Problemen met de kans op munt opgooien worden hier uitgelegd met verschillende voorbeelden.
Als we een munt opgooien, is er altijd een kans van 50 procent om een kop of een staart te krijgen.
Stel dat een munt wordt opgegooid, dan krijgen we twee mogelijke uitkomsten ofwel een ‘kop’ (H) of een ‘staart’ (T), en het is onmogelijk om te voorspellen of de uitkomst van een opgooi een ‘kop’ of een ‘staart’ zal zijn.
De kans op even waarschijnlijke uitkomsten bij een gebeurtenis is:
Aantal gunstige uitkomsten ÷ Totaal aantal mogelijke uitkomsten
Totaal aantal mogelijke uitkomsten = 2
(i) Als de gunstige uitkomst kop is (H).
Aantal gunstige uitkomsten = 1.
Daarom is P(kop krijgen)
aantal gunstige uitkomsten
= P(H) = totaal aantal mogelijke uitkomsten = 1/2.
(ii) Als de gunstige uitkomst staart is (T).
Aantal gunstige uitkomsten = 1.
Daarom is P(een staart krijgen)
Aantal gunstige uitkomsten
= P(T) = totaal aantal mogelijke uitkomsten
= 1/2.
Woordopgaven over de kans op het opgooien van een munt:
1. Een munt wordt twee keer willekeurig opgegooid. Hoe groot is de kans
(i) op ten minste één kop
(ii) op hetzelfde muntstuk?
Oplossing:
De mogelijke uitkomsten zijn HH, HT, TH, TT.
Dus, totaal aantal uitkomsten = 4.
(i) Aantal gunstige uitkomsten voor gebeurtenis E
= Aantal uitkomsten met ten minste één hoofd
= 3 (omdat HH, HT, TH ten minste één hoofd hebben).
Dus, per definitie, P(F) = \(\frac{3}{4}).
(ii) Aantal gunstige uitkomsten voor gebeurtenis E
= Aantal uitkomsten met hetzelfde gezicht
= 2 (aangezien HH, TT hetzelfde gezicht hebben).
Dus, per definitie, P(F) = \(\frac{2}{4}}) = \(\frac{1}{2}).
2. Als drie eerlijke munten 175 keer willekeurig worden opgooid en er 21 keer drie kop verschijnt, 56 keer twee kop verschijnt, 63 keer één kop verschijnt en 35 keer nul kop verschijnt.
Wat is de kans op het krijgen van
(i) drie koppen, (ii) twee koppen, (iii) één kop, (iv) nul koppen.
Oplossing:
Totaal aantal proeven = 175.
Aantal keer dat er drie hoofden verschenen = 21.
Aantal keer dat er twee hoofden verschenen = 56.
Aantal keer dat er één hoofd is verschenen = 63.
Aantal keer dat er nul hoofden zijn verschenen = 35.
Zie E1, E2, E3 en E4 als de gebeurtenissen waarbij respectievelijk drie koppen, twee koppen, één kop en nul koppen worden gevonden.
(i)P(drie koppen krijgen)
Aantal keren dat er drie koppen verschenen
= P(E1) = totaal aantal proeven
= 21/175
= 0,12
(ii) P(twee koppen krijgen)
Aantal keren dat er twee koppen verschenen
= P(E2) = totaal aantal proeven
= 56/175
=0,12
(ii) P(twee koppen krijgen)
Aantal keren dat er twee koppen verschenen
= P(E2) = totaal aantal proeven
= 56/175
=0,12
.32
(iii) P(één hoofd krijgen)
Aantal keren dat één hoofd verscheen
= P(E3) = totaal aantal proeven
=63/175
= 0.36
(iv) P(nul hoofd krijgen)
Aantal keren dat nul hoofd verscheen
= P(E4) = totaal aantal trials
= 35/175
= 0.20
Opmerking: wanneer 3 munten willekeurig worden gegooid, zijn de enige mogelijke uitkomsten
E2, E3, E4 en
P(E1) + P(E2) + P(E3) + P(E4)
= (0.12 + 0,32 + 0,36 + 0,20)
= 1
3. Twee munten worden 120 keer willekeurig opgegooid en men vindt dat er 60 keer twee staarten verschijnen, 48 keer één staart en 12 keer geen staart.
Als twee munten willekeurig worden opgegooid, wat is dan de kans dat er
(i) 2 staarten,(ii) 1 staart,(iii) 0 staart
Oplossing:
Totaal aantal proeven = 120
Aantal keren dat er 2 staarten verschijnen= 60
Aantal keren dat er 1 staart verschijnt= 48
Aantal keren dat er 0 staart verschijnt= 12
Zie E1, E2 en E3 als de gebeurtenissen waarbij respectievelijk 2 staarten, 1 staart en 0 staart worden verkregen.
(i) P(2 staarten krijgen)
Aantal keren dat 2 staarten verschijnen
= P(E1) = totaal aantal proeven
= 60/120
= 0.50
(ii) P(1 staart krijgen)
Aantal keren dat 1 staart verschijnt
= P(E2) = totaal aantal proeven
= 48/120
= 0.50
(ii) P(1 staart krijgen)
Aantal keren dat 1 staart verschijnt
= P(E2) = totaal aantal proeven
= 48/120
= 0.50
(iii)40
(iii) P(nulstaart krijgen)
Aantal keren dat er geen staart verschijnt
= P(E3) = totaal aantal proeven
= 12/120
= 0.10
Opmerking:
Bedenk dat bij het gelijktijdig opgooien van 2 munten, de enige mogelijke uitkomsten E1, E2, E3 zijn en,
P(E1) + P(E2) + P(E3)
= (0.50 + 0.40 + 0.10)
= 1
4. Stel dat een eerlijke munt 75 keer willekeurig wordt opgegooid en dat kop 45 keer en munt 30 keer opduikt. Wat is de kans op (i) kop en (ii) munt?
Oplossing:
Totaal aantal proeven = 75.
Aantal keren dat kop opduikt = 45
Aantal keren dat staart opduikt = 30
(i) Zij X de gebeurtenis dat er een kop opduikt.
P(kop krijgen)
Aantal keren dat kop opduikt
= P(X) = totaal aantal proeven
= 45/75
= 0.60
(ii) Stel Y is de gebeurtenis van het krijgen van een staart.
P(een staart krijgen)
Aantal keren dat de staart opduikt
= P(Y) = totaal aantal proeven
= 30/75
= 0.40
Opmerking: als een munt eerlijk is opgegooid, dan zijn X en Y de enige mogelijke uitkomsten, en
P(X) + P(Y)
= (0.60 + 0.40)
= 1
Dit vind je misschien leuk
Probability
Probability
Random Experiments
Experimental Probability
Events in Probability
Empirical Probability
Coin Toss Probability
Probability of Tossing Two Coins
Probability of Tossing Three Coins
Complimentary Events
Mutually Exclusive Events
Mutually Non-gebeurtenissen
Conditional Probability
Theoretical Probability
Odds and Probability
Playing Cards Probability
Probability and Playing Kaarten
Kans bij het gooien met twee dobbelstenen
Oplossingen van kansberekeningen
Kans bij het gooien met drie dobbelstenen
9e graad wiskunde
Van muntopgooi waarschijnlijkheid naar HOME PAGE