volledige auto gegeven. De simulatieresultaten tonen aan dat de voorgestelde controlemethode een goed controle-effect heeft, zelfs in enkele speciale gevallen, zoals hobbels op de weg.

1. Inleiding

De trillingen van lineaire 1 DOF systemen met gewone demping kunnen worden geclassificeerd als ondergedempt, kritisch gedempt en overgedempt, afhankelijk van de grootte van de dempingscoëfficiënt. Kritische demping wordt gedefinieerd als de drempel tussen over- en onderdemping. Bij kritische demping keert de oscillator zo snel mogelijk terug naar de evenwichtspositie, zonder te oscilleren, en passeert deze ten hoogste eenmaal . Gezien het bijzondere karakter van kritische demping wordt deze vaak bestudeerd in andere systemen. Het criterium voor kritische demping van viskeus gedempte meerde-vrijheidsstelsels is gegeven door Bulatovic . De bestaansvoorwaarden voor de kritische demping in tweede-orde slingerachtige systemen zijn vastgesteld door Li e.a. . Een algemene methode die de “kritische dempingsoppervlakken” bepaalt van een bepaald lineair continu dynamisch systeem wordt voorgesteld door Beskos en Boley . Tot nu toe zijn er echter slechts enkele onderzoeken gedaan naar de kritische demping in gefractioneerd gedempte systemen. In 1984 stelden Torvik en Bagley een mechanisch model voor met fractionele afgeleiden in de studie van de beweging van een stijve plaat ondergedompeld in een Newton vloeistof, en de studieresultaten maken de fractionele calculus aantrekkelijk voor veel ingenieurs en technici.

Voertuigophanging is een belangrijk onderdeel voor het verbeteren van het rijcomfort en de rijeigenschappen, het onderzoek naar de controlestrategie is een hot spot. In deze controlebenaderingen, wordt de skyhook-controlestrategie die door Karnopp et al. wordt voorgesteld wijd toegepast wegens zijn eenvoudig algoritme en goede controleprestaties. Het klassieke skyhook-controleprincipe is gebaseerd op een SDOF-vibratiesysteem, dat geschikt is voor de verticale trillingscontrole van twee DOFs kwart-auto modellen. In de afgelopen jaren hebben veel geleerden de toepassing van skyhook algoritme in full-car ophanging model bestudeerd. De belangrijkste skyhook-controlestrategieën voor ophangingssystemen met volledige auto zijn gebaseerd op fysisch denken; deze strategieën zijn de toepassingsuitbreidingen van de klassieke skyhook-methode die op grote schaal wordt gebruikt om de ophangingssystemen van kwart-auto’s te controleren. Het ophangingsmodel van een volledige auto wordt beschouwd als een eenvoudige combinatie van vier 1/4 modellen van ophanging, en er wordt verondersteld dat er een “skyhook” is die verbonden is met elke 1/4 carrosserie door vier skyhook dempers om de vibratie van de carrosserie te controleren, terwijl de ophanging van het volledige voertuig vereisten heeft van multiobjectieve ophangingsprestaties waarbij de verticale, pitch, en roll bewegingen betrokken zijn. Daarom moet het probleem worden opgelost hoe de krachten van de vier onafhankelijke regelaars te coördineren om een goede lichaamshouding te behouden en de typische oplossing is het toevoegen van een besluitvormingssysteem.

Hoewel mainstream algoritmen een goede controle prestatie kunnen bereiken, is het inconsistent met het oorspronkelijke skyhook controle principe. Vanuit het perspectief van wiskundige principes, wordt het klassieke skyhook controle principe gebruikt om een SDOF systeem met één skyhook demper te controleren. Terwijl de voertuigophanging een systeem is met meerdere DOF’s (de bestaande modellen hebben zeven of meer DOF’s), is dus hetzelfde aantal regelaars nodig. In werkelijkheid zijn er echter maar vier regelaars. Hoe kunnen we dit probleem aanpakken?

Dit werk bestaat uit twee delen. In het eerste deel wordt de kritische demping in een systeem van fractionele orde bestudeerd. De bestaansvoorwaarden van de kritische demping worden gegeven, en de relatie orde wordt afgeleid. Vervolgens worden de trillingsdempingskarakteristieken van fractionele kritische dempingssystemen met verschillende orde besproken. In het tweede deel wordt de gefractioneerde kritische demping toegepast op de regelstrategie van het ophangingssysteem van een voertuig. De methode van modale ontkoppeling wordt gebruikt om het probleem op te lossen dat het aantal vereiste regelaars niet in overeenstemming is met dat van de werkelijke regelaars. In de modale ruimte wordt de klassieke skyhook regelstrategie gebruikt voor het onderdrukken van de ontkoppelde single mode trilling. Hier worden de fractionele kritische dempingscoëfficiënten gekozen als de skyhook dempingscoëfficiënten. Op deze manier is het aantal ontworpen regelaars in overeenstemming met het aantal DOF’s van het systeem, waarna deze modi worden ontkoppeld en de eigenlijke regelaars worden gebruikt om de ophanging te regelen. Een vier-wiel gecorreleerd willekeurig weg-tijddomein model is gebouwd om het effect van de fractioneel afgeleide skyhook regelstrategie te testen; een verkeersdrempel is speciaal ontworpen om de voordelen van de fractioneel afgeleide kritische demping aan te tonen.

De organisatie van het artikel is als volgt. In Sectie 2 worden eerst de voorwaarden gegeven van fractioneel gedempte systemen die in het geval van kritische demping verkeren. Daarna worden de eigenschappen van de trilling met kritische demping bestudeerd. In Sectie 3 wordt een nieuw fractioneel skyhook controlealgoritme voor veringssystemen met volledige auto voorgesteld. In hoofdstuk 4 worden de simulatieresultaten besproken. Conclusies worden gegeven in Paragraaf 5.

2. Kritische demping van het systeem met fractionele afgeleide demping

2.1.

2.1. Formule-afleiding

De vrije trillingsdifferentiaalvergelijking van een SDOF systeem met fractioneel afgeleide demping heeft de vorm waarin de verplaatsing is, de fractionele tijdsafgeleide van , en , en de massa, demping en stijfheidscoëfficiënt zijn.

Er zijn vele definities voor fractionele afgeleiden, waaronder de Riemann-Liouville definitie en Caputo definities het meest worden gebruikt. De eerste wordt vaak gebruikt voor de beschrijving van problemen vanwege de matige eis voor de continuïteit van de functie. De laatste heeft dezelfde Laplace-transformatie als de integer-orde-definitie, en wordt dus veel gebruikt in controletheorie. In dit document wordt de fractioneel afgeleide dempingskracht beschouwd als een regelkracht om de eigenschappen van vrij gedempte trillingen van het systeem te bestuderen, dus wordt hier de Caputo-definitie gebruikt.

Met behulp van de Laplace-transformatiemethode neemt de karakteristieke vergelijking van het systeem de vorm aan waar de complexe variabele is. Door de polaire vorm in (2) te substitueren, krijgen we

Op grond van de Euler formule heeft (3) de vorm

De vestigingsvoorwaarde van (4) is dat zowel het reële als het imaginaire deel gelijk zijn aan nul, zodat we

Het is bekend dat wanneer het imaginaire deel van de wortels van (2) niet nul is, de gedempte vrije beweging van het systeem altijd oscillerend is. Om de oscillatie te vermijden, moeten de karakteristieke wortels in de negatieve reële as liggen. Veronderstel dat waar een geheel getal is, zodat en worden verkregen, dan kan (5) vereenvoudigd worden als

De ontbindende voorwaarde voor (7) is , wat betekent dat . Daarom kan worden verkregen datwhere een geheel getal is. Hieruit volgt

We vinden dat de verzameling van dicht is, maar de kansdichtheid van een willekeurige plaats in dit domein is klein, zodat de bestaansvoorwaarde van kritische demping strikt is.

Uit (6) wordt een negatieve dempingscoëfficiënt verkregen wanneer , die een energietoevoer naar het systeem vertegenwoordigt. In dit geval wordt de oscillatie van het systeem versterkt en is er geen kritische demping, terwijl het omgekeerde het geval is wanneer ; dat wil zeggen, oneven is, zodat substitutie in (6) en dan (10) wordt verkregen. Samengevat, in (9) is een geheel getal, is oneven, en . De bestaansvoorwaarden van de kritische demping in de trillingssystemen met fractionele afgeleide demping en de berekeningsformule worden gepresenteerd.

Voor lineaire 1 DOF gefractioneerd gedempte systemen, alleen wanneer (9) wordt voldaan door de orde van fractionele operator, is er een kritische waarde van de demping coëfficiënten. Om de oplossingen van (1) zonder oscillatie te maken, is de relatie tussen de dempingscoëfficiënt en de orde waar . In (10), wanneer , d.w.z. , hebben we de minimumwaarde van de dempingscoëfficiënt die de kritische dempingscoëfficiënt cc.

De krommen die de relatie tussen de variabelen in (10) weergeven zijn uitgezet in figuur 1. Neem bijvoorbeeld , het laagste punt van de kromme vertegenwoordigt het kritische dempingspunt en de bijbehorende dempingscoëfficiënt is de kritische waarde van de dempingscoëfficiënt. Het is de moeite waard op te merken dat veel eerdere onderzoeken naar 1 DOF gefractioneerd gedempte systemen zich richten op de oplossingen van de karakteristieke vergelijkingen. Vanuit dit perspectief vinden we wanneer , de karakteristieke vergelijkingen alleen complexe of geconjugeerde wortels hebben en ze hebben negatieve reële wortels wanneer . Daarom is , wanneer , de overdempingscoëfficiënt, en wanneer , de onderdempingscoëfficiënt. In het geval van kritische demping heeft de karakteristieke vergelijking de wortel , die de convergentiesnelheid weergeeft. Bij een toename van 0 tot 2 verschuift het kritische dempingspunt naar rechtsonder in de figuur, hetgeen aangeeft dat bij een grotere , het systeem een kleinere en grotere , dat wil zeggen bij een kleinere eigenwaarde, het systeem een snellere convergentie vertoont.

Figuur 1

De relatie tussen de drie parameters in (12).

Ook moet worden opgemerkt dat Sakakibara de eigenschappen van trillingen met fractionele afgeleide demping van orde 1/2 heeft bestudeerd. Uit de analyse van de oplossingen van (1) wordt geconcludeerd dat er geen kritische waarde van de dempingscoëfficiënt bestaat, hetgeen niet in strijd is met de conclusies van dit artikel, omdat deze zich niet bevindt in de reeks voorgesteld door (9). In feite is het gemakkelijk te begrijpen dat door reductie tot absurditeit, dat wil zeggen, wanneer de wortels s negatief reëel zijn, zij niet gelden door substitutie in (2). Dit betekent dat wanneer , de eigenwaarden niet reëel negatief kunnen zijn en altijd een imaginair deel bevatten. Verder vinden we dat wanneer , de kritische dempingscoëfficiënten , , en worden verkregen, die in overeenstemming zijn met de kritische demping in een integer order systeem. Omdat het niet ons hoofddoel is de vergelijking op te lossen en de kritische dempingscoëfficiënten kunnen worden verkregen zonder de oplossingen te analyseren, zullen we hier niet op deze vragen terugkomen en verwijzen we de geïnteresseerde lezer naar . Zoals blijkt uit figuur 2, wordt bij , de kritische dempingscoëfficiënt berekend volgens bovenstaande analyse.

Figuur 2

Wanneer , de drie gevallen van trillingen met vrij verval.

2.2. Eigenschappen van trillingen met fractionele afgeleide kritische demping

Wanneer , speelt de fractionele demping niet alleen de rol van een conventionele demping, maar ook de rol van een extra veer . Als of , zal de dempende werking van het systeem worden verzwakt, en er is een typisch gedrag van de oscillatie . Bovendien worden de fractionele ordesystemen gemakkelijk beïnvloed door de begintoestand.

Figuur 3 toont de krommen van de afnemende vrije bewegingen van kritische dempingssystemen met verschillende ordes onder de begintoestand , . Hieruit blijkt dat bij gelijkblijvende andere parameters de systemen met een grote orde sneller naar de evenwichtstoestand terugkeren. Wanneer , zijn de systemen relatief traag omdat zij teruggaan naar de evenwichtspositie en deze niet overschrijden. In het andere geval zijn de systemen relatief snel en passeren zij eenmaal de statische evenwichtspositie (er treedt overshoot op), hetgeen verschilt van de gewone kritische demping. Hoewel de systemen met een grote snelheid terugkeren naar de evenwichtspositie, is het gemakkelijk om opgewekt te worden door externe excitatie zoals stapvormige input; de responscurven worden getoond in figuur 4.

Figuur 3

De krommen van de vrij gedempte beweging van kritische dempingssystemen met verschillende ordes.

De krommen van de stapresponsie van kritische dempingssystemen met verschillende ordes.

Verwacht wordt dat onder de vooronderstelling van niet-oscillerend, het systeem niet gemakkelijk wordt opgewekt door externe prikkeling en zo snel mogelijk kan terugkeren naar de evenwichtspositie wanneer er geen externe kracht is. Er wordt een regelwet ontworpen om de verplaatsing zo klein mogelijk te maken wanneer het systeem zich verwijdert van de evenwichtspositie en om de tijd te beperken die nodig is om de asymptotisch stabiele positie te bereiken wanneer er geen externe kracht is. De ontworpen regelwet is waarbij de regelkracht, en de orde van fractionele afgeleide, en en de corresponderende fractionele afgeleide kritische dempingscoëfficiënten zijn, en de verplaatsing. De doeltreffendheid van de voorgestelde regelstrategie wordt getest met een impulsexcitatie. Figuur 5 toont aan dat, onder impulsinput, de schakelende controlewet de trillingsprestaties van het fractionele-orde systeem beter maakt dan die van het integer-orde systeem.

Figuur 5

Impulsresponscurven van integer order en fractional order geschakelde systemen.

3. Skyhook-controlestrategie voor het voertuig

Volgens de voertuigdynamica-theorie wordt het dynamische model van het voertuig met zeven DOF’s opgesteld. De zeven DOFs , , , , , en zijn respectievelijk de hef-, stamp-, rolverplaatsing van de carrosserie, en de verplaatsing van de vier wielen. Dit model is vergelijkbaar met die gebruikt door , hier kan de matrix differentiaalvergelijking van het model worden beschreven alswaar is een vector bestaande uit , , , , , , en . , en zijn de massa, demping, en stijfheid matrix, respectievelijk. is de input matrix en is een vector die staat voor de vier-wiel-gerelateerde weg excitatie. is de controle vector en is de vector van de actieve controle kracht. Vergelijking (12) vertegenwoordigt een passieve ophanging wanneer de vector nul is.

Volgens de lineaire vibratietheorie verandert het ontkoppelde ophangingssysteem in geïsoleerde lineaire subsystemen die onafhankelijk kunnen worden bestuurd. Daarom wordt een systematische modale ontkoppelingsmethode overwogen, waarmee de massa en de stijfheidsmatrix volledig kunnen worden ontkoppeld; de dempingsmatrix kan echter in het algemeen niet volledig worden ontkoppeld. Hier worden alleen de diagonale elementen van de dempingsmatrix gecontroleerd om de effectiviteit van de controlestrategie te verifiëren. De matrixdifferentiaalvergelijking van het volledig ontkoppelde systeem wordt beschouwd als de vector van de hoofdcoördinaten, , de eigenschapsmatrix, en de diagonaalmatrix waarvan de diagonaalelementen gelijk zijn aan die in de vector . In (13), , , en zijn zeven-orde diagonaalmatrices en, ervan uitgaande dat ook een zeven-orde diagonaalmatrices is, worden zeven differentiaalvergelijkingen van onafhankelijke scalaire functie verkregen; fractionele skyhook controle wordt hier gebruikt om elke onafhankelijke modale trilling te onderdrukken. Laat , zodat de zeven onafhankelijke differentiaalvergelijkingen hebben de vormwhere is de externe opwinding voor modale trillingssystemen, vertegenwoordigt de fractionele skyhook dempingskracht.

De vrije trillingsvergelijkingen van de modale systemen worden beschouwd, namelijk, waar de controlekracht wordt gebruikt om het systeem in het geval van kritische demping te houden. Volgens de methode in Sectie 2 wordt de relatie tussen de dempingscoëfficiënt en de orde verkregen

Wanneer , de fractioneel afgeleide skyhook dempingscoëfficiënt gelijk is aan de fractioneel afgeleide kritische dempingscoëfficiënt. Op dezelfde manier hoopt men dat met de fractionele dempingskracht, het modale systeem niet gemakkelijk wordt opgewekt door een externe kracht en zo snel mogelijk terugkeert naar de evenwichtspositie zonder te oscilleren wanneer er geen kracht is. Hier wordt een schakelende regelwet als volgt gegeven:

In de praktijk doen zich bij een grotere of kleinere , deze problemen voor, zoals de beperking van de actuatorkracht en de arbeidsefficiëntie van de actuator. Om een relatief goed regeleffect te bereiken, wordt alleen de beperking van de actuatorkracht in aanmerking genomen. Zeven skyhook dempingscoëfficiënten van het systeem worden verkregen. Door coördinatenreductie wordt de uiteindelijke regelkrachtvector waar = (). Vergelijking (19) geeft de kracht van de integer order skyhook demping regelstrategie wanneer . De veralgemeende inverse matrix van wordt hier gebruikt omdat het geen vierkante matrix is.

4. Simulatieresultaten en Discussies

Er wordt hier een vier-wielen-correleerd willekeurig weg-tijddomein model gebruikt en het wegprofiel is C-gradatie. Om de eigenschappen van fractionele kritische demping te verifiëren, is een werkconditie als volgt ontworpen: wanneer de simulatie gaat naar , aan de linkerkant van het voertuig, zijn de voor- en achterwielen achtereenvolgens opgehoogd door een verkeersdrempel in de vorm van een sinusgolf met een hoogte van 0,1 m. De parameters van de ophanging van het voertuig zijn weergegeven in Notaties. Om de superioriteit van de fractionele afgeleide kritische demping te valideren, ondertussen de volgende negatieve effecten vermijdend met een grote of kleine , in de schakelende controlewet, worden de orden gekozen als en .

Figuren 6 en 7 tonen aan dat de voorgestelde voertuig skyhook controlestrategie effectief de trilling van het lichaam kan onderdrukken; zowel de trillingsamplitude als de versnelling zijn aanzienlijk verminderd; de prestaties zijn vooral goed na het oversteken van de verkeersdrempel. Figuur 6 toont aan dat de trilling met fractionele afgeleide kritische demping een betere prestatie op amplituderesponsen heeft dan die met geheel één. En figuur 7 toont aan dat de fractionele order skyhook dempingscontrole strategie geen significante verslechtering van de acceleratie respons heeft. Maar voor een grote of kleine , de versnelling reacties worden slechter dan die in de gehele orde controlestrategie, en dat is de reden waarom de volgorde moet vinden binnen een redelijk domein in de technische toepassing.

(a) Heave-verplaatsing

(b) Pitch verplaatsing

(b) Pitch verplaatsing

(c) Roll verplaatsing

(c) Roll verplaatsing

(a) Heave-verplaatsing
(b) Pitch-verplaatsing
(c) Rolverschuiving

Figuur 6

Body motion amplitude response of three kinds of suspension.

(a) Heave versnelling

(b) Pitch versnelling

(b) Versnelling pitch

(c) Rolversnelling

(c) Rolversnelling

(a) Heave-versnelling
(b) Pitch-versnelling
(c) Rolversnelling

Figuur 7

Body motion acceleration response of three kinds of suspension.

Vergeleken met vele andere strategieën voor het regelen van de ophanging van een complete auto, zijn er twee belangrijke voordelen voor de methode in dit artikel. Ten eerste, de voorgestelde methode is veel eenvoudiger dan de meeste van de controle methoden. Bijvoorbeeld, deze methoden worden ook getest door een verkeersdrempel en kunnen de trillingsprestaties van het voertuig verbeteren, maar ze zijn te ingewikkeld. In feite is de skyhook-controlestrategie een van de vele eenvoudige en praktische methoden die op grote schaal worden toegepast. Onder de skyhook-controlealgoritmen voor een volledige auto, kan een op skyhook gebaseerde asynchrone semi-actieve controller, voorgesteld door Zhang et al., elk subsysteem onafhankelijk controleren; de resultaten tonen aan dat de piekamplitudes van de versnellingen van de carrosserie meer toenemen dan die van de passieve ophanging wanneer deze door een pulsimpuls worden getest. Daarom is het niet gemakkelijk om een goede lichaamshouding te behouden, vooral wanneer een auto over een verkeersdrempel rijdt. De bestaande oplossing is de invoering van nieuwe controles, zoals modulaire parallelle fuzzy control en mens-achtige intelligente controle en dit maakt de strategieën complex en moeilijk toe te passen. Ten tweede zijn er veel strategieën voor actieve ophangingscontrole die zijn ontworpen op basis van een vollediger gebruik van informatie over de wegvooruitzichten, die wordt vergemakkelijkt door gebruik te maken van boordcamera’s en mondiale plaatsbepalingssystemen. Bijvoorbeeld, wordt bepaald dat de weg preview beschikbaar is in de controle methode in . Echter, onze controle methode heeft geen behoefte aan dergelijke faciliteiten.

In een woord, de voorgestelde skyhook controle heeft een eenvoudig algoritme en is in principe in overeenstemming met de oorspronkelijke skyhook demping schema. De strategie met integer orde kritische dempingscoëfficiënten heeft een goed effect, en de fractionele wordt gezien als een aanvulling, die meer parameterkeuze biedt en een betere prestatie heeft op amplituderesponsen.

5. Conclusies

(1) De vrije gedempte beweging van SDOF systemen met fractionele afgeleide demping wordt voor het eerst bestudeerd. Voorwaarden van bestaande kritische demping worden gegeven en de relatie tussen de kritische dempingscoëfficiënt en de orde fractionele afgeleide wordt afgeleid. Er wordt ook gevonden dat wanneer de orde toeneemt van 0 tot 2, de kritische dempingscoëfficiënt klein wordt, maar het is sneller om terug te keren naar de evenwichtspositie.

(2) Gebaseerd op de wiskundige denkwijze, wordt een nieuwe volautomatische skyhook dempingscontrolestrategie voorgesteld, die afwijkt van de logische denkwijze van de meeste geleerden. Het mainstream algoritme kan ook goede prestaties leveren; hier is het niet de bedoeling om de effectiviteit ervan te ontkennen, maar om geleerden een nieuw perspectief te bieden om de intrinsieke wiskundige logica van het klassieke skyhook dempingsprincipe opnieuw te onderzoeken. De fractionele orde kritische demping coëfficiënt wordt geselecteerd als de skyhook demping coëfficiënt om de superioriteit van de voorgestelde fractionele orde kritische demping in de praktische toepassing te verduidelijken.

(3) Simulatie resultaten tonen aan dat in vergelijking met de passieve ophanging, de skyhook gecontroleerde actieve ophanging een betere prestatie heeft op het gebied van trillingsonderdrukking. Bovendien, de fractionele skyhook gecontroleerde vering heeft betere reacties van de carrosserie trillen, vooral wanneer het voertuig de verkeersdrempel passeert. De resultaten bevestigen niet alleen de superioriteit van fractionele kritische demping, maar valideren ook de effectiviteit van deze controle strategie.

Afkortingen

Voertuigparameters

Belangenconflicten

De auteurs verklaren dat er geen belangenconflicten zijn met betrekking tot de publicatie van dit artikel.

Acknowledgments

Dit werk werd ondersteund door de National Natural Science Foundation of China (Grant no. 11272159) en (Grant no. 51605228).