Achtergronden van de les en concepten voor docenten
(De daaropvolgende tekst sluit aan bij de presentatie Sterkte van Vormen, een PowerPoint-presentatie. Zorg ervoor dat de leerlingen papier en potlood bij de hand hebben om hun ideeën te schetsen terwijl ze de presentatie volgen.)
(Slide 1) Vandaag gaan we een fundamenteel constructief concept onderzoeken: de sterkte van vormen.
(Slide 2) Als we goed naar bruggen kijken, kunnen we zien hoe constructeurs verschillende vormen gebruiken om het totale ontwerp te maken. We zien driehoeken en vierkanten. We kunnen zelfs parabolen zien.
(Slide 3) Constructeurs gebruiken dezelfde soorten vormen in gebouwen. Veel geraamten van gebouwen zijn gewoon herhalende vierkanten, zoals te zien is in de afbeelding linksboven. De afbeelding linksonder laat zien hoe een vierkant wordt versterkt door toevoeging van een diagonale dwarsschoor in deze steiger, die het vierkant in twee driehoeken breekt. De afbeelding rechts toont een Antarctische geodetische koepel in aanbouw. De structuur van geodetische koepels is vergelijkbaar met de structuur van voetballen en kan worden gezien als een groep van vijfhoeken en zeshoeken. Maar als we elk van deze vormen uitsplitsen, zien we dat ze fundamenteel zijn opgebouwd uit driehoeken.
(Slide 4) Zelfs als we buiten het domein van de civiele of bouwkundige techniek treden, zien we hoe ingenieurs vertrouwen op de bekende sterkte van vormen. Het frame van een motorfiets maakt gebruik van vele driehoeken om de wielen en de stoelen te ondersteunen. Werktuigbouwkundigen ontwerpen kranen, die driehoeken en vierkanten in hun frames gebruiken. Zelfs satellieten maken gebruik van deze bekende regelmatige basisvormen.
(Slide 5) Schets op je papier elk van deze regelmatige veelhoeken: vierkant, ruit en driehoek. Als we een vorm recht naar beneden drukken, waardoor de hele vorm in elkaar gedrukt wordt, wat gebeurt er dan met de vorm? Teken, met een andere pen of potlood of stippellijn, hoe de vorm eruit zou zien als je erop duwt. Ga ervan uit dat de zijkanten van de vorm stijf zijn en niet van lengte veranderen of verbuigen.
(Dia 6) Kijk hier eens naar! Als je op de bovenkant van het vierkant duwt, is het niet langer een vierkant, maar krijgt het de vorm van een ruit, een soort parallellogram. Dit wordt “rekken” genoemd. Als we de top van de ruit naar beneden drukken, zakt hij in elkaar. Maar hoe zit het met de driehoek? De driehoek behoudt zijn vorm!
(dia 7) De reden dat het vierkant en de ruit in elkaar zakken is omdat de hoek tussen de constructiedelen kan veranderen zonder dat de lengte van de delen verandert of verbuigt. Weet je nog dat we het in de meetkunde hadden over hoe veelhoeken worden gedefinieerd? In dit geval is het voor beide vierhoeken gewoon nodig dat de som van de binnenhoeken gelijk is aan 360 graden, maar elke hoek kan veranderen.
(dia 8) Driehoeken zijn in dat opzicht uniek. De hoek tussen twee zijden van de driehoek is gebaseerd op de lengte van de overstaande zijde van de driehoek. Herinnert u zich dit uit de meetkunde? De hoek “a” is vast, gebaseerd op de relatieve lengte van zijde “A.” Net zoals de hoek “b” vastligt op basis van de relatieve lengte van “B” en “c” op basis van “C”. Daarom kan een driehoek niet ineenstorten!
(Dia 9) Zoals we lieten zien, kunnen andere regelmatige veelhoeken worden vervormd zonder de lengte van de zijden te veranderen. Een vierkant verliest zijn vorm als de rechte hoeken inzakken, en een vijf- en zeshoek kunnen worden vervormd. Maar de vormen blijven “gesloten” omdat de som van de binnenhoeken constant wordt gehouden. Voor een vorm met “n” zijden is de som van de binnenhoeken gelijk aan 180*(n-2). Dus de som van de hoeken van een driehoek is 180 graden, of 180*(3-2) graden. De som van de hoeken van een vierkant is 360 graden, of 180*(4-2). Wat kunnen we doen met de andere vormen, de vierkanten, vijfhoeken en zeshoeken, om te voorkomen dat ze in elkaar storten? Teken deze vormen op je papier en voeg toe wat nodig zou zijn.
(Slide 10) Heb je de vormen in driehoeken gebroken? Omdat we weten dat een driehoek niet kan instorten, en we weten dat deze regelmatige veelhoeken altijd tot driehoeken kunnen worden herleid (zo berekenen we de som van de binnenhoeken, weet je nog?), zorgt het opdelen van onze veelhoeken in driehoeken ervoor dat ze niet instorten!
(Dia 11) Hetzelfde concept geldt in drie dimensies. Zoals te zien is, kan een kubus in elkaar storten door “rekken”, net zoals het vierkant dat we in twee dimensies zagen instorten. Dus wat zouden we doen om een sterke 3D structuur te maken?
(Dia 12) We maken 3D driehoeken! Om precies te zijn, we kunnen rechthoekige of driehoekige piramides maken! Dit is de reden waarom bouwkundig ingenieurs vertrouwen op driehoeken, zowel in 2D als in 3D, om sterke constructies te maken! Een 3D constructie gemaakt van individuele structurele driehoeken zoals deze wordt een “truss” genoemd, en wordt in de techniek gebruikt voor een sterke lichtgewicht constructie!