Heading

Het talstelsel en rekenkundige bewerkingen

De Egyptenaren drukten, net als de Romeinen na hen, getallen uit volgens een decimaal stelsel, met aparte symbolen voor 1, 10, 100, 1.000, enzovoort; elk symbool kwam in de uitdrukking voor een getal even vaak voor als de waarde die het voorstelde in het getal zelf voorkwam. Bijvoorbeeld, stond voor 24. Deze nogal omslachtige notatie werd gebruikt in het hiërogliefenschrift dat men aantrof in stenen inscripties en andere formele teksten, maar in de papyrusdocumenten gebruikten de scribenten een handiger verkort schrift, hiëratisch schrift genaamd, waar bijvoorbeeld 24 werd geschreven als .

In een dergelijk systeem komt optellen en aftrekken neer op tellen hoeveel symbolen van elke soort er in de numerieke uitdrukkingen voorkomen en vervolgens herschrijven met het resulterende aantal symbolen. Uit de overgeleverde teksten blijkt niet welke speciale procedures de schriftgeleerden gebruikten om hierbij te helpen. Maar voor vermenigvuldiging introduceerden zij een methode van opeenvolgende verdubbeling. Om bijvoorbeeld 28 met 11 te vermenigvuldigen, construeert men een tabel van veelvouden van 28 zoals hieronder:

De verschillende items in de eerste kolom die samen 11 vormen (d.w.z. 8, 2, en 1) worden afgevinkt. Het product wordt dan gevonden door het optellen van de veelvouden die overeenkomen met deze waarden; dus 224 + 56 + 28 = 308, het gewenste product.

Om 308 te delen door 28, pasten de Egyptenaren dezelfde procedure in omgekeerde volgorde toe. Met behulp van dezelfde tabel als bij het vermenigvuldigingsprobleem kan men zien dat 8 het grootste veelvoud van 28 oplevert dat kleiner is dan 308 (want de uitkomst bij 16 is al 448), en 8 wordt afgevinkt. Het proces wordt dan herhaald, deze keer voor de rest (84) verkregen door de uitkomst bij 8 (224) af te trekken van het oorspronkelijke getal (308). Dit getal is echter al kleiner dan het getal bij 4, dat dus verwaarloosd wordt, maar het is groter dan het getal bij 2 (56), dat dan wordt afgevinkt. Dit proces herhaalt zich voor de rest die verkregen wordt door 56 af te trekken van de vorige rest van 84, of 28, die ook precies gelijk is aan de waarde bij 1 en die dan wordt afgevinkt. De afgemarkeerde waarden worden opgeteld en het quotiënt wordt verkregen: 8 + 2 + 1 = 11. (In de meeste gevallen is er natuurlijk een rest die kleiner is dan de deler.)

Voor grotere getallen kan deze procedure worden verbeterd door vermenigvuldigingen van een van de factoren met 10, 20,…of zelfs met hogere orden van grootte (100, 1.000,…) in aanmerking te nemen, naarmate dat nodig is (in de Egyptische decimale notatie zijn deze vermenigvuldigingen gemakkelijk uit te rekenen). Zo kan men het product van 28 met 27 vinden door de veelvouden van 28 met 1, 2, 4, 8, 10 en 20 uit te rekenen. Omdat de waarden 1, 2, 4 en 20 bij elkaar opgeteld 27 zijn, hoeft men alleen maar de veelvouden op te tellen om het antwoord te vinden.

Berekeningen met breuken worden uitgevoerd onder de beperking tot eenheidsdelen (dat wil zeggen, breuken die in de moderne notatie met 1 als teller worden geschreven). Om bijvoorbeeld het resultaat van de deling van 4 door 7 uit te drukken, dat in de moderne notatie gewoon 4/7 is, schreef de schrijver 1/2 + 1/14. De procedure voor het vinden van quotiënten in deze vorm is slechts een uitbreiding van de gebruikelijke methode voor het delen van gehele getallen, waarbij men nu de waarden voor 2/3, 1/3, 1/6, enz., en 1/2, 1/4, 1/8, enz. bekijkt, totdat de overeenkomstige veelvouden van de deler bij elkaar opgeteld gelijk zijn aan het dividend. (De schriftgeleerden hebben 2/3 meegerekend, ook al is dat geen eenheidsfractie). In de praktijk kan de procedure soms behoorlijk ingewikkeld worden (zo wordt de waarde voor 2/29 in de Rhind-papyrus gegeven als 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) en kan deze op verschillende manieren worden uitgewerkt (dezelfde 2/29 kan bijvoorbeeld worden gevonden als 1/15 + 1/435 of als 1/16 + 1/232 + 1/464, enzovoort). Een aanzienlijk deel van de papyrusteksten is gewijd aan tabellen om het vinden van dergelijke eenheids-fractiewaarden te vergemakkelijken.

Deze elementaire bewerkingen zijn alles wat men nodig heeft om de rekenkundige problemen in de papyri op te lossen. Bijvoorbeeld, “om 6 broden te verdelen onder 10 mannen” (Rhind papyrus, probleem 3), hoeft men slechts te delen om het antwoord 1/2 + 1/10 te krijgen. In één groep van problemen wordt een interessante truc toegepast: “Een hoeveelheid (aha) en zijn 7e maken samen 19 – wat is het?” (Rhind papyrus, opgave 24). Hier veronderstelt men eerst dat de hoeveelheid 7 is: aangezien 11/7 ervan 8 wordt en niet 19, neemt men 19/8 (dat is 2 + 1/4 + 1/8), en het veelvoud ervan met 7 (16 + 1/2 + 1/8) wordt het gevraagde antwoord. Dit type procedure (soms de methode van “valse positie” of “valse veronderstelling” genoemd) is bekend in vele andere rekenkundige tradities (bijv. de Chinese, Hindoeïstische, Moslim, en Europese Renaissance), hoewel zij geen directe link met de Egyptische lijken te hebben.