Beginwaardeproblemen voor stelsels differentiaal-algebraïsche vergelijkingen in Maple | BMC Research Notes

Toepassingen van DAEs komen op natuurlijke wijze voor in vele gebieden, bijvoorbeeld diverse dynamische processen, mechanische systemen, simulatie van elektrische circuits en chemische reacties onderhevig aan invarianten etc., en deze worden vaak uitgedrukt door DAEs, die bestaan uit algebraïsche vergelijkingen en differentiaalbewerkingen. Verschillende methoden en algoritmen zijn door vele onderzoekers en ingenieurs ingevoerd om de IVP’s voor stelsels van DAE’s op te lossen. De meeste trachten een benaderende oplossing van het gegeven stelsel te vinden. Wij herinneren echter aan een symbolisch algoritme om de exacte oplossing van een gegeven stelsel van DAE’s te berekenen (zie voor verdere details van het algoritme). In dit artikel bespreken we het Maple-pakket van het symbolische algoritme dat de exacte oplossing berekent.

Er zijn verschillende geïmplementeerde methoden beschikbaar in diverse wiskundige softwareprogramma’s zoals Matlab, Mathematica, SCIlab enz. Al deze implementaties worden toegepast om de algemene oplossing te vinden van een gegeven systeem DAE’s met vrije parameters. Vervolgens kunnen we waarden van parameters vinden door de beginvoorwaarden te vervangen. De in Mathematica geïmplementeerde methode is bijvoorbeeld gebaseerd op het ontbinden van de coëfficiëntenmatrices, A en B, in een niet-singulier en een nihilpotent deel. Vervolgens wordt een veralgemeende inverse voor A en B berekend, en wordt het probleem gereduceerd tot het oplossen van een stelsel ODE’s. Bestaande oplossers voor ODE’s kunnen dus worden gebruikt. In Matlab wordt de vergelijking ook omgezet in een stelsel van ODE’s door de differentiaalindex te reduceren en dan vinden we de algemene oplossing met vrije parameters. In het voorgestelde algoritme berekenen we echter de exacte oplossing rechtstreeks zonder vrije parameters. Het geïmplementeerde Maple pakket is gebaseerd op de omzetting van het gegeven stelsel in een canonieke vorm met behulp van het shuffle algoritme dat een ander eenvoudig equivalent stelsel oplevert, en het canonieke stelsel kan gemakkelijk worden opgelost. De Maple-implementatie omvat het berekenen van het canonieke stelsel en de exacte oplossing van een gegeven IVP. De vergelijking van het geïmplementeerde Maple pakket met bestaande methoden geïmplementeerd in andere wiskundige software zoals Matlab en Mathematica wordt ook besproken in Results Section. In dit paper hebben we ons gericht op Maple implementatie van een IVP met homogene beginvoorwaarden, maar we bespreken ook een algoritme om de consistentie van de niet-homogene beginvoorwaarden te controleren.

Symbolisch algoritme van IVP’s voor stelsels van DAE’s

In dit paper hebben we ons gericht op een stelsel van DAE’s met de algemene vorm

$$begin{aligned} A{texttt{D}}y(x)+By(x)=f(x). \Einde{aligned}$

(1)

Het stelsel (1) is een zuiver algebraïsch stelsel als A = 0, en er bestaan vele methoden en algoritmen om alle mogelijke oplossingen te berekenen, zie bijvoorbeeld . Het stelsel (1) wordt een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen als (A = 0) (we noemen A een regelmatige matrix), en de oplossing van eerste orde stelsels van LDE’s wordt besproken in . Daarom hebben we ons gericht op een stelsel van de vorm (1) waarbij de coefficientenmatrix A een niet nul singuliere matrix is. Veronderstel voor de eenvoud dat $\mathcal {F} = C^\infty $, en \( \subset \mathbb {R}). Nu kan de operator-vorm van een IVP voor DAE’s worden voorgesteld als

$$begin{aligned}&Ly = f, &{texttt{E}}y = 0, \einde{aligned}$

waarin \(L = A{texttt{D}}+ B \in \mathcal {F}^{n \times n}}) de matrixdifferentiaaloperator is, \({texttt{D}}= \frac{d}{dx}}, \(y \in \mathcal {F}^n}) is de onbekende vector die bepaald moet worden, \(f \in \mathcal {F}^n}) is de vector forcerende functie en \(\texttt{E}} is de evaluatie operator. We willen de matrix Green’s operator \(G \in \mathcal {F}^{n keer n}) zo vinden dat \(Gf = y) en \({texttt{E}}G = 0).

Het volgende Lemma 1 is een van de essentiële stappen voor het voorgestelde algoritme. Het lemma geeft de variatie van parameters formule van een IVP voor hogere-orde scalaire lineaire differentiaalvergelijkingen over integro-differentiaalalgebra’s.

Lemma 1

(Thota en Kumar ) Stel dat $(\mathcal {F}, {texttt{D}}, {texttt{A}})$ een gewone integro-differentiaalalgebra is. Stel dat $T = {\texttt{D}}^m + a_{m-1}{\texttt{D}}^{m-1} + \cdots + a_0 \in \mathcal {F}}) een monische scalaire differentiaaloperator van orde m is en \(v_1, \ldots , v_m$ is fundamenteel stelsel voor T. Dan is de rechter inverse operator van T gegeven door

$ T^divideontimes = \sum \limits _{i=1}^{m} v_i {texttt{A}}w^{-1}w_i \in \mathcal {F}, \end{aligned}$

(2)

waarbij w de determinant is van de Wronskiaanse matrix W voor $v_1, \v_{m}) en \(w_i$ de determinant van de matrix $W_i$ die uit W wordt verkregen door de i-de kolom te vervangen door m-de eenheidsvector.

Om de Groen-functie en de exacte oplossing van een gegeven stelsel van DAE’s te verkrijgen, vinden we eerst een canonieke vorm van het gegeven stelsel van DAE’s met behulp van het shuffle-algoritme dat het gegeven stelsel transformeert in een ander equivalent en eenvoudiger stelsel dat gemakkelijk kan worden opgelost. De Green’s operator en Green’s functie van het gegeven stelsel van DAEs met beginvoorwaarden worden met behulp van de canonieke vorm berekend in de volgende stelling.

Stelling 2

(Thota en Kumar ) Laat ($\mathcal {F}, {\texttt{D}}, {\texttt{A}})) een gewone integro-differentiaalalgebra zijn. Zij (\tilde{L} = \tilde{A}{texttt{D}}+ \tilde{B} \in \mathcal {F}^{n \times n}}) de canonieke vorm van \(L = A{texttt{D}}+B}) met beginvoorwaarden; en \(v_1, \ldots , v_{n}}) een fundamenteel stelsel voor \(T = \det (\tilde{L})$. Dan is de regelmatige IVP voor stelsel van DAE’s

$begin{aligned}&Ly = f, \&{texttt{E}y = 0, \einde{aligned}$

heeft de unieke oplossing

$ \som _{i=1}^{n} (-1)^{i+1} \mathcal {L}_i^1 T^\divideontimes \tilde{f_i} \\ ^^vdots ^^sum _{i=1}^{n} (-1)^{i+n} \mathcal {L}_i^n T^\divideontimes \tilde{f_i} \einde{pmatrix}, einde{aligned}$

(3)

waarbij $\mathcal {L}_i^j}) de determinant is van \(\tilde{L}$ na verwijdering van de i-de rij en j-de kolom; \is de rechter inverse van T; en is \tilde{f} = (\tilde{f_1}, \ldots , \tilde{f_n})^t\). De Groen-operator is

$ G = \begin{pmatrix} (-1)^{1+1} \^mathcal {L}_1^1 T^^divideontimes &&{} (-1)^{n+1} \mathcal {L}_n^1 T^^divideontimes \vdots &&{} \(-1)^{1+n} \^mathcal {L}_1^n T^divideontimes &&{} (-1)^{n+n} \mathcal {L}_n^n T^divideontimes \einde{pmatrix} \^^^^^^$

(4)

zodat ^(G}tilde{f} = y) en ^({texttt{E}~G = 0).

Niet-homogene beginvoorwaarden

In het algemeen is er geen vrijheid om niet-homogene beginvoorwaarden te kiezen voor de voorgestelde methode. Daarom hebben de auteurs een algoritme voorgesteld om de consistentie van een gegeven niet-homogene beginvoorwaarden te controleren. In deze paragraaf herhalen we het algoritme in Propositie 3 om de consistentie van de niet-homogene beginvoorwaarden te controleren.

Propositie 3

(Thota en Kumar ) Laat ($\mathcal {F}, {\texttt{D}}, {\texttt{A}})) een gewone integro-differentiaal algebra zijn. Stel dat \tilde{T} = \tilde{A}{texttt{D}}+ \tilde{B} \in \mathcal {F}^{n \times n}}) een canonieke vorm is van \(T = A{texttt{D}}+B$ met niet-homogene beginvoorwaarden. De niet-homogene beginvoorwaarde \({texttt{E}}u = \alpha}) is consistent, als

$$ UU_a^{-1}alpha in \text {Ker}(T), \eind{aligned}$

(5)

waar U de fundamentele matrix van \(\tilde{T}}) is en \(U_a}) de waarde van U in beginpunt a.

Het volgende voorbeeld toont de berekening van de exacte oplossing met het algoritme uit Stelling 2, en controleert ook de consistentie van de niet-homogene beginvoorwaarden met het algoritme uit Stelling 3.

Voorbeeld 4

Bekijk de volgende differentiaal-algebraïsche vergelijkingen.

$$begin{aligned}y_1’+y_2’+y_1+y_2&=x \y_1-y_2 &= \sin x \einde{aligned}$

(6)

met beginvoorwaarde \(y_1(0)=y_2(0)=0).

De matrixdifferentiaaloperator en de canonieke vorm van (6) zijn

$${aligned}T = \begin{pmatrix} 1+{texttt{D}}~&{}~ 1+{texttt{D}}~ 1 &{} -1 \eind{pmatrix},~~ \tilde{T} = \begin{pmatrix} {{texttt{D}}&{} 2+{{texttt{D}}&{} -{{texttt{D}}{{pmatrix}} ~~text {en}~~ \tilde{f} = \begin{pmatrix} x-xsin x \cos x \eind{pmatrix}. \einde{uitgelijnd}$

Volgend het algoritme in Stelling 2 hebben we de exacte oplossing

$ \frac{1}{2}e^{-x} + \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} x – {\frac{1}{2}e^{-x} – \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} x – \frac{1}{2} \einde{pmatrix}. \einde{aligned}$

(7)

Eenvoudig is na te gaan dat $Ty = f$ en ${texttt{E}}y = 0$.

Overweeg de niet-homogene beginvoorwaarden $y_1(0) = \alpha , y_2(0)= \beta) met gegeven stelsel (6). Uit Stelling 3 volgt dat de beginvoorwaarden consistent zijn als UU_0^{-1} \alpha \in \text {Ker}(T)$, waarbij

$$\begin{aligned} U=$ 1 &{} e^{-x} \\ 0 &{} e^{-x} \U_0= ^{pmatrix}1 &&{} 1 ^{pmatrix},~~~text {en}~~ ^{pmatrix}1 &{} 1 ^{pmatrix},~~~text {en}~ ^{alpha = \in{pmatrix} ^{alpha} ^{pmatrix}. \Einde{uitgelijnd}$

$ UU_0^{-1} \alpha = \begin{pmatrix} 1 &{} e^{-x} \\ 0 &{} e^{-x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &&{} 1 \eind{pmatrix} \begin{pmatrix}alpha \beta \eind{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-x}beta + \alpha – \beta \ e^{-x}beta \eind{pmatrix} \einde{aligned}$

$ T(UU_0^{-1} \alpha ) = \begin{pmatrix} 1+{texttt{D}}~&{}~ 1+{texttt{D}}~ 1 &{} -1 \eind{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{-x}beta + \alpha – \beta \ e^{-x}beta \eind{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha – \beta \eind{pmatrix}, \eind{uitgelijnd}$

wat $\alpha – \beta = 0) oplevert voor \(UU_0^{-1} \alpha \in \text {Ker}(T)$, en de samenhangende beginvoorwaarden zijn dus $y_1(0) = \alpha, y_2(0)=\beta), zodat \(\alpha -\beta =0). De oplossing van het IVP (Ty=0, {texttt{E}}y = (\alpha,\beta )^T$ wordt berekend als (zie voor meer details),

$$begin{aligned} y_c = UU_0^{-1} \alpha = \begin{pmatrix} e^{-x}\beta + \alpha – \beta ^{-x}\beta \eind{pmatrix}, \eind{uitgelijnd}$

en uit (7)

$$begin{uitgelijnd}y_p=begin{pmatrix} \frac{1}{2}e^{-x} + \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} x – \frac{1}{2}e^{-x} – \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} x – \frac{1}{2} \einde{pmatrix}. \einde{aligned}$

De exacte oplossing van het reguliere stelsel

$ \links( {begin{array}{*{20}c} {1 + {texttt{D}} & {1 + {\tt{D}}} \\ 1 & { – 1} \\ einde{array}} } \left( {\begin{array}{*{20}c} {y_{1} } \ {y_{2} } \eind{array} } \right) & = \left( {\begin{array}{*{20}c} x \ {{sin x}} \eind{array} } \right), & = \left( {\begin{array}{*{20}c} {y_{1} } } \ {y_{2} } \ einde{array} } \rechts) & = \left( {\begin{array}{*{20}c} \alpha \ \ \beta \ \einde{array} } \rechts),\alpha – \beta = 0, \einde{aligned}$

is $y=y_c+y_p$, d.w.z.e.,

$$begin{aligned} y = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}e^{-x} + \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} x – \frac{1}{2}+e^{-x}bèta + \alpha – \beta \frac{1}{2}e^{-x} – \frac{1}{2} \sin x + \frac{1}{2} x – \frac{1}{2}+e^{-x}beta end{pmatrix}.

Heading

Initiële waardeproblemen voor stelsels differentiaal-algebraïsche vergelijkingen in Maple